高中數(shù)學算法基本思想2課件北師大必修3207

算法的基本思想第二課時教學目標:體會用二分法求方程近似解的算法思想.教學重難點:算法的設計及意義對于一元二次方程,可以用熟悉的求根公式來求解,但是,絕大部分的方程不存在求根公式.在實際問題中,通常只要獲得滿足一定精確度的近似解就可以了.因此,討論方程近似解的算法具有重要的意義!設計一個算法,解方程組的正整數(shù)解x+y+z=62x-3y+z=6解:(1)因為x6,所以,x可能為,1,2,3,4,5,6(2)就x的6種情況進行討論,x=1,問題變?yōu)榍蟮恼麛?shù)解;y+z=5-3y+z=4……按照上述步驟討論完x的情形,就得到方程組的的所有正整數(shù)解x=4y=1z=1b.x=2時,問題變?yōu)榍髖+z=4-3y+z=2的整數(shù)解在函數(shù)的應用部分,我們學習了用二分法求方程f(x)=0的近似解.如圖所示yxOabx*二分法的基本思想是:將方程的有解區(qū)間分為兩個小區(qū)間,然后判斷解在哪個小區(qū)間;繼續(xù)把有解的區(qū)間一分為二進行判斷,如此周而復始,直到求出滿足精度要求的近似解.1.確定有解區(qū)間

(f(a)f(b)<0).2.取的中點3.計算函數(shù)f(x)在中點處的函數(shù)值4.判斷函數(shù)值是否為零其算法步驟如下:如果為零,就是方程的解,問題就得到解決.1)若,則得新有解區(qū)間為b)如果函數(shù)值不為零,則分下列兩種情形:

2)若，則確定新的有解區(qū)間為5.判斷新的有解區(qū)間長度是否小于精確度:(1)如果新的有解區(qū)間長度大于精確度,則在新的有解區(qū)間的基礎上重復上述步驟;(2)如果新的有解區(qū)間長度小于或等于精確度,則取新的有解區(qū)間的中點為方程的近似解.1.求方程f(x)=x3+x2-1=0在區(qū)間上的實數(shù)解,精確度為0.1.解:1.因為f(0)=-1,f(1)=1,f(0)f(1)<0,則區(qū)間為有解區(qū)間,精度1-0=1>0.12.取的區(qū)間中點0.5;3.計算f(0.5)=-0.125;4.由于f(0.5)f(1)<0,可得新的有解區(qū)間

,精度1–0.5=0.5>0.1練習6.計算f(0.75)=-0.1563;7.由于f(0.75)f(1)<0,可得新的有解區(qū)間,精度1-0.75=0.25>0.18.取區(qū)間的中點0.875;9.計算f(0.875)=0.4355510.由于f(0.75)f(0.875)<0,可得精度0.875-0.75=0.125>0.1;11.取區(qū)間的中點0.81255.取的區(qū)間中點0.75;11.計算f(0.8125)=0.1965312.因f(0.75)f(0.8125)<0,得區(qū)間精度0.8125-0.75=0.0625<0.113.該區(qū)間一滿足精確度的要求,所以取該區(qū)間的中點0.78125,它是方程的一個近似解.簡化寫法:第一步:令f(x)=x3+x2-1,因為f(0)f(1)<0,所以設x1=0,x2=1.第二步:令m=,判斷f(m)是否為0,若是,則m為所求;若否,則繼續(xù)判斷f(x1)f(m)大于0還是小于0.第三步:若f(x1)f(m)>0,則令x1=m;否則,令x2=m.第四步:判斷|x1-x2|<0.1是否成立?若是,則x1,x2之間的中間值為滿足條件的近似根;若否,則返回第二步算法,出現(xiàn)在12世紀,指的是運用阿拉伯數(shù)字進行算術運算的過程.在數(shù)學中,現(xiàn)代意義上的“算法”,通常指的是可以用計算機來解決來解決的某一類問題的程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確的有效的,而且能夠在有限步之內完成.練習2.設計一個算法,求函數(shù)y=log2x,當x=3時的函數(shù)值(精確到0.1)(用反函數(shù)的思想轉化為求f(x)=2x-3=0的近似解.用二分法算法計算)解:算法(二分法):因為f(1)=-1,f(2)=1,f(1)f(2)<0,所以取區(qū)間第一步:輸入a,b;即區(qū)間端點的值第二步:取區(qū)間的中點,將區(qū)間一分為二;第三步:若f(x0)=0,則x0就是所求函數(shù)的零點,輸出x*=x0,結束;否則判斷x*在x0的左側還是右側;若f(a)f(x0)>0,則x*屬于(x0,b),a=x0;若f(a)f(x0)<0則x*屬于(a,x0),b=x0;第四步:若|a-b|<0.1,計算終止,輸出x*=x0,否則轉到第二步.求方程在[0,5]上的近似解，精確到0.05分析：如何求方程的根？我們可以參考p91～92解法1（1）移項，得（2）兩邊同時加1并配方得：（3）兩邊同時開放得：x=3或x=-1（4）取x=3解法21因為f(0)=-3,f(5)=12,f(0).f(5)<0,則在區(qū)間[0,5]上有解，精度為：5-1＝4>0.052取[0,5]的中點2.5；計算f(2.5)=-1.75,則f(5)f(2.5)<0,精度：5-2.5＝2.5>0.013取[2.5,5]的中點3.75，計算f(3.75)=3.5625,則f(2.5)f(3.5625)<0,精度：3.5625-2.5＝1.1625>0.054取[2.5,3.5625]的中點3.03125，則f(3.03125)=0.12598,則f(3.03125)f(2.5)<0,精確度：3.03125-2.5＝0.53125>0.055取[2.5,3.03125]的中點2.765625，則f(2.765625)=-0.88257,精度：3.03125-2.765625＝0.2657>0.056取[2.765625,3.03125]的中點2.8984，f(2.8984)=-0.340,則f(2.8984)f(3.03125)<0,精度：3.03125-2.898＝0.13>0.057取[2.8984,3.03125]的中點2.9648，則f(2.96)=-0.140,則f(3.03125)f(2.9648)<0,精度：3.031-2.968＝0.06>0.018