西藏示范名校2023屆高三下學期自測卷(四)線下考試數(shù)學試題_第1頁
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文檔簡介

西藏示范名校2023屆高三下學期自測卷(四)線下考試數(shù)學試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.2.已知點是雙曲線上一點,若點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.23.在中,點D是線段BC上任意一點,,,則()A. B.-2 C. D.24.2019年10月1日上午,慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵儀式在天安門廣場隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我國的科技軍事力量,更是讓世界感受到了中國的日新月異.今年的閱兵方陣有一個很搶眼,他們就是院校科研方陣.他們是由軍事科學院、國防大學、國防科技大學聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來自上述三所學校,學歷分別有學士、碩士、博士學位.現(xiàn)知道:①甲不是軍事科學院的;②來自軍事科學院的不是博士;③乙不是軍事科學院的;④乙不是博士學位;⑤國防科技大學的是研究生.則丙是來自哪個院校的,學位是什么()A.國防大學,研究生 B.國防大學,博士C.軍事科學院,學士 D.國防科技大學,研究生5.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖,在塹堵中,,,當陽馬體積的最大值為時,塹堵的外接球的體積為()A. B. C. D.6.已知實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù),當時,,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.9.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為()A. B. C. D.10.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國成立70周年,小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?,這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”,為了弄清“國富民強”這一作品是誰制作的,村支書對三人進行了問話,得到回復如下:小明說:“鴻福齊天”是我制作的;小紅說:“國富民強”不是小明制作的,就是我制作的;小金說:“興國之路”不是我制作的,若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明11.設(shè)是虛數(shù)單位,則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件12.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)所有直線與l異面B.α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點數(shù),則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.14.某種圓柱形的如罐的容積為個立方單位,當它的底面半徑和高的比值為______.時,可使得所用材料最省.15.復數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為__________.16.已知向量,,若滿足,且方向相同,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,內(nèi)接于圓O,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,平面ABC,,.(1)求證:平面ACD;(2)設(shè),表示三棱錐B-ACE的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.18.(12分)已知四棱錐中,底面為等腰梯形,,,,丄底面.(1)證明:平面平面;(2)過的平面交于點,若平面把四棱錐分成體積相等的兩部分,求二面角的余弦值.19.(12分)如圖為某大江的一段支流,岸線與近似滿足∥,寬度為.圓為江中的一個半徑為的小島,小鎮(zhèn)位于岸線上,且滿足岸線,.現(xiàn)計劃建造一條自小鎮(zhèn)經(jīng)小島至對岸的水上通道(圖中粗線部分折線段,在右側(cè)),為保護小島,段設(shè)計成與圓相切.設(shè).(1)試將通道的長表示成的函數(shù),并指出定義域;(2)若建造通道的費用是每公里100萬元,則建造此通道最少需要多少萬元?20.(12分)如圖,在正四棱錐中,,點、分別在線段、上,.(1)若,求證:⊥;(2)若二面角的大小為,求線段的長.21.(12分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,二面角為,求異面直線與所成角的余弦值.22.(10分)若數(shù)列滿足:對于任意,均為數(shù)列中的項,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)若數(shù)列的前項和,,試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”?說明理由;(2)若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”,求的取值范圍;(3)若數(shù)列為“數(shù)列”,,且對于任意,均有,求數(shù)列的通項公式.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)向量坐標運算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標運算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.2、A【解析】

設(shè)點的坐標為,代入橢圓方程可得,然后分別求出點到兩條漸近線的距離,由距離之積為,并結(jié)合,可得到的齊次方程,進而可求出離心率的值.【詳解】設(shè)點的坐標為,有,得.雙曲線的兩條漸近線方程為和,則點到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為,所以,則,即,故,即,所以.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,構(gòu)造的齊次方程是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.3、A【解析】

設(shè),用表示出,求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由,,.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算,需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校;由②和⑤可判斷丙的學位.【詳解】由題意①甲不是軍事科學院的,③乙不是軍事科學院的;則丙來自軍事科學院;由②來自軍事科學院的不是博士,則丙不是博士;由⑤國防科技大學的是研究生,可知丙不是研究生,故丙為學士.綜上可知,丙來自軍事科學院,學位是學士.故選:C.【點睛】本題考查了合情推理的簡單應(yīng)用,由條件的相互牽制判斷符合要求的情況,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用均值不等式可得,即可求得,進而求得外接球的半徑,即可求解.【詳解】由題意易得平面,所以,當且僅當時等號成立,又陽馬體積的最大值為,所以,所以塹堵的外接球的半徑,所以外接球的體積,故選:B【點睛】本題以中國傳統(tǒng)文化為背景,考查四棱錐的體積、直三棱柱的外接球的體積、基本不等式的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng).6、A【解析】

所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因為滿足,則,當且僅當時取等號,故選:.【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應(yīng)注意檢驗利用基本不等式的前提.7、A【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù),令導數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當x∈(0,1)時,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當x∈(1,+∞)時,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當x∈(-1,0)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當x∈(-∞,-1)時,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項.點睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個高中數(shù)學的教學之中.某些數(shù)學問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進行全面、準確的認識,并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點,構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.9、C【解析】

由題意知:,,設(shè),則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設(shè),則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來,再一一論證.【詳解】依題意,三個人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國富民強小紅小金小金小明小紅小明興國之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確,則均不滿足;若小紅的說法正確,則4滿足;若小金的說法正確,則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.【點睛】本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

結(jié)合純虛數(shù)的概念,可得,再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設(shè),此時復數(shù),不是純虛數(shù),所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關(guān)系是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

通過條件判斷直線l與平面α相交,于是可以判斷ABCD的正誤.【詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α,且l?α可知直線l與平面α相交,于是ABC錯誤,故選D.【點睛】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系,直線與直線的位置關(guān)系,難度不大.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】總事件數(shù)為,目標事件:當?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標事件共20中,所以。14、【解析】

設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導數(shù)求出最值,從而進一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當時,取得最小值,即材料最省,此時.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式,再利用導數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.15、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點:復數(shù)的代數(shù)運算16、【解析】

由向量平行坐標表示計算.注意驗證兩向量方向是否相同.【詳解】∵,∴,解得或,時,滿足題意,時,,方向相反,不合題意,舍去.∴.故答案為:1.【點睛】本題考查向量平行的坐標運算,解題時要注意驗證方向相同這個條件,否則會出錯.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2),最大值.【解析】

(1)先證明,,故平面ADC.由,即得證;(2)可證明平面ABC,結(jié)合條件表示出,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)證明:∵四邊形DCBE為平行四邊形,∴,.∵平面ABC,平面ABC,∴.∵AB是圓O的直徑,∴,且,平面ADC,∴平面ADC.∵,∴平面ADC.(2)解∵平面ABC,,∴平面ABC.在中,,.在中,∵,∴,∴,∴.∵,當且僅當,即時取等號,∴當時,體積有最大值.【點睛】本題考查了線面垂直的證明和三棱錐的體積,考查了學生邏輯推理,空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.18、(1)見證明;(2)【解析】

(1)先證明等腰梯形中,然后證明,即可得到丄平面,從而可證明平面丄平面;(2)由,可得到,列出式子可求出,然后建立如圖的空間坐標系,求出平面的法向量為,平面的法向量為,由可得到答案.【詳解】(1)證明:在等腰梯形,,易得在中,,則有,故,又平面,平面,,即平面,故平面丄平面.(2)在梯形中,設(shè),,,,而,即,.以點為坐標原點,所在直線為軸,所在直線為軸,所在直線為軸,建立如圖的空間坐標系,則,,設(shè)平面的法向量為,由得,取,得,,同理可求得平面的法向量為,設(shè)二面角的平面角為,則,所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定,考查了利用空間向量的方法求二面角,考查了棱錐的體積的計算,考查了空間想象能力及計算能力,屬于中檔題.19、(1),定義域是.(2)百萬【解析】

(1)以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系,設(shè),利用直線與圓相切得到,再代入這一關(guān)系中,即可得答案;(2)利用導數(shù)求函數(shù)的最小值,即可得答案;【詳解】以為原點,直線為軸建立如圖所示的直角坐標系.設(shè),則,,.因為,所以直線的方程為,即,因為圓與相切,所以,即,從而得,在直線的方程中,令,得,所以,所以當時,,設(shè)銳角滿足,則,所以關(guān)于的函數(shù)是,定義域是.(2)要使建造此通道費用最少,只要通道的長度即最小.令,得,設(shè)銳角,滿足,得.列表:0減極小值增所以時,,所以建造此通道的最少費用至少為百萬元.【點睛】本題考查三角函數(shù)模型的實際應(yīng)用、利用導數(shù)求函數(shù)的最小值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.20、(1)證明見解析;(2).【解析】試題分析:由于圖形是正四棱錐,因此設(shè)AC、BD交點為O,則以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標系,可用空間向量法解決問題.(1)只要證明=0即可證明垂直;(2)設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ),然后求出平面MBD的法向量,而平面ABD的法向量為,利用法向量夾角與二面角相等或互補可求得.試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點O,以O(shè)A為x軸正方向,以O(shè)B為y軸正方向,OP為z軸正方向建立空間直角坐標系.因為PA=AB=,則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).由=,得N,由=,得M,所以,=(-1,-1,0).因為=0,所以MN⊥AD(2)解:因為M在PA上,可設(shè)=λ,得M(λ,0,1-λ).所以=(λ,-1,1-λ),=(0,-2,0).設(shè)平面MBD的法向量=(x,y,z),由,得其中一組解為x=λ-1,y=0,z=λ,所以可取=(λ-1,0,λ).因為平面ABD的法向量為=(0,0,1),所以cos=,即=,解得λ=,從而M,N,所以MN==.考點:用空間向量法證垂直、求二面角.21、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)取中點連接,得,可得,可證,可得,進而平面,即可證明結(jié)論;(2)設(shè)分別為邊的中點,連,可得,,可得(或補角)是異面直線與所成的角,,可得,為二面角的平面角,即,設(shè),求解,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明:取中點連接,由則,則,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:設(shè)分別為邊的中點,則,(或補角)是異面直線與所成的角.設(shè)為邊的中點,則,由知.又由(1)有平面,平面,所以為二面角的平面角,,設(shè)則在中,從而在中,,又,

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