東北師大附中凈月實驗學校2023年高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

東北師大附中凈月實驗學校2023年高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或2．等差數列中，為其前項和，，則的值為（）A.13 B.16C.104 D.2083．已知分別是橢圓的左，右焦點，點M是橢圓C上的一點，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.44．小王與小張二人參加某射擊比賽預賽的五次測試成績如下表所示，設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和，則（）第一次第二次第三次第四次第五次小王得分（環(huán)）910579小張得分（環(huán)）67557A. B.C. D.5．在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡記為C，則曲線C的離心率為（）A. B.C. D.6．設雙曲線的左、右頂點分別為、，點在雙曲線上第一象限內的點，若的三個內角分別為、、且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．在一個正方體中，為正方形四邊上的動點，為底面正方形的中心，分別為中點，點為平面內一點，線段與互相平分，則滿足的實數的值有A.0個 B.1個C.2個 D.3個8．在等比數列中，，公比，則（）A. B.6C. D.29．已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.10．在等差數列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.911．直線的傾斜角為（）A.1 B.－1C. D.12．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是橢圓的兩個焦點，點M在C上，則的最大值為_______14．過點，且周長最小的圓的標準方程為______15．在數列中，若，則該數列的通項公式__________16．已知函數，若在定義域內有兩個零點，那么實數a的取值范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，側面PAB是邊長為4的正三角形且與底面ABC垂直，點D，E，F，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點（1）若點G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值18．（12分）已知函數.（1）求的導數；（2）求函數的圖象在點處的切線方程.19．（12分）四棱錐，底面為矩形，面，且，點在線段上，且面.（1）求線段的長；（2）對于（1）中的，求直線與面所成角的正弦值.20．（12分）已知拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，直線交拋物線E于兩點（1）求E的方程；（2）若以BC為直徑的圓過原點O，求直線l的方程21．（12分）已知甲組數據的莖葉圖如圖所示，其中數據的整數部分為莖，數據的小數部分(僅一位小數)為葉，例如第一個數據為5.3（1）求：甲組數據的平均值、方差、中位數；（2）乙組數據為，且甲、乙兩組數據合并后的30個數據的平均值為，方差為，求：乙組數據的平均值和方差，寫出必要的計算步驟.參考公式：平均值，方差22．（10分）如圖四棱錐P-ABCD中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC=∠DCB=，CD=2AB=2BC=2，△PDC是等邊三角形.（1）設面PAB面PDC=l，證明:l//平面ABCD；（2）線段PC內是否存在一點E，使面ADE與面ABCD所成角的余弦值為，如果存在，求λ=的值，如果不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎題.2、D【解析】利用等差數列下標的性質，結合等差數列前項和公式進行求解即可.【詳解】由，所以，故選：D3、B【解析】首先分別設，，再根據橢圓的定義和性質列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B4、C【解析】根據圖表數據可以看出小王和小張的平均成績和成績波動情況.【詳解】解：從圖表中可以看出小王每次的成績均不低于小張，但是小王成績波動比較大，故設小王與小張成績的樣本平均數分別為和，方差分別為和.可知故選：C5、B【解析】設，，則由題意可得，代入圓方程中化簡可得曲線C的方程，從而可求出離心率【詳解】設，，則，得，所以，因為點在圓上，所以，即，所以點的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B6、B【解析】設點，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進而可求得的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.【詳解】易知點、，設點，其中，，且，，且，，，所以，，，因為，所以，，則，因此，該雙曲線漸近線方程為.故選：B.7、C【解析】因為線段D1Q與OP互相平分，所以四點O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時，Q一定在線段ON上運動，只有當P為C1D1的中點時，Q與點M重合，此時λ＝1，符合題意若P在線段C1B1與線段B1A1上時，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時，點Q在直線OM上運動，只有當P為線段D1A1的中點時，點Q與點M重合，此時λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個故選C.8、D【解析】利用等比數列的通項公式求解【詳解】由等比數列的通項公式得：.故選：D9、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關系；2、三角形的面積公式.10、D【解析】利用等差數列性質得到，，計算得到答案.詳解】等差數列中，故選D【點睛】本題考查了等差數列的計算，利用性質可以簡化運算，是解題的關鍵.11、C【解析】根據直線斜率的定義即可求解.【詳解】，斜率為1，則傾斜角為.故選：C.12、C【解析】根據雙曲線的漸近線方程的特點，結合虛軸長的定義進行求解即可.【詳解】因為雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16【解析】根據橢圓定義可得：，再用基本不等式求解.【詳解】由橢圓的定義可得：，由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立，故的最大值為16故答案為：1614、【解析】方法一：根據當線段為圓的直徑時，圓周長最小，由線段的中點為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據當線段為圓的直徑時，圓周長最小，根據以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點，半徑則所求圓的標準方程為方法二：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標準方程為15、【解析】由已知可得數列是以為首項，3為公比的等比數列，結合等比數列通項公式即可得解.【詳解】解：由在數列中，若，則數列是以為首項，為公比的等比數列，由等比數列通項公式可得，故答案為：.【點睛】本題考查了等比數列通項公式的求法，重點考查了運算能力，屬基礎題.16、【解析】先求定義域，再求導，針對分類討論，結合單調性，極值，最值得到，研究其單調性及其零點，求出結果.【詳解】定義域為，，當時，恒成立，在單調遞減，不會有兩個零點，故舍去；當時，在上，單調遞增，在上，單調遞減，故，又因為時，，時，，故要想在定義域內有兩個零點，則，令，，，單調遞增，又，故當時，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據面面平行的判定證明結論.（2）應用勾股定理、等邊三角形的性質、面面和線面垂直的性質可證、、兩兩垂直，構建空間直角坐標系，求面BPC、面PCA的法向量，再應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】因為D，H分別是PA，PC的中點，所以因為E，F分別是AB，BC的中點，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點，又H是PC的中點，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小問2詳解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，則因為△PAB為等邊三角形，點E為AB的中點，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故綜上，以E為坐標原點，以EB，EF，EP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，有，，，，則，，設平面BPC的法向量為，則，令，則設平面PCA的法向量為，則，令，則所以．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為18、（1）；（2）.【解析】(1)利用基本初等函數的導數公式及求導法則直接計算作答.(2)求出，再利用導數的幾何意義求出切線方程作答.【小問1詳解】函數定義域為，所以函數.【小問2詳解】由(1)知，，而，于是得，即，所以函數的圖象在點處的切線方程是.19、（1）1（2）【解析】（1）根據線面垂直得到，再由相似比得方程可求解；（2）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，運用夾角公式先求線面角的余弦值，再轉化為正弦值即可.小問1詳解】面，在矩形中，易得：；【小問2詳解】如四建立空間直角坐標系：則，，由題意可知：為平面的一個法向量，，，直線與面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）.【解析】(1)利用橢圓的焦點與拋物線的焦點相同，列出方程求解即可(2)設，、，，聯立直線與拋物線方程，利用韋達定理，通過，求出，得到直線方程【小問1詳解】由題意知：，，∴的方程是【小問2詳解】設，、，，由題意知，由，得，∴，，，∵以為直徑的圓過點，∴，即，∴，解得，∴直線的方程是21、（1），，；（2），.【解析】（1）根據莖葉圖求平均值，再由方差與均值的關系求，將莖葉圖中的數據從小到大排列確定中位數M.（2）由甲乙平均數及（1）的結果列方程求乙組數據的平均值，再由方差與均值的關系列方程組求出，進而求方差.【小問1詳解】，∴，由莖葉圖知：數據從小到大排列為∴.【小問2詳解】由題意，，又，因此.22、（1）證明見解析（2）存在【解析】（1）由已知可得∥，再由線面平行的判定可得∥平面，再由線面平行的性質可得∥，再由線面平行的判定可得結論，（2）由已知條件可證得兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸