2023高一數(shù)學(xué)暑假精講精練3.1.2函數(shù)的表示法新人教A版

3．1.2函數(shù)的表示法知識點(diǎn)一函數(shù)的表示方法知識點(diǎn)二分段函數(shù)1．一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．2．分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．3．作分段函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)分別作出每一段的圖象．題型一、函數(shù)的表示方法1．判斷正誤．（1）任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示．()（2）任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示．()（3）函數(shù)的圖象一定是其定義區(qū)間上的一條連續(xù)不斷的曲線．()【答案】

錯(cuò)誤

錯(cuò)誤

錯(cuò)誤【詳解】（1）如果函數(shù)的定義域是連續(xù)的數(shù)集，則該函數(shù)就不能用列表法表示；（2）有些函數(shù)無解析式，如某地一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化情況；（3）反例：的圖象就不是連續(xù)的曲線.2．某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇“題”，基礎(chǔ)分為50分，每答錯(cuò)一道題扣10分，答對不扣分，試分別用列表法?圖象法?解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之間的函數(shù)關(guān)系.【答案】列表、圖象見解析，解析法(x∈{0，1，2，3，4，5}).【詳解】該函數(shù)關(guān)系用列表表示為：x/道012345y/分50403020100該函數(shù)關(guān)系用圖象表示，如圖所示該函數(shù)關(guān)系用解析表示為（x∈{0，1，2，3，4，5}）.題型二、求函數(shù)解析式命題點(diǎn)1已知函數(shù)類型求解析式1．（1）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．（2）若二次函數(shù)g（x）滿足g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點(diǎn)，求g（x）的解析式．【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.【詳解】（1）設(shè)f（x）＝kx＋b（k≠0），則f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，即－kx＋3k－b＝2x＋3不論x為何值都成立，∴解得∴f（x）＝－2x－9.（2）設(shè)g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點(diǎn)，∴解得∴g（x）＝3x2－2x.2．（1）已知是一次函數(shù)，且，求；（2）已知是二次函數(shù)，且滿足，求.【答案】（1）或；（2）.【詳解】（1）設(shè)，則因?yàn)?，所以所以解得或所以或?）設(shè)由，得由得整理，得所以所以所以命題點(diǎn)2換元法求解析式1．設(shè)函數(shù)，則的表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則且，所以，，因此，.故選：B.2．若函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則，所以，即.故選：C3．已知函數(shù)，那么（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，則，.故選：C.4．若函數(shù)，則__________.【答案】【詳解】令，則，，函數(shù)的解析式為.故答案為：.命題點(diǎn)3配湊法求解析式1．已知，求的解析式.【答案】【詳解】，因?yàn)樗?，故答案為?2．已知f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋eq\f(1,x4)，求f

(x)的解析式；【詳解】(配湊法)∵f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2－2，∴f

(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．命題點(diǎn)4函數(shù)方程組法求解析式1．已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，則f(x)＝________．【答案】【詳解】因?yàn)?f(x)＋f(－x)＝3x，①所以將x用－x替換，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②解由①②組成的方程組得f(x)＝3x.故答案為3x2．已知f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，且3f(x)＋5f＝＋1，則函數(shù)f(x)的解析式為________．【答案】f(x)＝x－＋(x≠0)【詳解】用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x，得3f＋5f(x)＝3x＋1，不妨記：3f(x)＋5f＝＋1為①式；記3f＋5f(x)＝3x＋1為②式.①×3－②×5,化簡得f(x)＝x－＋(x≠0).故答案為：f(x)＝x－＋(x≠0).3．已知函數(shù)f(x)滿足f(x)＋2f(3－x)＝x2，則f(x)的解析式為（

）A．f(x)＝x2－12x＋18B．f(x)＝－4x＋6C．f(x)＝6x＋9D．f(x)＝2x＋3【答案】B【詳解】用代替原方程中的得：f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9，∴消去得：－3f(x)＝－x2＋12x－18，.故選：B命題點(diǎn)5賦值法求抽象函數(shù)的解析式1．已知定義在上的函數(shù)滿足：對于任意的實(shí)數(shù)，，都有，且，則函數(shù)的解析式為_____．【答案】【詳解】令，則所以由可得因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?．函數(shù)對一切實(shí)數(shù)都有成立，且.求的解析式；【答案】【詳解】令，，則，即，.令，則，.題型三、分段函數(shù)求值1．已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)4；4；(2)或.【詳解】(1)，，所以；(2)若，則，解得，符合；若，則，解得，均不符合；若，則，解得，符合，綜上，或.2．已知函數(shù).(1)求的值；(2)若，求的取值范圍；(3)畫出函數(shù)的圖象，若函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)；(3)圖象見解析，【詳解】(1)由題意可得，則.(2)當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，由，可得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．已知函數(shù)（1）求的值；（2）若在上恒成立，求m的取值范圍．【答案】（1）21；（2）【詳解】（1）函數(shù)，，，；（2）若在上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以在上，所以1．設(shè)為一次函數(shù)，且．若，則的解析式為（

）A．或 B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，其中，則，所以，，解得或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不合乎題意.綜上所述，.故選：B.2．若二次函數(shù)滿足，，求.【答案】.【詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足；所以設(shè)，則：；因?yàn)?，所以；∴；∴；∴，；?故答案為：.3．設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，令，則，，所以.故選：B.4．已知函數(shù)，則___________，函數(shù)___________.【答案】

6

【詳解】當(dāng)時(shí)，；設(shè)，得，則，所以故答案為：；5．已知函數(shù)f(x+1)=x2+2x，則的解析式為________.【答案】【詳解】令，則，，所以，即.故答案為：.6．已知，求的解析式．【答案】【詳解】，令，則，.7．已知函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)、都有成立，且．（1）求的值；（2）求的解析式．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）令，，因?yàn)?，，所以，即；?）因?yàn)?，令，則，所以.8．已知，對于任意實(shí)數(shù)、，恒成立，則的解析式為_________.【答案】【詳解】令，則有，再令，則.故答案為：.9．設(shè)，，且，則______.【答案】1【詳解】①，令則②

②①，得，，故故答案為：110．已知函數(shù)滿足，則___________.【答案】【詳解】因?yàn)棰?，所以②，②①得，．故答案為：?1．已知對于任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）都滿足f（x）+2f（2-x）=x，則f（x）的解析式為______．【答案】【詳解】由題意，因?yàn)閒（x）+2f（2-x）=x①；∴f（2-x）+2f（x）=2-x②；①②聯(lián)立解得.故答案為．12．求下列函數(shù)的解析式：(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知求f(x)的解析式.【詳解】(1)(2)以－x代替x得：,與聯(lián)立得：.13．根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式.（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)為一次函數(shù)；（2）f(2x＋1)＝6x＋5；（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.【詳解】（1）由題意，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，則f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1由恒等式性質(zhì)，得或∴所求函數(shù)解析式為或（2）設(shè)2x＋1＝t，則∴f(x)＝3x＋2.（3）將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，∴聯(lián)立以上兩式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，14．（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求函數(shù)的解析式；（5）已知是上的函數(shù)，，并且對任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．【詳解】（1）∵，∴．（2）設(shè)，則，，即，∴，∴．（3）∵是二次函數(shù)，∴設(shè)．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，則，∴．15．已知函數(shù)(1)分別求和的值；(2)若，求的值．【詳解】(1)，因?yàn)?，所以?2)若，則，解得（舍）或；若，則，解得（舍）或；綜上：.16．已知（1）求；（2）若，求a的值；（3）若其圖像與y=b有三個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍.【詳解】（1），，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，（3）作出的圖象，如圖，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，與y=b有三個(gè)交點(diǎn).17．已知函數(shù)（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的圖象如下圖所示：（2）；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，綜上所述：x的取值范圍為：.1．根據(jù)下列條件，求的解析式(1)已知滿足(2)已知是一次函數(shù)，且滿足；(3)已知滿足【詳解】(1)令，則，故，所以；(2)設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，所以?3)因?yàn)棰?，所以②，②①得，所?2．（1）已知二次函數(shù)滿足，求的解析式；（2）已知滿足，求的解析式.【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)，則，故，解得，故.（2）因?yàn)闈M足，則，聯(lián)立方程組解得，即為所求.3．根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式；（1）已知是一次函數(shù)，且滿足；（2）已知函數(shù)為二次函數(shù)，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式對一切實(shí)數(shù)?都成立，且；（5）知函數(shù)滿足條件對任意不為零的實(shí)數(shù)恒成立；（6）已知，求的解析式．【詳解】（1）設(shè)，則所以解得：所以；（2）設(shè)，解得：（3），令，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得或，，或（4）因?yàn)閷σ磺袑?shí)數(shù)?都成立，且令則，又因?yàn)樗?，即?）將代入等式得出，聯(lián)立，變形得：，解得（6）由題意得：定義域?yàn)樵O(shè)，則

．4．（1）已知，求的解析式．（2）已知滿足，求的解析式．（3）已知，求的解析式．【詳解】（1）∵，且或，∴（或）．（2）∵①，把①中的x換成，得2f()＋f(x)＝②，①×2－②得3f(x)＝6x－，∴．（3）∵，用－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，兩式聯(lián)立得：.5．根據(jù)下列條件，求f(x)的解析式.（1）f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；（2）f(x＋1)＝x2＋4x＋1；（3）.【詳解】（1）解由題意，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，由恒等式性質(zhì)，得∴a＝1，b＝3∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x＋3.（2）設(shè)x＋1＝t，則x＝t－1f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1即f(t)＝t2＋2t－2.∴所求函數(shù)解析式為f(x)＝x2＋2x－2.（3）解，將原式中的x與互換，得.于是得關(guān)于f(x)的方程組解