2021年中考人教版數(shù)學一輪復習 第4章 三角形

第四章三角形

第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線

考點

易錯自糾

易錯點1因不理解點到直線的距離的定義而致錯

1.點P為直線1外一點點A,B,C為直線1上三點,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm測點P到直線1的距離是（D）

A.2cmB.4cmC.5cmD.不超過2cm

易錯點2未給出圖形求線段長或角度大小時忽略分類討論致錯

2.已知線段AB=8cm.在直線AB上畫線段AC=5cm,則BC的長是3cm或13cm.

3.已知ZAOB=35°，以0為頂點作射線0C,若NA0C=2NAOB,貝?。?B0C=35°或105’.

易錯點3誤認為同位角（或內錯角）一定相等

4.如圖，與N2一定相等的角是（C）

A.Z1

B.Z3

C.Z4

D.Z5

真題

考法速覽

考法1角的度量（10年1考）

考法2垂線（10年1考）

考法3角及角平分線（10年2考）

考法4平行線的判定與性質（10年4考）

考法1角的度量

1.[2017河北,3]用量角器測量NM0N的度數(shù)，下列操作正確的是(C)

cn

考法2垂線

2.[2020河北川如圖,在平面內作已知直線m的垂線，可作垂線的條數(shù)有

A.0條B.1條C.2條D.無數(shù)條

考法3角及角平分線

3.[2011河北,2]如圖,N1+N2等于(B)

A.60°B.90°

C.110°D.180°

考法4平行線的判定與性質

4.[2015河北,8]如圖,AB〃EF,CD_LEF,NBAC=50。，則NACD=

A.120°B.130°

C.140°D.150"

5.[2019河北,7]下面是投影屏上出示的搶答題,需要回答橫線上符號代表的內容.

咒已知:如圖,ZBEC=ZB+“

求證:AB〃CD.

證明:延長B皎交于點F.

?UBEC=_fi.+ZC（-:角形的外角等于與它不相鄰兩個內角之和）

又ZBEC=Z.B+4C,

LB=A,故AB〃CD(旦相等,兩直線平行).

則回答正確的是(C)

A.◎代表NFECB.@代表同位角

C.▲代表NEFCD.※代表AB

第二節(jié)三角形及其性質

考點

易錯自糾

易錯點1誤認為三角形的高一定在三角形內部

1.已知AD是aABC中BC邊上的高,AD=5,CD=4,BD=2,則aABC的面積等于5或15.

易錯點2忽略三角形的三邊關系致錯

2.[2020貴州黔南州]已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長為

A.9B.17或22C.17D.22

3.在AABC中,AC=2BC,BC邊上的中線AD把4ABC的周長分成60和40兩部分，則AC=48.

方法

命題角度1三角形的三邊關系

G提分特訓

1.[2019石家莊42中一模]如圖,長度為10m的木條，從兩邊各截取長度為xm的木條，若得到的三根木條能組

成三角形，則x可以取的值為（C）

xmxm

10m

A.2mB.-m

2

C.3mD.6m

2.[2020浙江紹興]長度分別為2,3,3/的四根細木棒首尾相連，圍成一個三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），

得到的三角形的最長邊長為（B）

A.4B.5C.6D.7

命題角度2三角形的內角和外角

酶分特訓

3.[2020遼寧錦州]如圖，在AABC中,NA=30°,NB=50°,CD平分NACB,則NADC的度數(shù)是（C）

A.80°B.90°C.100°D.110°

4.[2019內蒙古赤峰]如圖，在AABC中，點D在BC的延長線上，過點D作DE1AB于點E,交AC于點F.若

ZA=35°,ND=15°,則NACB的度數(shù)為(B)

A.65°B.70°

C.75°D.85°

命題角度：3三角形中的重要線段

0提分特訓

5.[2020四川宜匍如圖，點分別是4ABC的邊AB,AC的中點，若NA=65°,NANM=45°,則NB=（I））

A.20°B.45°C.65°D.70°

6.[2020陜西]如圖，在3X3的網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上.若BD是AABC的高則

BD的長為(I))

噂同

真題

考法速覽

考法1三角形的穩(wěn)定性（10年1考）

考法2三角形的三邊關系（10年2考）

考法3三角形的內角與外角（10年2考）

考法4三角形的中位線（10年3考）

考法1三角形的穩(wěn)定性

1.[2018河北刀下列圖形具有穩(wěn)定性的是（A）

/n8c

ABCD

考法2三角形的三邊關系

2.[2013河北15]如圖⑴,M是鐵絲AD的中點，將該鐵絲首尾相接折成△ABC',且NB=30°,NC=100°,如圖⑵.則

下列說法正確的是（C）

（：

___________

A__________MDA（D）B

圖⑴圖⑵

A.點M在AB上

B.點M在BC的中點處

C.點M在BC上,且距點B較近，距點C較遠

D.點M在BC上,且距點C較近，距點B較遠

3.[2011河北,10]已知三角形三邊長分別為2,x,13,若x為正整數(shù)，則這樣的三角形個數(shù)為（B）

A.2個B.3個C.5個D.13個

考法3三角形的內角與外角

4.[2014河北4]平面上直線a,b分別過線段OK兩端點（數(shù)據(jù)如圖），則a,l）相交所成的銳角是（B）

A.20°B.30°

C.70°D.80°

考法4三角形的中位線

5.[2015河北15]如圖，點A,B為定點，定直線1〃AB,P是1上一動點，點M,N分別為PA,PB的中點，對于下列各值：

①線段MN的長；

②APAB的周長；

③△PMN的面積；

④直線MN,AB之間的距離；

⑤NAPB的大小.

其中會隨點P的移動而變化的是（B）

A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤

AB

6.[2014河北,2]如圖,Z\ABC中RE分別是邊AB,AC的中點.若DE=2,則BC=（C）

A.2B.3C.4D.5

A

7.[2017河北17]如圖,A,B兩點被池塘隔開，不能直接測量其距離.于是，小明在岸邊選一點C,連接CA,CB,并分別

延長到點M,N,使AM=AC,BN=BC,測得MN=200m,則A,B間的距離為100m.

高分突破?微專項與角平分線相關的三大模型

口強化訓練

1.[2019湖南張家界]如圖，在4ABC中,NC=90°,BD平分NABC,AC=8,DCgAD,則點I)到AB的距離等于(C)

A.4B.3C.2D.1

2.[2020貴州貴陽]如圖,Rt^ABC中,/C=90°,利用尺規(guī)在BC.BA上分別截取BE,BD,使BE=BD;分別以點D,E為圓

心、以大靈DE的長為半徑作弧，兩弧在

ZCBA內交于點F;作射線BF交AC于點G.若CG=1,P為AB上一動點，則GP的最小值為

A.無法確定B.1

C.1D.2

3.[2019唐山開平區(qū)一模]如圖，在RtAABC中,NACB=90°,NBAC=30°,NBAC的平分線交BC于點D,過點D作

DE_LAB,垂足為E,連接CE交AD于點I-.有以下結論:①AB=2CE；②AC=4CD；③CE_LAD；④ZXDBE與AABC的面積比是

1：(7+4何

其中正確結論是

A.③④B.②③C.①②D.@@

4.[2019湖南永州]如圖,/A0B=60°,OC是/AOB的平分線，點D為0C上一點，過點D作直線DE_LOA,垂足為點E,

且直線DE交0B于點F.若DE=2,則DF=1.

5.[2019石家莊42中三模]如圖，在RtAABC中,NACB=90。，AC=4,BC=3.將RtAABC平移到RtAA'B'C'的位置，

使得點C'與aABC的內心重合，則圖中陰影部分的面積為（D）

6.如圖，直線MN〃PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點A,B.小宇同學利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點A為圓心,

以任意長為半徑作弧，交AN于點C,交AB于點D;②分別以點C,D為圓心、大于的長為半徑作弧,兩弧在

ZNAB內交于點E;③作射線AE,交PQ于點F.若AB=2,NABP=60°,則線段AF的長為

7.[2019湖北荊州]如圖，矩形ABCD的頂點A,B,C分別落在NM0N的邊OM,ON上若0A=0C,要求只用無刻度的直尺

作NMON的平分線，小明的作法如下:連接AC,BD交于點E,作射線OE,則射線OE平分NMON.有以下幾條幾何性

質:①矩形的四個角都是直角，②矩形的對角線互相平分，③等腰三角形的“三線合一”.小明的作法依據(jù)是（C）

A.①②B.①③C.②③D.①?③

8.如圖所示,M是AABC的邊BC的中點,AN平分NBAC,BN_LAN于點N,連接MN,若AB=8,MN=2,則AC的長是

12.

9.如圖,ED是NBEA的平分線,ZB=NEAC,ED_LAD.求證:AD平分NBAC.

A

證明如圖，延長AD交BC于點F,

「ED是NBEA的平分線，

AZAED=ZFED.

又NFDE=1800-ZADE=90°=ZADEJ)E=DE,

AAEFD^AEAD,

AZDAE=ZDFE,

ZFAC+ZCAE=ZBAF+ZB.

又/B二NEAC,，ZFAC=ZBAF,

AAD平分NBAC.

10.如圖，在AABC中,NABC=3NC,NBAC的平分線AD交BC于點D,BE±AD于點E.求證:AC-AB=2BE.

證明如圖，延長BE交AC于點F,易證△ABE峪aAFE,

.,.AF=AB,BE=EF,ZAFB=ZABF,

工ZFBC+ZC=ZABC-ZFBC.

又/ABC=3NC,.\ZFBC+ZC=3ZC-ZFBC,

ZFBC=ZC,AFC=FB=2BE,

?.AC-AB=AC-AF=CF=2BE.

第三節(jié)等腰三角形和直角三角形

考點

易錯自糾

易錯點1已知等腰三角形一個角的度數(shù),求頂角（或底角）的度數(shù)時忽略分類討論

1.若等腰三角形的一個內角為50。廁該三角形頂角的度數(shù)是50,或80”.

易錯點2解決特殊三角形的存在性問題時忽略分類討論

2.在AABC中,AB=AC,NBAC=100°,點D在BC邊上，連接AD,若AABD為直角三角形，則NADC的度數(shù)為90或

130°.

方法

命題角度1等腰三角形的性質與判定

目提分特訓

1.[2020湖北黃岡]已知如圖在△ABC中，點D在邊BC±,AB=AD=DC,ZC=35°，則NBAD=40度.

2.[2019重慶A卷]如圖，在AABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點，連接AD.BE平分/ABC交AC于點E,過點E作

EF〃BC交AB于點F.

⑴若NC=36°,求/BAD的度數(shù);

(2)求證:FB=FE.

⑴解:AB=AC,點I)為BC的中點,

.,.ZABC=ZC=36°,AD±BC,

AZBAD=900-ZABC=90°-36°=54°.

⑵證明:tBE平分NABJEF〃分,

，ZABE=ZEBC,ZFEB=ZEBC,

，ZFEB=ZABE,

AFB=FE.

命題角度2等邊三角形的性質與判定

G提分特訓

3.如圖,Z\ABC是等邊三角形J是三角形內任意一點,DEF分別是AC,AB,BC邊上的三點，且PF〃AB,PD〃BC,PE〃

AC.若PF+PD+PE=a，則AABC的邊長為

A.V2aB.V3a

C.—aD.a

4.[2020江蘇常州]如圖，在AABC中,BC的垂直平分線分別交BC,AB于點E,F.若4AFC是等邊三角形，則NB=

30°.

命題角度：；直角三角形的性質與判定

口提分特訓

5.[2020浙江寧波]如圖，在RtAABC中,ZACB=90°,CD為中線，延長CB至點E,使BE=BC,連接DE,F為DE的中點,

連接BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為

A.2B.2.5C.3D.4

6.[2019陜西]如圖，在4ABC中,NB=30°,NC=45°,AD平分NBAC交BC于點D,DE_LAB,垂足為E.若DE=1,則BC

的長為

A.2+V2B.V2+V3C.2+V3D.3

考法速覽

考法1等腰三角形的性質與判定（10年3考）

考法2等邊三角形的性質與判定（10年2考）

考法3直角三角形的性質與判定（10年3考）

考法1等腰三角形的性質與判定

1.[2018河北,8]已知:如圖，點P在線段AB外，且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結論時,

需添加輔助線，則下列作法不正確的是

A.作NAPB的平分線PC,交AB于點C

B.過點P作PC±AB于點C,且AC=BC

C.取AB中點C,連接PC

D.過點P作PC_LAB,垂足為點C

考法2等邊三角形的性質與判定

2.[2016河北,16]如圖,NA0B=120°,OP平分NAOB,且0P=2.若點M,N分別在OA,OB上，且△PMN為等邊三角形，則

滿足上述條件的aPblN有（D）

A.1個B.2個

C.3個D.3個以上

3.[2013河北13]一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示若N3=50。，則Nl+N2=

A.90°

B.100°

C.130"

D.180°

考法3直角三角形的性質與判定

4.[2020河北16]如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙

片，面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊（可重復選?。┌慈鐖D所示的方式組成圖案，使所圍成的三角形是面積最大

的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是

A.1,4,5B.2,3,5

C.3,4,5D.2,2,4

5.[2012河北14]如圖,AB,CD相交于點O,AC_LCD于點C,若NBOD=38°,則ZA等于52°.

0y8°D

B

6.[2019河北,19]勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A,B,C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖(單位:km).筆

直鐵路經(jīng)過A,B兩地.

(1)A,B間的距離為km；

⑵計劃修一條從C到鐵路AB的最坦公路1,并在1上建一個維修站D,使D到A.C的距離相等，則C,D間的距離

為13km.

?C(0,-17)

高分突破?微專項。與中點相關的五大模型

G強化訓練

1.如圖,已知在AABC中,/B=25°,點D在邊CB上，且NDAB=90°,AC=|BD.則/BAC的度數(shù)為105.

A

BDC

2.[2019山東臨沂]如圖在AABC中,NACB=120。，BC=4,點D為AB的中點DC_LBC,則AABC的面積是一

c

-------------D--------------B

3.如圖，在△ABC中,BC=18,BD,CE是高點F,G分別為BC,DE的中點，若ED=10,則FG的長為,g_.

4.[2020山東德州中考節(jié)選]問題探究：

小紅遇到這樣一個問題:如圖⑴,AABC中,AB=6,AC=4,AD是中線，求AD的取值范圍.她的做法是:延長AD到E,使

DE=AD,連接BE,證明ABED峪ACAD,經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.

請回答：

⑴小紅證明ABED附ZXCAD的判定定理是SAS.

(2)AD的取值范圍是1〈AD〈5.

方法運用：

⑶如圖⑵,AD是AABC的中線，在AD上取一點F,連接BF并延長交AC于點E,使AE=EF,求證:BF=AC.

AA

EB，一方一

圖⑴圖⑵

(l)SAS

(2)1<AD<5

解法提示:VABED^ACAD,

ABE=AC=4.

在△ABE中，根據(jù)三角形的三邊關系得.\B-BE<AE<AB+BEf

.\2<2AD<10,

A1<AD<5.

⑶證明:如圖，延長AD至A',使DA'二AD,連接BA',

「AD是AABC的中線,

ABD=CD.

又丁NADC=NBDA',AD=DA',

.'.△ADC^AA,DB,

.?.AC=BA\ZCAD=ZA\

VAE=EF;

?,./EAF=NAFE,又/AFE=NBFA'f

?.ZA,=ZBFA\

.'.BF=BA,,

ABF=AC.

5.如圖在aABC中,AB=AC,點I)是BC的中點,DELAB于點E,若DE=2,則點D到AC的距離為2.

6.[2020貴州黔西南州中考改編]如圖，在RtAABC中,NACB=90"AC=BO4,點D為AB的中點，以點D為圓心作扇

形DEF,且NEDF=90°舒經(jīng)過點C.將扇形DEF繞點D旋轉，使點C始終在京上（不與點E,F重合）,DE,AC交于點

G,DF,BC交于點H,求四邊形DGCH周長的最小值.

R

A

解如圖，連接CD.

???/ACB=90°,點D為AB的中點,AC=BC,

；./A=NDCH=45°,AD=CD,CD±AB.

又NEDF=90°,ZADG=ZCDH,AADG^ACDH,

DG=DH,AG=CH,:.CG+CH=CG+AG=AC=4.

故當DH+DG取最小值，即DH±BC時,四邊形DGCII的周長最小.

又此時DH-DG=2DU=2X：ACE,，四邊形DGCII周長的最小值為1+1=8.

7.如圖，在△ABC中點l),E,F分別是AB,AC,BC的中點，已知NADE=45°,則NCFE的度數(shù)為

A.40°B.45°C.50°D.55°

8.如圖，在四邊形ABCD中,AD=BC,點E,F,G分別是AB,CD,AC的中點，連接EF,EG,若NDAC=15°,NACB=87°,則NFEG

的度數(shù)為36”.

9.如圖，在RtAABC中,NB=90°,AB=2倔BC=3,E是AC的中點，延長BC至點F,使CF=：BC,連接EF,求EF的長.

解如圖，取AB的中點D,連接DE.CD,

則DE〃BC,DE)BC,

又V(片BC,/.DE=CF,.?.四邊形DCFE是物亍四邊形,

.,.EF=CD.

在RtZXBCD中,?.?NB=90。,BD=iAB=V5,BC3,

CD=VBD2+BC2-V14,.,.EF=CD=V14.

10.如圖，在RtAABC中,NC=90°,邊AB的垂直平分線交BC于點M,交AB于點N,若AC=遍,MB=2MC,則AB的長度

為樂.

11.如圖,在菱形ABCD中才安以下步驟作圖:以點A,D為圓心、大于*AD的長為半徑作弧，兩弧交于點P,Q,作直線

PQ.已知直線PQ恰好經(jīng)過點B,若AB=4,則點B到CD的距離為,、倍_.

第四節(jié)全等三角形

考點

易錯自糾

易錯點1不能靈活運用全等三角形的判定定理解決問題致錯

L小明不慎將一塊三角形玻璃摔碎成如圖所示的四塊（分別標有①②③④）,若帶著其中一塊去配與原來一樣大

小的三角形玻璃,應該帶（D）

A.①B.②C.③D.@

易錯點2誤用“SSA”判定三角形全等

2.如圖,ZBDA=NBDC,現(xiàn)添加以下條件不能判定AABD用ZXCBD的是（C）

A.ZA=ZC

B.ZABD=ZCBD

C.AB=CB

D.AD=CD

易錯點3忽略“△，與全等”和的區(qū)別

3.如圖，在4ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,點D為AB的中點.點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點

運動，同時，點Q在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的運動速度為vcm/s,則當ABPD與△CQP全等時,v的

值為2或3.

方法

命題角度全等三角形的判定與性質

口提分特訓I

1.[2019貴州安順]如圖，點B,F,C,E在f直線上,AB〃ED,AC〃FD,那么添力嚇列1^條件后,仍無法判定

△ABC^ADEF的是（A）

A.ZA=ZDB.AC=DF

C.AB=EDD.BF=EC

2.[2020遼寧遼陽]如圖，在AABC中,M,N分別是AB和AC的中點，連接MN,點E是CN的中點，連接ME并延長，交BC

的延長線于點D,若BC=4,則CD的長為2.

3.[2020江蘇常州]已知:如圖，點A,B,C,D在一條直線上,EA〃FB,EA=FB,AB=CD.

⑴求證:NE=NF;

⑵若NA=40°,/D=80°,求NE的度數(shù).

AB

⑴證明：；EA〃FB,

.=/A=/FBD.

?.,AB=CD,

/.AB+BC=CD+BC,gpAC=BD.

(EA=FB,

在AEAC與aiiBD中,=zFBD,

(AC=BD,

.,.△EAC^AFBD,

:.ZE=ZF.

(2)VAEAC^AFBD,

.,.ZECA=ZD=80".

RVZA=4O0,

.,.ZE=180°-40°-80°=60°.

真題

考法全等三角形的性質與判定（必考）

1.[2019河北,23（1）]如圖，在AABC和4ADE中小8=人口=6,13。=口￡,/13=/口=30°,邊AD與邊BC交于點P（不與點B,C

重合），點B,E在AD異側,1為4APC的內心.求證:NBAD=NCAE.

證明：；AB=AD,ZB=ZD,BC=DE,

AAABC^AADE,

ZBAC=ZDAE,

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

/.ZBAD=ZCAE.

2.[2016河北21]如圖，點B,F,C,E在直線1上（F,C之間不能直接測量），點A,D在1異側，測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.

⑴求證:/XABC當ADEF;

⑵指出圖中所有平行的線段，并說明理由.

⑴證明:?；BF=EC,

；.BF+FC=EC+CF,即BC=EF.

又AB=DE,AC=DF,

.,.△ABC^ADEF.

⑵AB〃DE,AC〃DF.

理由:「△ABC/ZiDEF,

ZABC=ZDEF,ZACB=ZDFE,

AAB//DE,AC//DF.

3.[2018河北23]如圖,NA=NB=50。，P為AB中點點M為射線AC上（不與點A重合）的任意一點，連接MP,并使

MP的延長線交射線BD于點N,設NBPN=a.

⑴求證:△APM名ZXBPN;

⑵當MN=2BN時，求a的值；

⑶若aRPN的外心在該三角形的內部，請直接寫出a的取值范圍.

⑴證明:為AB中點

.\PA=PB=-iAB.

2

Z.A=Z.B,

在aAPM和△BP\中，PA=PB,

ZAPM=ZBPN,

.'.△APM^ABPN.

⑵由⑴得,△APM絲ABPM

???PM=PN&IN.

2

VMN-2BN,

...B\』MN=PN,

2

a=ZB=50°.

⑶40。<a<90°.

解法提示:：銳角三角形的外心、在三角形的內部,

...△BPN是銳角三角形，

rO0<a<90°,

"l00<180°-50°-a<90°,

解得40。<a<90".

高分突破?微專項；構造全等三角形中的兩大輔助線技巧

技巧一利用旋轉構造全等三角形

日強化訓練

1.如圖，點P為等邊三角形ABC內的一點，且點P到4ABC三個頂點A,B,C的距離分別為1,凡福則4ABC的面

2.如圖，在正方形ABCD中，點E為BC上一點，點F為CD上一點,BE+DF=EF,則NEAF的度數(shù)為Q.

3.如圖，在AABC中,NC=90°,點D,E,F分別在邊CA,AB,BC上，且四邊形CDEF是正方形，已知BE=2.2,EA=4.1,則

△BFE和AAED的面積之和為4.51.

4.如圖,0A=0D,0A_L0D,0B=0C,0B_L0C,經(jīng)過點0的直線1分別交AB,CD于點E,F.

(1)求證:S.AOAB二SzsOG)；

⑵若直線1平分CD,求證：0F=抑

⑴證明：Y0A=0D,

...可將△A0B以點0為旋轉中心旋轉至△DOG的位置如圖所示測aAOB名△DOG,

SzkOAH=SZMMJG,NA0B=ND0GQB=0G.

???OA_LOD,OB=OC,OB_LOC,

???ZCOD+ZAOB=ZCOD+ZDOG=1800,0C=0G,

?,.CQG三點共線,0D為ACDG中CG邊上的中線,

SAOI^SAOCD,?0?SAOAR=SZXOCD.

⑵證明:,?,直線1平分CD,

ACF=DF.

由⑴可知,OC=OG,

.,.OF為△CDG的中位線,...OFWOG,

由旋轉性質可得DG=AB,

.\OF4AB.

技巧二利用截長補短法構造全等三角形

G強化訓練

5.如圖，在AABC中,NCAB=NCBA=45°,點E為BC的中點,CN_LAE.

⑴求證：N1=N2；

⑵求證:AE=CN+EN.

⑴證明:：NCAB=NCBA=45。,

...NACB=90°,：.NACN+N1=9O°.

?.?AE±CN,AZ2+ZACN=90°,AZ1=Z2.

⑵證明：

方法一（截長法）:如圖⑴，在線段AE上截取AM=CN,連接CM.

圖⑴

易知AC=BC,又N1=N2,AM=CN,

.,.△ACM^ACBN,

.,.CM=BN,ZACM=ZB=45°,

ZMCE=45°,AZB=ZMCE.

（CM=BN,

在△》口；和△NBE中,/MCE=zB,

CE=BE,

.,.△MCE<△NBE,；.EM=EN,

.\AE=AM+EM=CN+EN.

方法二（補短法）:如圖⑵，延長CN到點M,使CM=AE,連接BM.

圖⑵

易知CB=CA,又N1二N2￡M=AE,

.,.△ACE^ACBM,

???CE二BM二BE,NCBM二NACE=90°,

.,.ZMBN=45°=NNBE.

(BN=BN,

在△NBV和ANBE中，4NBM=ZNBE,

(BM=BE,

.,.△NBM^ANBEfANM=EN,

.'.AE=CM=CN+NM=CN+EN.

6.如圖，在AABC中,AB=AC,點D是邊BC下方一點.

(1)如圖(1),若NBAC=60°，/BDC=120°,求證:AD=BD+CD；

⑵如圖⑵，若NBAC=90°,NBDO900,求證:AD邛(BD+CD).

圖⑴圖⑵

⑴證明如圖⑴，延長DC到點E,使CE二BD,連接AE.

圖⑴

VZBAC=60°fZBDC=120°,

.,.ZABD+ZACD=180°.

5Z.VZACE+ZACD=180°,

AZABD=ZACE.

又TAB=AC￡E=BD,

AAABD^AACE,

???AD=AE,NBAD=NCAE,

.,.ZDAE=ZBAC=60°,

??.△ADE是等邊三角形，

AAD=DE=CE+CD=BD+CD.

⑵證明:如圖⑵，延長DC到點E,使CE二BD,連接AE.

圖⑵

VZBAC=90°,ZBDC=90°f

.\ZABD+ZACD=180",

XVZACE+ZACD=180°,

???/ABD二NACE.

XVAB=AC,CE=BDr

.'.△ABD^AACE,

??.AD=AR/BAD=/CAE,

AZDAE=ZBAC=90°,

.*.Al)-yI)l：-y((-E+CD)-y(BD+CD).

第五節(jié)相似三角形(含位似)

考點

易錯自糾

易錯點1求兩條線段的比時因長度單位不統(tǒng)一而致錯

L一幅地圖中甲、乙兩地的圖上距離3cm表示實際距離150km,這幅地圖的比例尺是1：5000000.

易錯點2弄錯相似三角形的面積比與相似比的關系

2.[2020四川內江]如圖，在4ABC中,D,E分別是AB和AC的中點,S四翊.產(chǎn)15,則SAABC=(D)

A

/A

BC

A.30B.25C.22.5D.20

易錯點3未找準對應線段

3.如圖，在△ABC中,DE〃BC,DE分別與AB,AC相交于點D,E,若AD=4,DB=2,則DE:BC的值為

易錯點4忽略“△1與相似”和“△口△」的區(qū)別

4.在AABC中,AB=4,AC=5,點D是AB的中點，點E在AC上，連接DE,若4ADE和AABC相似，則AE的長為_：或

8

5—.

易錯點5求位似變換后點的坐標時易漏解

5.在平面直角坐標系中，已知點A(-4,2),B(-6,-4),以原點0為位似中心,相似比為右把△ABO縮小，則點A的對應點

A'的坐標是(D)

A.(-2,1)B.(-8,4)

C(-8,4)或(8,-4)D.(-2,1)或(2,-1)

方法

命題角度1相似三角形的判定與性質

目提分特訓

1.［2020貴州銅仁］已知△FHBsaEAD,它們的周長分別為30和15,且FH=6,則EA的長為（A）

A.3B.2C.4D.5

2.［2020石家莊新華區(qū)一模］如圖，在AABC中，點D在AB上,AD=5,CE是△!?：［）的角平分線，且CE=6.當NBCD=2NA

時,DE的長為（B）

A.3B.4C.5D.6

A

3.［2020石家莊一模］如圖,Rt^ABC是一塊鐵板余料，已知NA=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成f形狀為

平行四邊形（"DEFG）的工件，使GF在邊BC上,D,E兩點分別在邊AB,AC上，且DE=5cm,則，DEFG的面積為（B）

A.24cm'B.12cm'C.9cm2D.6cm2

4.［2020四川遂寧］如圖,在平行四邊形ABCD中,NABC的平分線交AC于點E,交AD于點F,交CD的延長線于點G,

若AF=2FD狽嚷的值為（C）

5.［2020江蘇蘇州］如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,DFJ_AE,垂足為F.

⑴求證:△ABES/XDFA;

⑵若AB=6,BC=4,求DF的長.

⑴證明二,四邊形ABCD是矩形,

.?.ZB=90",AD〃BC,

/.ZAEB=ZDAF,

VDF±AE,.,.ZDFA=90<>,

；./B=/DFA,

.".△ABE^ADFA.

⑵解:,??△ABES^DFA,..提雋

?；BC=4,E是BC的中點,.'BE二BC』X4=2,

RtAABEcp/AE-VAB2+BE2V62+222匹.

又???AD=BC=4,.*=字，

...DF等

命題角度2圖形的位似

口提分特訓

6.[2020唐山路北區(qū)二模]如圖，以點0為位似中心，把AABC放大為原圖形的2倍得到AA'B'C',以下說法中錯

誤的是(C)

A.AABC^AA'B'C

B.點C,O,C'三點在同一直線上

C.AO:AA'=1：2

D.AB〃A'B'

7.方格紙中每個小正方形的邊長都是單位I,^OAB在平面直角坐標系中的位置如圖所示.

⑴請按要求對aOAB作變換:以點0為位似中心，位似比為2：1,將△OAB在位似中心的異側進行放大得到

△OA'B'（點A,B的對應點分別為點A',B'）.

⑵寫出點A'的坐標.

⑶求△OA'B'的面積.

%

解：（1）如圖所示,△（），''B'即為所求.

⑵點A'的坐標為(6,-2).

⑶△OA'B'的面積為6X4-1X2X4^X2X4-|X2X6=1O.

真題

考法速覽

考法1相似三角形的性質與判定（10年4考）

考法2圖形的位似（10年3考）

考法1相似三角形的性質與判定

1.[2017河北,7]若AABC的每條邊長增加各自的10胞導B'C',則NB'的度數(shù)與其對應角的度數(shù)相比（D）

A.增加了10%B.減少了10%

C.增加了（1+10%）D.沒有改變

2.[2016河北15]如圖,4ABC中,NA=78°,AB=4,AC=6.將AABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三

角形下相似的是（C）

3.[2014河北13]在研究相似問題時，甲、乙同學的觀點如下:

對于兩人的觀點，下列說法正確的是

甲:將邊長為345的三角形按圖（1）的方式向

外姓張,得到新三角影,它們的對應邊問

距均為1*1新三角形與原三角影相似

乙:將鄰邊為3/5的矩影按圖（2）的方式向外

姓張,得到新矩形,它仍的對應邊間距均

為1,則新矩形與原矩形不相似.

A.兩人都對B.兩人都不對

C.甲對,乙不對D.甲不對，乙對

4.[2011河北9]如圖，在AABC中,NC=90。，BC=6,D,E分別在AB,AC上，將AABC沿DE折疊，使點A落在點A'處若

A'為CE的中點，則折痕DE的長為

A.-B.2C.3D.4

考法2圖形的位似

5.[2020河北,8]在如圖所示的網(wǎng)格中，以點0為位似中心,四邊形ABCI）的位似圖形是

H

N

A.四邊形NPMQB.四邊形NPMR

C.四邊形NHMQD.四邊形NHMR

6.[2011河北20]如圖，在6X8的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1,點0和AABC的頂點均為小正方形的頂

點

⑴以0為位似中心,在網(wǎng)格圖中作4A'B'C',使4A'B'C'和aABC位似，且位似比為1:2；

⑵連接⑴中的AA',求四邊形AA'CC的周長（結果保留根號）.

解:⑴如圖:

(2)由(1)可知,AA'=CC'=2.

在RtAOA'C中,0A，=0C'=2彳導A'C'=22，

故AC=2A'C=1V2,

,四邊形AA'CC的周長=AA'+A'C'+C'C+AC=2+2V2+2+4V2=4+6V2.

7.[2012河北23]如圖⑴，點E是線段BC的中點，分別以B,C為直角頂點的aEABffiAEDC均是等腰直角三角形,

且在BC的同側.

⑴AE和ED的數(shù)量關系為A4ED；

AE和ED的位置關系為AHED.

⑵在圖⑴中，以點E為位似中心，作aEGF與AEAB位似，點H是BC所在直線上的一點，連接GH,HD,分別得到了圖

⑵和圖⑶.

①在圖⑵中，點F在BE±,AEGF與AEAB的相似比是1：2,H是EC的中點.求證:GH=HD,GHJLHD.

②在圖⑶中，點F在BE的延長線上,4EGF與AEAB的相似比是k：1,若BC=2,請直接寫出CH的長為多少時，恰

好使得GH=HD且GHJ_HD（用含k的代數(shù)式表示）.

(1)AE=EDAE1ED

⑵①證明:由題意，知NB=NC=90°,AB=BE=EC=DC.

?.?△EGF與aEAB位似且相似比是1:2,

ZGFE=ZB=90°,GF=iAB,EF=|EB.

又H是EC的中點，

.,.EH=HC=1EC,

GF=HC,NGFH=/HCD,FH=CD,

.,.△HGF^ADHC,

.*.GH=HD,ZGHF=ZHDC.

XVZHDC+ZDHC=90°ZGHF+ZDHC=90°,

.?.ZGHD=90°,.'.GH±HD.

@Cli的長為k.

高分突破?微專項8“一線三等角”模型、“手拉手”模型、

“半角”模型和“對角互補”模型

模型一“一線三等角”模型

口強化訓練

1.如圖，在四邊形ABCD中,NBAD=NACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為10.

2.如圖,在平面直角坐標系中，等腰直角三角形0AB的一個頂點在原點處,NAB0=90°,OB=AB,已知點A⑵4）,則點

B的坐標為（3,1）.

3.⑴探索發(fā)現(xiàn)

如圖⑴，在△ABC中，點D在邊BC±,AABD與4ADC的面積分別記為Si與試判斷金與黑的數(shù)量關系，并說明理

由；

⑵閱讀分析

小東遇至U這樣T問題如圖⑵在RtAABC中,AB=AC,NBAC=90°,射線AM交BC于點D,點E,F在AM上，目

ZCEM=NBFM=90°,試判斷BF,CE,E1-三條線段之間的數(shù)量關系.

小東利用一對全等三角形,經(jīng)過推理使問題得以解決.

填空:①圖⑵中的一對全等三角形為△AEMZkBFA；

②BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關系為CE卜丁煙：.

⑶類比探究

如圖⑶，在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與BD交于點0,點E,F在射線AC上，且NBCF=NDEF=NBAD.

①判斷BC,DE,CE三條線段之間的數(shù)量關系,并說明理由；

②若0D=30B,Z\AED的面積為2,直接寫出四邊形ABCD的面積.

圖（1）圖（2）圖（3）

解:⑴￡聯(lián)

理由如下：

過點A作AE_LBC于點E.

VS,抑-AE.S,處-AE