專題-立幾中的平行類(線面平行、面面平行)證明

專題立體幾何中的平行類（線面平行、面面平行）證明類型一、直線與平面平行的判定（判定一條直線和一個(gè)平面平行，一般利用線面平行的判定定理，或者轉(zhuǎn)化為經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面平行.）1、判定定理：符號(hào)語言：利用判定定理：關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線?？上戎庇^判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，?？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線。2、利用面面平行的性質(zhì)定理：當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面。類型二、平面與平面平行的判定1、面面平行的定義：如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面互相平行．2、平行平面的判定定理：

如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．3、符號(hào)語言：4、判定平面與平面平行的常用方法：①利用判定定理：轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面?？陀^題中，也可直接利用一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線分別平行于另一個(gè)平面的兩條相交線來證明兩平面平行；②利用面面平行的傳遞性：例1、如圖所示，已知P、Q是單位正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。證明：PQ//平面BCC1B1【證明】方法一：如圖，取B1B中點(diǎn)E,BC中點(diǎn)F，連接PE、QF、EF，因?yàn)樵谌切蜛1B1B中，P、E分別是A1B和B1B的中點(diǎn)，所以PEA1B1，同理，QFAB，又因?yàn)锳1B1AB,所以PEQF所以四邊形PEFQ是平行四邊形，所以PQ//EF.又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，所以PQ//平面BCC1B1.方法二：如圖，取AB的中點(diǎn)E,連接PE,QE,因?yàn)镻是A1B的中點(diǎn)，所以PE//A1A,有A1A//BB1,所以PE//BB1又PE平面BCC1B1,BB1平面BCC1B1，同理QE//平面BCC1B1，有PE、QE平面PQE,PEQE=E,所以平面PQE//平面BBC1B1，又PQ平面PQE,所以PQ//平面BCC1B1.例2．如圖所示，在底面是平行四邊形的四棱錐P－ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？并證明你的結(jié)論．解當(dāng)F是棱PC的中點(diǎn)時(shí)，BF∥平面AEC，證明如下：取PE的中點(diǎn)M，連接FM，則FM∥CE，①由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中點(diǎn)，設(shè)BD∩AC＝O，則O為BD的中點(diǎn)，連接OE，則BM∥OE，②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF平面BFM，∴BF∥平面AE例3.如圖，已知正方形的邊長是13，平面外一點(diǎn)到正方形各頂點(diǎn)的距離都為13，分別是上的點(diǎn)，且，（1）求證：//平面；（2）求線段的長。解：連AN并延長和BC交于E點(diǎn)，則EN：NA=BN：ND（1）證明：而平面，平面平面（2）解：由余弦定理可得：例4.如圖，矩形ABCD和梯形BEFC有公共邊BC，BE//CF，∠BCF=900，求證：AE//平面DCF【解析】過點(diǎn)E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，可得四邊形BCGE為矩形。又ABCD為矩形，所以ADEG，從而四邊形ADGF為平行四邊形，故AE//DG。因?yàn)锳E平面DCF，DG平面DCF，所以AE//平面DCF【點(diǎn)評(píng)】作EG⊥CF于GADEGAE//DGAE//平面DCF例5、如下圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、O分別是A1B、AC的中點(diǎn)．求證：OM∥平面BB1C1C.【證明】方法1：連接AB1，B1C，如右圖．因?yàn)镸是AB1的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，所以MO∥B1C.又MO?平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，所以O(shè)M∥平面BB1C1C.方法2：取AB的中點(diǎn)N，連接MN、ON，如圖，則MN∥BB1.又MN?平面BB1C1C，BB1?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.同理可得ON∥平面BB1C1C.又MN∩ON＝N，所以平面MON∥平面BB1C1C.而OM?平面MON，所以O(shè)M∥平面BB1C1C.例6.正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP=DQ.求證：PQ∥平面BCE.【證明】方法一如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN.∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，∴AE=BD.又∵AP=DQ，∴PE=QB，又∵PM∥AB∥QN，∴，，，∴PMQN，∴四邊形PMNQ為平行四邊形，∴PQ∥MN.又MN平面BCE，PQ平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法二如圖所示，連接AQ，并延長交BC于K，連接EK，∵AE=BD，AP=DQ，∴PE=BQ，∴= ①又∵AD∥BK，∴= ②由①②得=，∴PQ∥EK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，∴PQ∥平面BCE.方法三如圖所示，在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)P作PM∥BE，交AB于點(diǎn)M，連接QM.∵PM∥BE，PM平面BCE，即PM∥平面BCE，∴= ①又∵AP=DQ，∴PE=BQ，∴= ②由①②得=，∴MQ∥AD，∴MQ∥BC，又∵M(jìn)Q平面BCE，∴MQ∥平面BCE.又∵PM∩MQ=M，∴平面PMQ∥平面BCE，PQ平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.例7、已知四棱錐P－ABCD的三視圖如下．(1)求四棱錐P－ABCD的體積；(2)若E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BDE；(3)若E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)，不論點(diǎn)E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．【解析】(1)由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2，∴VP－ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·PC＝eq\f(2,3)(2)連結(jié)AC交BD于F，則F為AC的中點(diǎn)，∵E為PC的中點(diǎn)，∴PA∥EF，又PA?平面BDE內(nèi)，∴PA∥平面BDE(3)不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE證明：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC又AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC，∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE?平面PAC∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE例8、已知直三棱柱的所有棱長都相等，且分別為的中點(diǎn).(I)求證：平面平面；（II）求證：平面.【證明】（Ⅰ）由已知可得，，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；又分別是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；平面，平面，平面∥平面.(Ⅱ)三棱柱是直三棱柱，面，又面，.又直三棱柱的所有棱長都相等，是邊中點(diǎn)，是正三角形，，而，面，面，面，故.四邊形是菱形，，而，故,由面，面，得面.例9、正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分別是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中點(diǎn)．(1)求證：平面AMN∥平面EFDB；(2)求異面直線AM、BD所成角的余弦值．【解析】(1)易證EF∥B1D1MN∥B1D1∴EF∥MNAN∥BE又MN∩AN＝NEF∩BE＝E∴面AMN∥面EFDB(2)易證MN∥BD∴∠AMN為AM與BD所成角易求得cos∠AMN＝【點(diǎn)評(píng)】本題直接利用一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線分別平行于另一個(gè)平面的兩條相交線來證明兩平面平行。例10.如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO？【解析】當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，∴QB∥PA.∵P、O為DD1、DB的中點(diǎn)，∴D1B∥PO.又PO∩PA=P，D1B∩QB=B，D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO.例11、如圖所示，正方體中