三角函數(shù)性和e指數(shù)形式的傅里葉變換

三角級(jí)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)于所有在以2pi為周期的函數(shù)f(x)，可以用一組如下的三角函數(shù)系將其展開：

1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，……

顯然，這組基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期區(qū)間求積分獲得函數(shù)f(x)在以三角函數(shù)系為基的展開系數(shù)，或者說以三角函數(shù)系為坐標(biāo)的投影值a0,an,bn……一個(gè)一般的函數(shù)f(x)可以表示為奇函數(shù)和偶函數(shù)的疊加，因此它的展開既含有正弦項(xiàng)又含有余弦項(xiàng)，但偶函數(shù)的展開僅含有常數(shù)項(xiàng)a0和正弦項(xiàng)，相似的，奇函數(shù)展開僅含有余弦項(xiàng)。

傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式根據(jù)歐拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦項(xiàng)可以用復(fù)指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一個(gè)周期函數(shù)f(x)既可以在三角函數(shù)系上表出也可以在復(fù)指數(shù)系1，e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐標(biāo)系之間，存在映射關(guān)系。但重要的是，由于積分變換的核函數(shù)形式發(fā)生改變，其物理意義也將有所變化。由于復(fù)數(shù)的引入，每一個(gè)復(fù)指數(shù)e^jnx相對(duì)于三角函數(shù)系都變?yōu)橐粋€(gè)二維量，其物理含義是一條三維螺旋線。其道理非常簡單，一個(gè)實(shí)參a表示數(shù)軸上的一點(diǎn)，而一個(gè)復(fù)數(shù)a+bj表示二維坐標(biāo)上的一點(diǎn)，所以cosx，sinx分別表示一條二維曲線，而e^jx=cosx+jsinx是一條空間三維曲線。

傅里葉變換周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)表示,非周期信號(hào)可以借助傅里葉變換進(jìn)行.對(duì)實(shí)信號(hào)做傅立葉變換時(shí)，如果按指數(shù)e^jωt為核來求，我們將得到雙邊頻譜。以角頻率為Ω的余弦信號(hào)為例，它有具有位于±Ω兩處的，幅度各為0.5，相角為零的頻率特性。實(shí)際上，COSΩt就是e^jΩt與e^j-Ωt兩條螺旋線的疊加，他們虛部剛好對(duì)消，只剩下實(shí)部。Ω1與Ω2兩個(gè)角速度的螺旋線坐標(biāo)值的疊加并不等于角速度Ω1+Ω2，因?yàn)閺慕撬俣鹊铰菪€的映射不是線性關(guān)系。這一現(xiàn)象正體現(xiàn)了頻率的正交特性,也是頻率分析理論存在的基礎(chǔ).經(jīng)過傅立葉變換得到的負(fù)頻率表示一條反向旋轉(zhuǎn)的螺旋線,而復(fù)頻率表示一條整體改變90度相位的螺旋線，它們分別與正頻率,實(shí)頻相對(duì)應(yīng),都表示一個(gè)特定的螺旋線，并沒有玄妙的含義。

連續(xù)頻譜周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)展開所獲得頻率線狀譜的物理意義十分明確,即整個(gè)信號(hào)由所有譜線存在處頻率分量疊加而成.比如信號(hào)COSΩt對(duì)應(yīng)Ω與-Ω處兩根譜線.2,那么,對(duì)于非周期信號(hào),首先我們可以視其為一個(gè)周期極長的信號(hào),而且這個(gè)信號(hào)只在周期中的一部分有非零值,當(dāng)然,這個(gè)信號(hào)只有部分非零并不影響所有的操作和理解.在周期信號(hào)的展開中,所有可能包含的基函數(shù)為其周期的分?jǐn)?shù)也即這些基函數(shù)頻率是原信號(hào)頻率的倍數(shù).比如一個(gè)2Hz的周期信號(hào),他包含的基函數(shù)只可能是偶數(shù)Hz的三角函數(shù).因此,我們假設(shè)一個(gè)信號(hào)的周期特別長,也即頻率特別低,會(huì)導(dǎo)致什么呢?當(dāng)周期長到趨近于極限,頻率也同時(shí)低到趨近于極限,結(jié)合時(shí)間量子的概念,可以認(rèn)為這個(gè)極端是原子頻率,即一個(gè)最小的頻率.那么,對(duì)這個(gè)非周期信號(hào)展開時(shí),所有頻率都有可能對(duì)其有貢獻(xiàn),因?yàn)樵盘?hào)的頻率低到了一個(gè)原子頻率.于是,對(duì)一個(gè)非周期,或者說是一個(gè)周期無限長信號(hào)展開時(shí),我們必須考慮所有可能的頻率分量,實(shí)際上,這些微間隙量子化的頻率值并不連續(xù),但是由于它們非常細(xì)蜜,可以用人類思維理念中虛擬出來的"連續(xù)"這一概念來近似.可以想到的是,由于頻率分量足夠多,每一分量的權(quán)值系數(shù)將非常小,實(shí)際