2023-2024學年江蘇南京市、鹽城市數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學年江蘇南京市、鹽城市數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點A的坐標為，點P是雙曲線在第二象限的部分上一點，且，點Q是線段的中點，且，Q關(guān)于直線PA對稱，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2C. D.2．阿基米德既是古希臘著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點，焦點、在軸上，橢圓的面積為，且離心率為，則的標準方程為（）A. B.C. D.3．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.14．在等比數(shù)列中，，且，則t＝（）A.-2 B.－1C.1 D.25．已知，則（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)對于任意的滿足，其中是函數(shù)的導函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.7．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的值是（）A. B.C. D.8．設aR，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.10．已知集合A=（）A. B.C.或 D.11．中，，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，且，那么（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與是平面的兩個法向量，則__________14．直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，與其準線交于點C，若，則直線l的斜率為______.15．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）16．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若與相交于A、兩點，設，求.18．（12分）阿基米德（公元前年—公元前年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點的直線與交于不同的兩點，求面積的最大值.19．（12分）已知的內(nèi)角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.20．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于，兩點，且（1）求拋物線的方程；（2）若，是拋物線上一點，過點的直線與拋物線交于，兩點（均與點不重合），設直線，的斜率分別為，，求證：為定值21．（12分）已知三角形內(nèi)角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.22．（10分）在數(shù)列中，，且，（1）求的通項公式；（2）求的前n項和的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由角平分線的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線的離心率.【詳解】由題設，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C2、A【解析】設橢圓方程為，解方程組即得解.【詳解】解：設橢圓方程為，由題意可知，橢圓的面積為，且、、均為正數(shù)，即，解得，因為橢圓的焦點在軸上，所以的標準方程為.故選：A.3、B【解析】由可得拋物線標椎方程為：，由焦點和準線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，所以拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為，故選：B【點睛】本題考了拋物線標準方程，考查了焦點和準線相關(guān)基本量，屬于基礎題.4、A【解析】先求出，利用等比中項求出t.【詳解】在等比數(shù)列中，，且，所以所以，即，解得：.當時，，不符合等比數(shù)列的定義，應舍去，故.故選：A.5、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式及求導法則求導函數(shù)即可.【詳解】.故選：B.6、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C7、B【解析】模擬程序運行后,可得到輸出結(jié)果,利用裂項相消法即可求出答案.【詳解】模擬程序運行過程如下:0),判斷為否,進入循環(huán)結(jié)構(gòu),1),判斷為否,進入循環(huán)結(jié)構(gòu),2),判斷為否,進入循環(huán)結(jié)構(gòu),3),判斷為否,進入循環(huán)結(jié)構(gòu),……9),判斷為否,進入循環(huán)結(jié)構(gòu),10),判斷為是,故輸出,故選:B.【點睛】本題主要考查程序框圖,考查裂項相消法,難度不大.一般遇見程序框圖求輸出結(jié)果時,常模擬程序運行以得到結(jié)論.8、A【解析】運用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時a的值，而后運用充分必要條件的知識來解決即可解：∵當a=1時，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件故選A考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系9、B【解析】根據(jù)輸入的條件執(zhí)行循環(huán)，并且每一次都要判斷結(jié)論是或否，直至退出循環(huán).【詳解】，，，；，【點睛】本題考查程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎題.10、A【解析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運算，即可求出結(jié)果.【詳解】因為集合，所以.故選：A.11、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.12、D【解析】由遞推公式得到，，，再結(jié)合已知即可求解.【詳解】解：由，得，，又，那么故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由且為非零向量可直接構(gòu)造方程求得，進而得到結(jié)果.【詳解】由題意知：，，解得：（舍）或，.故答案為：.14、【解析】由拋物線方程求出焦點坐標與準線方程，設直線為，、，即可得到的坐標，再聯(lián)立直線與拋物線方程，消元列出韋達定理，表示出、的坐標，根據(jù)得到方程，求出，即可得解；【詳解】解：拋物線方程為，則焦點，準線為，設直線為，、，則，由，消去得，所以，，則，，因為，所以，所以，所以，解得，所以，即直線為，所以直線的斜率為；故答案為：15、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因為，由，，得，所以，得，因為，所以，，所以，，所以，.故答案為：.16、2【解析】由已知得，，然后計算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的普通方程為；曲線的直角坐標方程為（2）【解析】（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系式把參數(shù)方程和極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程；（2）易得滿足直線的方程，轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，再利用韋達定理結(jié)合弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)化為普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；【小問2詳解】解：因為滿足直線的方程，將轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，得，設A、兩點的參數(shù)分別為，則，所以.18、(1)；(2).【解析】（1）根據(jù)題意計算得到，得到橢圓方程.（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達定理得到，，表示出，解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標準方程是.(2)由題意直線的斜率不能為，設直線的方程為，由方程組得，設，，所以，，所以，所以，令（），則，，因為在上單調(diào)遞增，所以當，即時，面積取得最大值為.【點睛】本題考查了橢圓方程，橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為

.20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)聯(lián)立直線和拋物線方程，根據(jù)拋物線定義和焦半徑公式得到，根據(jù)韋達定理可得到最終結(jié)果；（2）代入點坐標可得到參數(shù)的值，設直線的方程為，聯(lián)立該直線和拋物線方程，，代入韋達定理可得到最終結(jié)果.【小問1詳解】設點，，點，，聯(lián)立，整理得，，由拋物線的定義知，解得，拋物線的方程為【小問2詳解】，為拋物線上一點，，即，設，，，，直線的方程為，由，消去得，，，，即為定值21、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因為，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，