2022-2023高三鎮(zhèn)江一模試卷【含解析】

鎮(zhèn)江市2023屆高三第一次調(diào)研測試

數(shù)學(xué)

本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，將條形碼橫

貼在答題卡“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用23鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂

黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案答案.不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)

相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題.本題共8小題，每小題5分，共4()分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.己知集合人=(*|啜k3},3={x|2<x<4),則AB=()

A.(2,3]B.[1,4)C.(-oo,4)D.[l,+oo)

【答案】A.

【解析】解：A8={x|2<%,3}=(2,3].

故選：力.

2.已知向量a,尾滿足|d|=l,|6|=ZSZ〉=生，則&-3+b)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C.

【解析】解：根據(jù)題意可得a(a+8)=a2+“-6=l+lx2*(-g)=0,

故選：C.

3.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)A/2對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線x-y=0對稱，若馬=1-7,則|Z|-Zzl=()

A.應(yīng)B.2C.2&D.4

【答案】C.

【解析】解：4=l-i對應(yīng)的點(diǎn)為(1,-1),其中(1,-1)關(guān)于x-y=0的對稱點(diǎn)為(-1,1),

故z?=-1+i>

故|Z1-z?|=|!-?+1-?1=12-2z|=74+4=2>/2.

故選：C.

4.2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船

與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個

焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)(長軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))距地面近地點(diǎn)(長軸端點(diǎn)中離地

面最近的點(diǎn))距地面邑，地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為()

A.心邑B.2心邑

C.+R)(S]+R)D.2j($+R)(Sz+R)

【答案】D.

【解析】解：由題意得a+c=S]+R,a—c=S-,+R>

h2=a2-c2=(S,+R)(&+R),

故5=Q(S1+R)(S?+R),

2b=2"(g+R)⑸+R).

故選：D.

5.已知sin(a-馬+cosa=3,則cos(2a+巴)=()

【答案】B.

【解析】解：因?yàn)閟in(a-三)+cosa=-,

而I'JJ3.13

加以——sina——cosa+cosa=一，

225

所以sin(a+—)=-,

JTJTO7

則cos(2a+—)=l-2sin2(a+—)=l-2x-=一.

362525

故選：B.

6.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布有下列四個命題:

甲：P[X>m+l)>P(X<m-2)；乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(X?m)=0.5；T：P(m-\<X<m)<P(m+\<X<m+2).

如果只有一個假命題，則該命題為()

A甲8.乙C.丙D丁

【答案】D.

【解析】解：命題乙，丙同真假，

由題意可知，四個命題只有一個為假命題，故乙，丙均為真命題，

所以〃="2,

P(X>m+l)=P(X<m-1)>P(X<m-2),故甲正確，

P(m-1<X<m)=P(m<X<m+V)>P[m+1<X<m+2),故丁錯.

故選：D.

7.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且/(2x+l)為偶函數(shù)，./'(x)=/(x+l)-f(x+2),若/(1)=2,

則/。8)=()

41B.2C.-1D.-2

【答案】A.

【解析】解：因?yàn)?(2x+l)為偶函數(shù)，所以/(2x+l)=/(-2x+l),

所以/(x+l)=/(-x+l),則/(X)關(guān)于X=1對稱，

^/(%)=2sin(—x+—),/(I)=2sin(—+—)=2,關(guān)于x=l對稱，

3636

7C7C714

/(x)+/(x+2)=2sin(-x+-)+2sin[-(x+2)+-]

3636

=2[sin(—x+—)+sin(—x+—?)]

3636

z、n7tn.冗.57r冗

=zlsin-xcos—hcos-xsin—hsm-xcos---Fcos—xsin——1

36363636

=2cos—x

3

/(x+1)=2sin(yx+—)=2cos—x,

所以/(x+l)=f(x)+/(x+2),

1-rr

即/(x)=2sin(-乃x+—)符合條件，

36

rr

所以/(18)=2sin(6^d——)=1.

6

故選：A.

8.若過點(diǎn)P?,0)可以作曲線y=(1-x)e"的兩條切線,切點(diǎn)分別為A(x},y,),B(x2,y2),則y]y2

的取值范圍是()

A(0,4-3)B.(-8,0)U(0,4e—3)

C.(-00,41)D.(-oo,0)U(0,4^2)

【答案】D.

【解析】解：設(shè)切點(diǎn)(%,(I-/)*),y'=-e'+(l-x)e'=re'左二-8)*，

則切線方程為y—=-x0^(x-x0),又切線過Q,0),

a

一(I—x())e“=~xoe'(t—x0),%—1=—xn(f-%),

%—1=—Zx0+xj—(f+l)x0+1=0有兩個不相等實(shí)根X1,x2,

2

其中x^x2=l,x,+x2=/+1,*=(Z+l)-4>0,>1或f<一3,

y%=(1一公)(1-Wb**&=口一(%+%)+=(l-r>'+，>

令g(f)=(lT)*,「>1或，<一3,g'(f)=Ve川，

當(dāng)f<-3時，g'(r)>0,當(dāng)f>I時，g'⑴<0,

函數(shù)g(x)在(-8,-3)上遞增，在(l,+oo)上遞減，

又g(-3)=4e",g⑴=0,

當(dāng)f->Y?時，g(O—>0>當(dāng)f->+8時，g(f)f+oo,

.?.g(f)e(-o>,0)U(0,4e-2),

即yy2e(-co,0)I(0,4e<).

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.在棱長為2的正方體48CD-AMG.中，AC與8。交于點(diǎn)O,則()

A.A.//平面80G

B.8DJ_平面COG

C.C0與平面ABCZ)所成的角為45。

D.三棱錐C-8OG的體積為:

【答案】ABD.

【解析】解：AD、UBC、,4。仁平面BQu平面BOC「〃平面BOC-A

對；

因?yàn)?￡>_LCO,又CGJ■平面MCD,8Du平面A8C￡),

所以8O_LCC|,CDCJ=C,CD、Cgu平面COQ,.?.B￡)_L平面COg,B對；

因?yàn)镚C，平面ABCD,GO與平面所成角為NCQC,

2

因?yàn)閠anNC0C二正工1,/.ZC.OC^45°,C錯；

112

因?yàn)椋?HOC=%—BOC=—X—x2xlx2=—,￡)對.

CoC/C|CJo</(.323

故選：ABD.

10.函數(shù)/0)=$皿如+8)3>0,|°|<今的部分圖象如圖所示，則()

C.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)臉,0)對稱

D./*)在區(qū)間(肛區(qū))上單調(diào)遞增

4

【答案】ACD.

【解析】解：--—T=7V=――,

2632s

兀2

/.ty=2,f(x)=sin(2x+0),f(―)=sin(—+^)=1,

,-r7T冗冗217萬

由于——<(p<—,—<(p+——<——,

22636

所以9+與=所以A選項(xiàng)正確，區(qū)選項(xiàng)錯誤.

f(x)=s\n(2x——),2x--=k7r,x=—+—,kGZ,

66122

當(dāng)&=o時，得X=\，所以/(x)關(guān)于1,0)對稱，C選項(xiàng)正確，

7cAi—TC7t_..

——+2K(7i<2x——<—+2ZC|兀、——+<x<—+TI、占wZ,

當(dāng)仁=1時，得f(x)在(2%上萬)上遞增，則f(x)在區(qū)間(肛把)上單調(diào)遞增，。選項(xiàng)正確.

634

故選：ACD.

11.一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍(lán)，從袋中先后無放

回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到黃球”為事件B,則()

A.P(A)=|B.A,B為互斥事件

C.尸(8|A)=JD.A,8相互獨(dú)立

【答案】AC.

【解析】解：P(A)=」,A正確；

3

A,5可同時發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球“，A,8不互斥，B錯誤；

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為正確；

2

P(B)=汜+：x0="A3)="=9,P(A3)wP(A)P(B),

3233326

故A,8不獨(dú)立，。錯誤；

故選：AC.

12.已知拋物線V=4y的焦點(diǎn)為尸，以該拋物線上三點(diǎn)A,B,C為切點(diǎn)的切線分別是人，

12,13,直線4相交于點(diǎn)4與6，4分別相交于點(diǎn)P，Q-記A,B,。的橫坐標(biāo)

分別為X，x2,x3,則()

A.DADB=OB.xt+x2=2x3

C.\AF\-\BFH￡>F|2D.\AP\-\CQ\^PC\-\PD\

【答案】BCD.

【解析】解：A,B,。的橫坐標(biāo)分別為％,々，芻，

則可設(shè)如凈,B&,多,C(x°,多,

,所以/]的斜率勺=」為，

由拋物線V=4)，，可得y=求導(dǎo)得y=—X

2121

所以/|:=，即y=gx|X一；x：

同理可得4：y=-xx--x^>

2224-

[11,_x+x

y=4x}2

2

直線4,4方程聯(lián)立24，解得，即忍=土上區(qū)，所以為+々=2匕，

1?,_2

>，=2%2%~4^[y

故8正確；

"丁‘丁’

則-巖[-竽a「詈，小竽

為一七X|（X|一々）“々7]X2（X2~X1）

；乂)

2，424

=_（占一占）（4+冊/）,不一定為0,故A錯誤;

16

IAFH8用=g+l)(J+l)=吟+f+J+l,

|0/|2=(%+々)2「盧二[)2=為2+2%馬+七2—?1二石

44~4162~16

，故C正確;

/,盧+x°xlXo,0產(chǎn)+》，5。,

2142,4

AP\\CQ\=\PC\\PD\,。正確,

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知函數(shù)〃x)=[；：bj：-"<1,則〃/(_2))=

【答案】4.

【解析】解：因?yàn)槲觥?=[：：產(chǎn)2(2T),X<1,

[2,x.A

所以/(-2)=l+log2(2—(―2))=l+log24=3,

所以/(/(-2))=/(3)=23T=r=4.

故答案為:4.

14.寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式《,=.

①a—<0；②

【答案】（-2）".

【解析】解：可構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)公比為q,

由41a,用<0,可知公比q為負(fù)數(shù)，

因?yàn)閨4IVa"”|,所以|q|>l,

所以q可取一2,設(shè)%=—2,

貝iJa“=-2-（-2）'i=（-2）".

故答案為：（-2）".

15.已知圓O:d+y2=r2（r>o）,設(shè)直線x+Gy-6=。與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A,B,

若圓。上有且只有一個點(diǎn)P滿足|4尸|=|BP\,則，?的值為.

【答案】

2

【解析】解：根據(jù)題意易得A（百,0）,例0,1）,PA=

.?/在AB的垂直平分線上，又?jǐn)?-4，

.?.4?中垂線的斜率為6，又AB的中點(diǎn)為（日,；），

由點(diǎn)斜式方程得y-：=6（x-1）,

化簡得y=Gx-l,

又P在圓+y=產(chǎn)滿足條件的p有且僅有一個，

.??直線y=Gx-l與圓相切，..「="=」==4，

vm2

故答案為：

2

16.已知正四棱錐S-他8的所有棱長都為1,點(diǎn)E在側(cè)棱SC上.過點(diǎn)E且垂直于SC的

平面截該棱錐，得到截面多邊形「，則「的邊數(shù)至多為,「的面積的最大值

為.（第一空2分，第二空3分）

【答案】5；立.

3

【解析】解：取SC中點(diǎn)尸，BF1SC,DFA.SC,DFBF=F,

;.SCJ■平面5。尸，

作平面與平面8。尸平行，截面至多為五邊形，如圖,

令些=2,:.EP=ABF=—A,SP=4SB=2,

SF2

.?.依=1一幾，BQ=\-A,PQ=\-A,NQ=MP=^BD=Jb,

33c

1+：-2]2^/0

cosZDFB=-^-4—=-=--，sinZDFB=-

°GG33

2x—x—

22

c_1y/3y(3.2>/2_V2.2

SAEMP=5*彳*彳人-^~=彳/1.

MN與NQ的夾角,而SA與B3垂直,

SpMNQ=a"1_丸)，

S=>/22(1-2)+—22=--/I2+722，

44

當(dāng)a=2時，s取最大值為也.

33

故答案為：5；—.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①5，S2,邑成等比數(shù)列，②％=2%+2,③58=$4+m-2這三個條件中任選兩個,

補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且滿足，.

<1)求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

(2)求—+—^―+-^―++―!—.

a\a2。2a3。3〃444+1

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計(jì)分.

【答案】(1)a?=4n-2(2)---.

;4(2〃+1)

【解析】解：(1)選①②，設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為“，

S1,邑，S4成等比數(shù)列，q=2%+2,

一(44+64)=(24+4,解得a-,d=4,

q+3d=2(q+d)+2

a〃=2+4(〃-1)=4H-2；

選①③，設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,

S2,S4成等比數(shù)列，S8=S4+57-2,

.」(甸+6")=囪+")2,解得aj,d=4,

8%+28d=4q+6d+76+21d-2

a“=2+4(n-1)=4〃-2；

選②③，設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為",

，睛黑駕274+2/2,解得4=2,

4=2+4(〃-1)=4〃-2；

(2)由(1)得q=4〃-2,

則W=(4〃-2；(4〃+2)—(2〃-1)%”+1)=X罰一罰

)，

」+-L++，=l(i」+」+n

-)-=-T--(-1--------)=

%%4,4+183352/7-12/7+102/7+14(2〃+1)

18.第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽(F/E4%HdC〃pQaGr2022)決賽中，阿根廷隊(duì)通過扣人

心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為

了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如

表所示:

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生40

女生30

合計(jì)

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有

關(guān)？

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男

生進(jìn)球的概率為2,女生進(jìn)球的概率為1,每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人

32

進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

Pg.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）表格見解析，有99.9%的把握；（2）分布列見解析，E記）=..

【解析】解：（1）2x2列聯(lián)表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生6040100

女生3070100

合計(jì)90110200

K2=200x(60x70-40x30￡gi8i82>i0828)

100x100x90x110

故有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).

（2）3人進(jìn)球總次數(shù)J的所有可能取值為0,1,2,3,

)針；二，尸121111）2噂

PC=0=Xc=D=C------X—+—x(-

3Z1o33223

,P(1)=(|)2X：2

P^=2)=C2------+(-)2X-=-一=一，

-33232929

故J的分布列如下：

g0123

P1542

18Ti99

故4的數(shù)學(xué)期望：E(^)=lx—+2x-+3x-=—.

18996

19.在AABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.

(1)若c=x/5〃，求8sB的值;

(2)若b=l,N3A。的平分線AD交4C于點(diǎn)。，求4)長度的取值范圍.

【答案】(1)粵；(2)(0,$.

【解析】解：(1)acos3-2acosC=(2。一b)cosA,

/.在AABC中，由正弦定理得sinAcos3-2sinAcosC=(2sinC-sin8)cosA,

/.sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC,/.sin(A+B)=2sin(A+C),

sinC=2sinB,SPc=2b,c=舊a,

設(shè)N54￡>=。，如圖所示:

4TC

：.AD=—cos0,〃￡((),—),

32

AO￡(0,—).

20.如圖，在AABC中，是BC邊上的高，以A。為折痕，將AAC￡>折至AAPD的位

置，使得

(1)證明：P3_L平面河)；

(2)若4)=P8=4,BD=2,求二面角8—R4-。的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)

5

【解析】(1)證明：4￡)是8c邊上的高，

.PDLAD,AD±BD,

PDBD=D,PD,3￡>u平面PBD,J.ADJ_平面尸8。,

P8u平面P3￡),:.AD±PB,

又PBA.AB,AD,ABu平面Afi。，ADAB=A,

平面ABD；

(2)解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，垂直A8D平面為z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

x

y

AD=PB=4,BD=2,

則6(0,2,0),尸(0,2,4),A(4,0,0),D(0,0,0),

BP=(0,0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0),

設(shè)平面BPA與平面PAD的一個法向量分別為&=(x，y,zj,n2=(x2,y2,z2),

故<i?°,解得：4=0,令玉=1,得：%=2,則九］=(1,2,0),

勺?PA=4%-2乂一4Z1=0

422,解得：占=0,令Z2=l,得：％=-2,則%=(0,-2,1),

n2-PA=4X2-2y2-4z2=0

設(shè)二面角平面角為。，顯然。為銳角，

\n^n2\|0-4+0|4/--------廠3

/.cos。=?~j—；~r=—=~7=4=一,sin0=-cos2。=一,

同同6石55

即二面角區(qū)一24一。的正弦值為士.

5

22

21.已知雙曲線C:二-當(dāng)=1(°>0/>0)的左頂點(diǎn)為A,過左焦點(diǎn)尸的直線與C交于P,

a~h~

。兩點(diǎn).當(dāng)PQlx軸時，1P*=布，APAQ的面積為3.

(1)求C的方程；

(2)證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).

2

【答案】(1)犬-工=1；(2)證明見解析.

3

【解析】解：(1)當(dāng)PQLx軸時，P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為-c,

代入雙曲線方程，可得力=Q，yQ^-—，BPIPF|=—,

(―)2+(c-?)2=(Vio)2

a

-T，曰12"/、c

由題意,可得〈-----(c-6Z)=3，解得a=l,b=G,c=2.

2a

c2=a2+b2

(2)證明：設(shè)PQ方程為x=72一2,P(x，y),Q(x2,y2),

聯(lián)立方程2沖22=>3(m2y2_4my+4)-y2=3=>(3/zz2-l)y2-12my+9=0,

[3x-y=3

以尸。為直徑的圓的方程為(x-X|)(x—x2)+(y—y)(y-%)=°，

X2-(X)+工2)工+中2+y2_(y+為?+%>2=0，

由對稱性知以PQ為直徑的圓必過X軸上的定點(diǎn)，令y=0,

可得d_(%+x2)x+xtx2+yxy2=0,

\2nr4

而…—-4="

-3/n2-4

=-2)(機(jī)X2-2)=機(jī)y必一2加(芳+必)+4=、1

3m~-1

-4—X+_3T_4+—y—=0n(3加2-1濡-4x+5-3病=0

3W2-13W2-13m2-1

n[(3〃?2-l)x+3/n2-5](x-1)=0MV/nGRtHJJKAL,

x=1,

.?.以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(1,0).

22.已知函數(shù)f(x)=$和g(x)=3況竺有相同的最大值.

aex

(1)求實(shí)數(shù)。；

(2)設(shè)直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為占，

X,,x3,x4(x,<x2<%4),證明：X,X4=x2x3.

【答案】(1)?=1；(2)證明見解析.

rex

【解析】解：(1)/(x)-.2=—?^—7?令r(x)=o=x=i.

a(e)~ae

/(x)有最大值，

.?/>0且/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，

?、，/八13，/、l-a-bvc-live

fM=/(I)=一?。=1時，gU)=------------=—-，

lftaxax~x~

當(dāng)Ovxvl時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

???g(x)s=g6=a，

—=af即a=1；

所以m{x}=x-仇ex在xG(1,+OO)單調(diào)遞增，所以m(x)>機(jī)⑴=0,

所以x>Inex,且Inex>lne=\,所以x>Inex>I,

設(shè)e(x)=；/(x)=L^,

當(dāng)Ovxvl時，(pr(