報告5-大跨預應力混凝土連續(xù)剛構橋預應力優(yōu)化研究

大跨預應力混凝土連續(xù)剛構橋三向預應力筋的合理布置及優(yōu)化研究目錄一．研究背景及研究內容…………1二．預應力混凝土連續(xù)剛構橋的預應力設計理論………………5三．基于彎曲能量最小法的縱向預應力優(yōu)化設計………………10四．連續(xù)剛構預應力參數優(yōu)化設計………………34五．橫向預應力與縱向預應力的交互影響研究…59六．結論……………90研究背景及研究內容近幾十年來，雖然廣泛應用計算機進行橋梁設計，但是目前僅限于結構分析與方案比較，而方案的提出及設計諸因素的最后確定主要由設計者的經驗決定。如何使結構具有足夠的承載能力，又能節(jié)省材料用量，主要依靠人們的經驗和參考已有的設計實例，缺乏理論上的依據。然而，把最優(yōu)化方法引入結構設計，就能夠給結構設計的最優(yōu)性以明確的科學根據。預應力混凝土連續(xù)剛構橋預應力設計是主橋上部結構設計的重要組成部分，如果預應力設計恰當，不僅使連續(xù)剛構的受力性能提高，混凝土材料得到充分的應用，而且可以節(jié)約鋼材。反之，如果預應力設計不恰當，不僅浪費材料，而且會造成混凝土箱梁開裂，甚至破壞的嚴重后果，因此預應力設計問題對于工程實際意義重大。在以往對連續(xù)剛構的優(yōu)化設計當中，都只對一次落架時橋梁結構的應力進行約束，沒有考慮到施工階段的應力是否滿足規(guī)范要求。鑒于此，針對國內大跨連續(xù)剛構的迅速發(fā)展和大量被設計采用，以及對三向預應力的研究方面的不足，本文借助龍?zhí)逗犹卮髽蚬こ蹋瑢Υ罂邕B續(xù)剛構橋的三向預應力進行優(yōu)化設計及研究分析，得出有益的結論，為大跨連續(xù)剛構橋的預應力設計提供指導。1.1 連續(xù)剛構的縱向預應力優(yōu)化方法近年來有不少學者對連續(xù)剛構、連續(xù)梁橋的縱向預應力進行了優(yōu)化設計，提供了相應的優(yōu)化設計方法。1997年M.A.Utrilla中提出了一種在連續(xù)梁橋中自動配索的方案。首先，用線性規(guī)劃的方法得到幾何學上最佳的預應力索力和合理的預應力布索位置。然后用最速下降的方法自動尋找預應力筋的幾何圖形和最小索力。最后，將此方法用于兩跨連續(xù)梁橋上，并獲得了初步的設計結果。1998年，肖汝誠從優(yōu)化設計的角度出發(fā)，以用鋼量最小為目標函數，以關鍵截面的成橋應力為約束條件，采用了影響矩陣法和線性規(guī)劃的方法優(yōu)化T構縱向預應力鋼筋。M.A.Utrilla和肖汝城采用的方法使用起來比較簡單，但只考慮了最后階段的應力約束，配束不能保證結構在施工階段中受力也是最優(yōu)的。2000年，劉桂生提供了一種優(yōu)化縱向預應力鋼筋的方法，其基本思想是：根據懸臂施工階段按T構彎矩平衡配置靜定束，成橋階段按正截面最不利應力配置后期束。2000年，何雄君建立了基于預應力混凝土連續(xù)梁橋預應力度的模糊優(yōu)化問題，按a-水平截集解法，將模糊優(yōu)化問題轉化為確定性的數學規(guī)劃問題。求得一較合理的消壓彎矩后，只需按控制截面的構造進行預應力體系設計。在此基礎上也提出了配束自動化的基本思想。1.2 連續(xù)剛構的豎向預應力優(yōu)化方法近年來，混凝土箱梁的開裂現象相當嚴重，特別是箱梁腹板開裂占了相當的比例。理論和實踐表明：豎向預應力是抵抗箱梁腹板剪應力和主拉應力的關鍵，所以豎向預應力的優(yōu)化設計有很大的現實意義。2004年，張開銀介紹了一種在復雜應力狀態(tài)下的混凝土強度三參數準則模式，結合預應力混凝土梁斜截面抗剪強度研究，分析預應力混凝土在雙軸應力狀態(tài)下強度問題，提出考慮如何使混凝土強度提高的豎向預應力間距計算公式。2002年，劉釗從彈性理論的解析解出發(fā)，討論豎向預應力下考慮應力擴散的箱梁腹板壓應力計算問題，得到了豎向預應力筋合理間距和擴散角的計算公式。分析表明，豎向預應力的合理間距應該在0.1～0.25h之間，h為梁高。正因為存在預應力擴散角而產生預應力盲區(qū)，劉四田認為不能使用直線型布束。浙江工業(yè)大學的施穎提出，如果使用縱向直束，為了減小豎向預應力的損失，豎向預應力可考慮在設計上從以下兩個方面加以改進：(1)采用整體錨墊板[圖1.2(a)]。(2)采用環(huán)向預應力筋這種方法，通過加長預應力長度，來建立更多的預應力，有效發(fā)揮豎向預應力筋作用。環(huán)向預應力筋設置有兩種方法:一種將2根豎向力筋連在一起，在梁頂面張拉，錯位布置[圖1.2(b)]；另一種方法利用橫向預應力筋左右間隔錨在梁底下和懸臂端點處[圖1.2(c)]。圖1.2豎向預應力筋改進方法1.3 連續(xù)剛構的橫向預應力優(yōu)化方法在大跨度橋梁的橫向預應力的研究上，國內外可查的相關文獻非常少。一般連續(xù)剛構為了保證箱梁頂板在荷載作用下不產生順橋方向的縱向裂縫，設計中在頂板內布置有橫向預應力鋼筋。為防止底板縱向裂縫，也可在底板設置橫向預應力筋。1995年，蘇煒對雙向板進行了研究，得出了以下結論：由于板橫向變形，對已存在的先張鋼筋有一再張作用，這一作用稱為“交互影響”，約占先張鋼筋張拉控制應變的1％，其計算公式可根據變形協調原理推導。1990年，在程翔云編著的《梁橋理論與計算》中提到，根據材料力學的泊松效應，箱形截面梁的頂板受到橫向預應力作用后，其頂板在順橋向的正應力峰值將會有所降低。1997年，文國華截取等高度的連續(xù)梁任一跨內相鄰兩個恒載彎矩為零的梁段作為等效簡支跨，采用有限條法，對連續(xù)梁橋的箱梁上、下翼板在有或無橫向預應力情況下截面正應力分布規(guī)律進行了分析對比，得出以下結論：橫向預應力對根部附近的負彎矩區(qū)段產生一定的增載作用，對正彎矩區(qū)段的箱梁截面正應力有一定的卸載作用。文國華同時用有限元方法證實了橫向預應力對簡支梁懸臂翼緣板具有卸載影響。但是文國華只是用均布荷載模擬橫向預應力，不能考慮雙向預應力之間的彈性壓縮損失。1.4 基于可靠度的橋梁結構優(yōu)化設計基于可靠性的優(yōu)化模式是由Forsell最先提出來的。Morse首先探討了基于可靠性的優(yōu)化設計，他主要研究了可靠性與優(yōu)化之間的關系?；诳煽慷鹊慕Y構優(yōu)化設計理論在不斷發(fā)展之中，它較傳統的結構優(yōu)化設計更為合理，因為它將橋梁結構作為一個整體考慮，而且能考慮和處理橋梁結構設計中的隨機不確定性。在基于可靠度的橋梁結構優(yōu)化設計中，把橋梁結構的可靠度要求或者結合到優(yōu)化問題的約束條件內，或者結合到優(yōu)化問題的目標函數內。即在一定的結構可靠度指標下，通過調整設計向量使橋梁結構的費用或重量最小；或者在一定的結構費用或重量條件下，通過調整設計向量使橋梁結構的可靠度最大。橋梁結構設計的基本原則是安全、適用和經濟。傳統的橋梁結構設計主要是采用定值設計的方法，既不能描述和處理橋梁結構中客觀存在的各種不確定性因素，也不能定量地分析計算安全、適用及經濟的各項指標，更無法科學地協調它們之間的矛盾，使它們達到合理的平衡。事實上，傳統設計方法追求的是一個滿足設計規(guī)范條件下的最低水平設計。基于可靠度的橋梁結構優(yōu)化設計方法，是一種“投資-效益”準則下的考慮結構整體性能的方法。它以結構可靠度為控制參數，既能處理橋梁結構中的隨機不確定性，又能很好地協調安全與經濟之間，近期投資與長遠效益之間的矛盾，從而使設計方案在安全、適用、經濟的條件下達到優(yōu)化。在優(yōu)化設計中，選擇結構造價C和損失期望L作為目標控制參數，結構的可靠度Ps作為約束控制參數。它的數學模型就是求解如下的數學規(guī)劃：求XminC(X)s.tPS*由結構可靠度的最優(yōu)分配決定，尋求結構可靠度的最優(yōu)分配就是求解如下的數學規(guī)劃：求[Psi]i=1，2，，KminW=C+L1.5 主要研究的內容本文以滬蓉國道主干線湖北西段的龍?zhí)逗犹卮髽驗橐劳泄こ?，圍繞大跨連續(xù)剛構橋三向預應力的優(yōu)化設計來展開研究，主要研究了以下幾方面內容：（1）基于最小彎曲能量法提出懸臂施工連續(xù)剛構橋縱向預應力優(yōu)化設計方法。通過選擇施工控制截面并以離散截面的彎曲能量之和最小為目標函數，以各截面在各施工階段的應力為約束條件，優(yōu)化得到各階段張拉的預應力鋼筋數量。（2）在上述優(yōu)化結果的基礎上，本文結合BP神經網絡和遺傳算法對連續(xù)剛構縱向預應力彎束的轉角、曲線半徑和豎向預應力間距等參數進行優(yōu)化。（3）基于ANSYS的APDL語言，編制了計算機程序，對縱向預應力及橫向預應力之間的交互作用進行了研究，得到了相關的交互影響系數影響線；并對幾個關鍵截面在預應力的影響下的的剪力滯效應進行了參數分析。預應力混凝土連續(xù)剛構橋的預應力設計理論2.1 概述預應力在結構中的應用效果，較大程度取決于技術設計與施工工藝。對于預應力在結構中認識和估計，則取決于橋梁結構分析軟件是否對預應力的作用機制有正確的描述，預應力模型的建立是否與實際結構中的預應力相一致。預應力效應從其施力行為看有局部效應和整體效應，從結構成型過程看有施工狀態(tài)效應和成橋狀況效應。預應力效應從其表現行為看有應力（內力）與變位效應。目前，國內的桿系程序對于預應力效應的描述都基于平面有限元。顯然，如果預應力束的線形是簡單的平面線形，利用平面桿系程序建模是沒有問題的，但如果預應力束的線形是復雜的空間線形，不僅有平彎也有豎彎，按平面建模其效果的可行性則有待于進一步的證實。雖然按空間有限元建模的過程比較復雜，但是，從整個橋梁結構的受力和預應力的模擬角度而言，空間建模是最接近真實情況的。對于預應力效應的空間模擬，國內外有關的文獻很少。本文結合了施工過程分析包括縱向、豎向和橫向三個方向預應力的效應，在優(yōu)化縱向預應力的用鋼量和豎向預應力間距的同時，還研究了縱向預應力與橫向預應力的交交互作用。2.2 預應力混凝土連續(xù)剛構橋的預應力設計預應力設計對于工程實際意義重大，其內容主要表現在以下幾個方面：（1）預應力鋼絞線的選擇目前國內外使用的預應力鋼材主要有預應力鋼筋、冷拉預應力鋼絲、矯直回火預應力鋼絲、低松弛預應力鋼絲、普通預應力鋼絞線和低松弛鋼絞線。作為預應力鋼材最新一代的低松弛鋼絞線由于其高效、經濟、施工方便，使建筑構件輕薄美觀的優(yōu)點，已大量使用在世界各地最重要的土木工程上，如大型橋梁、核電站、高層大跨度房屋、高速公路等。據上海鐵道學院對鐵路橋梁計算分析，采用高強度低松弛鋼絞線可比現有同類橋梁減少鋼絞線用量18％－23％。預應力鋼絞線的選擇應考慮以下幾個方面：鋼絞線性能參數，包括幾何參數、表面狀態(tài)、松散性、斷裂荷載、屈服荷載、伸長率、松弛等：鋼絞線標準，包括品種規(guī)格、破斷荷載、尺寸公差、松弛性、延伸率等。（2）預應力錨具的選擇預應力結構成敗的關鍵是在混凝土內部必須建立永久存在的預應力。后張構件或先張構件在預制時都要采用可靠的錨夾具來保持鋼索的變形量，使它在結構內產生必要的預應力。由于受到自身結構和構造特征的限制，絕大多數預應力混凝土連續(xù)剛構橋是采用后張法施工的。因此，選用一種錨固性能好、成本低廉、使用簡單且又與預應力連續(xù)剛構修建工藝相適應的錨固體系，就成為預應力設計的重要課題之一。后張法預應力混凝土結構所使用的錨具，主要可分為機械錨具和摩阻錨具兩大類。機械錨固類錨具是在預應力鋼材的端部采用機械加工形成一個適宜于錨固的工作條件來加以錨固。這類錨具通常用于錨固高強度粗鋼筋或集束型高強鋼絲，個別也有錨固單根或多根鋼絞線的。其特點是錨具應力損失較小，連接比較方便，在未灌漿前可以重復張拉或放松以調整預應力。摩阻錨具類錨具是利用楔形錨具，將預應力鋼材“擠緊”形成錨固作用，這類錨具品種較多，應用較廣，其特點是錨力變化較多、噸位較大（單個錨具可達10000KN以上），穿索比較方便；不足之處是錨具損失較大，要重復張拉或連接較不方便。后張法構件中采用的錨具，按照所錨固的預應力筋的不同分為：粗鋼筋錨具、鋼絲束錨具以及鋼絞線錨具三類。預應力混凝土連續(xù)剛構預應力錨具通常采用“群錨”體系，其常用型式有：OVM錨固體系、XYM錨固體系、VSL錨固體系、DM錨固體系、XM錨固體系以及其它一些組合體系。（3）預應力體系的設計近十年來，我國的預應力技術發(fā)展很快，無論從類型上，還是從張拉噸位上都已達到世界先進水平。國際上主要以VSL預應力體系為主，而國內普通使用相應的OVM體系，使預應力的施工工藝更加系統化、規(guī)范化。除此之外，還有一些其他的預應力體系，如DM、XM、粗鋼筋以及一些組合體系，在應用上各有其優(yōu)點，在設計和施工中應根據不同的橋梁結構，選擇與之相應的預應力體系，從而達到便利、經濟、安全之目的。預應力混凝土連續(xù)剛構預應力體系的設計通常采用OVM和XYM體系。該體系的頂板縱向鋼束均采用平豎彎曲相結合的空間曲線，集中錨固在腹板頂部承托上，底板鋼束則盡可能靠近齒板處錨固。這樣布束具有如下特點：a.使預應力具有最大力臂，較大限度地發(fā)揮其力學效應，同時由于布束接近腹板，預應力以較短的傳力路線分布在全截面上。b.頂板束錨固在承托中，不需設置復雜的齒板構造，使箱梁尺寸完全由受力需要來控制設計。c.頂、底板鋼束在平面上按同樣的S線型錨固于設計位置上，可以消除集中錨固點產生的橫向力。（4）預應力效應的分析在預應力混凝土結構設計實踐中，通常是根據經驗先假定預應力鋼束的分布圖，而后進行應力分析（也就是全橋正常使用極限狀態(tài)驗算），檢查結構各個截面的應力狀態(tài)，當不能滿足要求時則改進鋼束分布，經過反復嘗試，得到滿足應力要求的鋼束分布圖。這種方法工作量非常大，所以許多學者在研究如何優(yōu)化配筋。所以說，預應力筋、預應力錨具和預應力體系設計歸根到底取決于預應力效應的分析。2.3 預應力筋布束原則連續(xù)剛構橋預應力筋束的配置應考慮以下原則：（1）滿足構造要求。如孔道中心最小距離，錨孔中心最小距離，最小曲線半徑等。（2）注意鋼束平、豎彎曲線的配合及鋼束之間的空間位置。鋼束一般應盡量早地平彎，在錨固前豎彎。特別應注意豎彎段上下層鋼束不要沖突，還應滿足孔道凈距的要求。鋼束應盡量靠腹板布置。這樣可以使預應力以較短的傳力路線分布在全截面上，有利于降低預應力傳遞過程中局部應力的不利影響；能減少鋼束的平彎長度；減小橫向力；充分利用梗腋布束，有利于截面的輕型化。（3）應選擇適當的預應力束筋的形式與錨具型式，對不同跨徑的梁橋結構，要選用預加力大小恰當的預應力束筋，以達到合理的布置型式。避免造成因預應力束筋與錨具形式選擇不當，而使結構構造尺寸加大。（4）預應力束筋的布置要考慮施工的方便，不能像鋼筋混凝土結構中普通鋼筋那樣任意切斷，從而導致在結構中布置過多的錨具，使結構構造變得復雜，施工不便。由于每根束筋都產生一巨大的集中力，這樣錨下應力受力非常復雜，因而必須在構造上加以保證。（5）盡量以S型曲線錨固于設計位置，以消除錨固點產生的橫向力。盡量加大曲線半徑，以便于穿束和壓漿。分層布束時，應使管道上下對齊，這樣有利于混凝土澆注與振搗，不可采用梅花形布置。（6）頂板束的布置還應遵循以下原則：a.鋼束盡量靠截面上緣布置，以極大發(fā)揮其力學效應；b.分層布束時應使長束布置在上層，短束布置在下層。首先，因為先錨固短束，后錨固長束，只有這樣布置才不會發(fā)生干擾；其次長束通過的梁段多，放在頂層能充分發(fā)揮其力學效應；再次，較長束在施工中管道出現質量問題的幾率較高，放在頂層處理比較容易些。（7）預應力束筋的布置，既要符合結構受力的要求，又要注意在超靜定結構中避免引起過大的結構次內力。（8）預應力束筋應避免使用多次反向曲率的連續(xù)束，因為這會引起很大的摩阻損失，降低預應力束筋的效益。（9）預應力束筋的布置，不但要考慮結構在使用階段的彈性受力狀態(tài)的需要，而且也要考慮結構在破壞階段的需要。2.4 預應力筋的布置型式預應力束筋的布置型式，與橋梁結構體系、受力情況、構造型式、施工方法等都有密切關系。由于連續(xù)剛構橋采用懸臂澆注法施工，施工階段比較多，施工、設計復雜。由于受力的需要，鋼束的設置也比較復雜，鋼束種類繁多。通常設置的有：頂板束、腹板束、頂板連續(xù)束、底板連續(xù)束、橫向預應力束、豎向預應力束、備用束等。從橋墩頂的0號塊開始的平衡懸臂施工，所有布置在梁頂的束筋主要承受結構的重力與施工荷載，彎束是連續(xù)剛構橋承受剪力而布置的，而在中跨的合攏段附近下緣束和邊跨用支架施工端的下緣束除了承受活載需要外，常因結構次內力在這些部位產生正彎矩而需要布置。2.5 工程背景圖2.1龍?zhí)逗犹卮髽蛄⒚娌贾脠D(單位：cm)龍?zhí)逗犹卮髽蚴菧貒乐鞲删€湖北至恩施公路上的一座5跨預應力混凝土連續(xù)剛構箱梁橋，該橋主橋墩最高178m，居國內梁式橋之最，跨徑布置為106＋3×200m＋106m，箱梁根部梁高12m，跨中梁高3.5m，頂板厚28cm，底板厚從跨中至根部由32cm變化為110cm，腹板從跨中至根部分三段采用40cm，55cm，70cm三種厚度，箱梁高度和底板厚度按1.8次拋物線變化。圖2.1為龍?zhí)逗犹卮髽蛄⒚娌贾脠D，圖2.2為其跨中及根部斷面尺寸圖。對于這種對稱布置的多跨連續(xù)剛構橋在分析時一般可取對稱中間跨及兩個邊跨結構來簡化模型。本文在第3章與第4章中取五跨平面分析模型進行分析，圖2.2箱梁斷面尺寸圖（單位：cm）在第5章中平面分析模型和空間有限元圖2.2箱梁斷面尺寸圖（單位：cm）在計算過程中材料特性參數及荷載取值如下：（1）截面尺寸橫斷面為直腹單箱單室，箱梁根部高12m，跨中高3.5m，頂板厚28cm，底板厚從跨中至根部由32cm變化為110cm，腹板從跨中至根部分三段采用40cm，55cm，70cm三種厚度，梁高按1.8次拋物線變化。箱梁頂板橫向寬12.5m，底板寬6.5m，翼緣懸臂長3m在墩頂及跨中處設置有橫隔板。（2）材料特性：主梁：C55混凝土；墩身：C50混凝土；C50混凝土彈性模量：E=3.45×104MPa；C55混凝土彈性模量：E=3.5×104MPa；泊松比：＝0.167；溫度線膨脹系數：＝1.0×10－5。（3）預應力體系：縱向分別為1215.24、1915.24及2215.24三種不同束數的鋼絞線，=1860MPa；橫向為312.7鋼絞線，=1860MPa；豎向預應力采用采用315.24鋼絞線；在計算中縱、橫、豎向預應力束張拉控制應力按0.75。（4）荷載取值溫度荷載：合攏溫度：，體系升溫：+250C，體系降溫：-25荷載等級：汽—超20、掛—120。三．基于彎曲能量最小法的縱向預應力優(yōu)化設計3.1 概述大、中跨徑預應力混凝土連續(xù)剛構通常采用懸臂施工方法。一般連續(xù)剛構橋預應力配筋是在成橋狀態(tài)超靜定結構體系下通過人工反復試算后選擇可行的布置方案，或根據連續(xù)剛構橋彎矩包絡圖計算預應力筋。橋梁結構的理想控制目標是對應于某種性能指標最優(yōu)的某一種結構狀態(tài)，這種性能指標就是最優(yōu)化目標函數。確定橋梁結構理想控制目標需要將結構分析、優(yōu)化設計和施工仿真等方法結合起來。本文提出懸臂施工連續(xù)剛構橋預應力優(yōu)化設計的新方法,其基本思想是首先選擇施工控制截面，使離散截面的彎曲能量最小為優(yōu)化目標函數，然后用MATLAB優(yōu)化工具箱優(yōu)化各階段張拉的預應力鋼筋數量。本文在優(yōu)化設計中借助了平面桿系有限元軟件進行施工仿真分析。本文提出的優(yōu)化設計方法以各施工階段各截面的應力為約束，不刻意追求節(jié)省預應力鋼材，主要目的是使主梁變形小、截面應力均勻，有利于施工控制；并且使得施工階段應力能滿足施工要求、使用階段內力能達到預期的理想狀態(tài)。采用靜力優(yōu)化的方法進行分析，一般步驟如下：（1）建立合理的數學模型模型是對實際問題的一種近似描述，模型必須能反映問題的本質特征。塑造模型時應吸收工程上成熟的經驗和結論，并在合理的范圍內做一些近似，最后進行數學處理，獲得優(yōu)化問題的數學模型，這包括選擇合理的設計變量、目標函數和約束條件。一般將影響目標函數的主要因素作為設計變量，而將次要因素作為預先確定的參數，以降低問題的維數。目標函數是評價設計方案優(yōu)劣的標準，應選擇最能體現優(yōu)劣的指標作為優(yōu)化目標，這需要綜合考慮很多因素，如重量、造價、受力合理性、美觀、舒適及環(huán)境的協調性等。約束條件是設計應遵守的規(guī)則，一般有界限約束、強度約束、剛度約束和穩(wěn)定性約束等，除界限約束是顯式外，其余的一般均為隱式，需通過結構的靜力分析才能得到。（2）選擇合適的優(yōu)化算法優(yōu)化算法指問題獲得最優(yōu)解所采用的方法。優(yōu)化算法有很多種，一個合適的優(yōu)化算法應結合實際情況，具有可靠性好、計算效率高、穩(wěn)定性好和簡便性等特點。選擇合適的優(yōu)化算法需要考慮設計變量的個數、類型，目標函數的形態(tài)、特點，約束條件的數目、形態(tài)、特點等，另外，還應該對最優(yōu)解的大致范圍及局部解有初步的估計和了解。一般的工程問題，多采用搜索法進行尋優(yōu)。搜索法屬于數學規(guī)劃法的一種，有利用目標函數的梯度類算法，如牛頓法、共扼梯度法、梯度法等；有直接利用目標函數值的直接法，如單純形法、復合形法、網格搜索法等。直接法適用于維數不多的問題，由于直接利用函數值，所以它最大的優(yōu)點是不怕問題的病態(tài)性和退化性，其他算法不能求解的問題，用直接法一般也可獲得較好的結果。（3）編制計算程序或引用已有的計算軟件求解。根據建立的數學模型和選用的優(yōu)化算法編制計算程序，通過計算機獲得最優(yōu)設計結果。編制的程序對同一類型的結構應通用。（4）分析獲得的最優(yōu)解的可靠性和合理性。優(yōu)化結果是否合理、可靠需經過多方面的分析才能確定，包括可行性分析、結構的受力性能分析、美觀分析、經濟分析等，最后確定是否采用優(yōu)化結果[37]。3.2 彎曲能量最小法基本原理彎曲能量最小法是用結構的彎曲應變能作為性能指標函數。任何結構的彎曲應變能都可寫成：(3.1)對于離散的桿系結構可表示成：(3.2)式中：m是結構單元總數；Li、Ei和Ii分別表示i號單元的桿件長度、材料彈性模量和截面慣性矩；MLi，MRi分別表示單元左、右端彎矩。將式(3.2)改寫成：(3.3)式中：、分別表示左、右端彎矩向量，[B]為系數矩陣(3.4)令截面左、右端恒載彎矩為、，施加預應力向量為,，則施加預應力后彎矩向量為：(3.5)(3.6)式中：[CL]、[CR]分別為預應力對施工階段左、右端截面彎矩的影響矩陣。用同樣的方法進行討論，容易得到如下結論：（1）如果取彎曲應變能與拉壓應變能之和為性能指標函數，則只要在式(3.3)中增加構件壓力與預應力影響矩陣的關系項，就可方便地得出相應的最優(yōu)預應力方程。（2）如果索力優(yōu)化時只將結構中一部分主要截面上的內力應變能作為性能指標函數，則式(3.3)左右端的影響矩陣用預應力相應于這些主要截面內力的影響矩陣取代就可得出相應的最優(yōu)索力方程。（3）式(3.4)中的[B]矩陣可以看成單元柔度對單元彎矩的加權矩陣，對于變截面箱梁，優(yōu)化結果意味著剛度大的截面可適當多分擔些彎矩。如果[B]矩陣可任意調整，則可根據構件的重要性，人為給出各構件在優(yōu)化時的加權量。當[B]為單位陣時，優(yōu)化性能指標函數就變成了彎矩平方和。（4）用恒、活載共同作用下的彎曲能量作為性能指標函數進行預應力優(yōu)化，只需將內力組合后的結果代替式(3.3)中的和便可。（5）在優(yōu)化整體內力的同時，如果還需要指定某些截面上的內力值(或應力值)，則預應力優(yōu)化問題變成了求條件極值問題。本文使用了條件極值的求解方法。3.3 約束優(yōu)化算法及實現約束優(yōu)化問題根據約束函數的性質可分為：線性約束優(yōu)化問題和非線性約束優(yōu)化問題[39]。其標準形式分別如下所示。線性約束情形：(3.7)非線性約束情形：(3.8)求解約束優(yōu)化問題的思路主要分為兩大類：一是直接對目標函數采用搜索法在可行方向求出最優(yōu)解；另一個是對目標函數進行轉換，化為更易求解的問題來求原優(yōu)化問題的最優(yōu)解，比如無約束優(yōu)化問題或動態(tài)規(guī)劃問題等。3.3.1 可行方向法可行方向法可以看做是無約束下降算法的自然推廣，其典型策略是從可行點出發(fā)，沿著下降的可行方向進行搜索，求出使目標函數值下降的新的可行點。算法的主要步驟是選擇搜索方向和確定沿此方向移動的步長。3.3.2 懲罰函數法懲罰函數法的基本思想是，借助懲罰函數把約束問題轉化為無約束問題，進而用無約束最優(yōu)化方法來求解。由于約束的非線性，不能用消元法將問題化為無約束問題，因此在求解時必須同時照顧到既使目標函數值下降，又要滿足約束條件這兩個方面。實現這一點的一種途徑是由目標函數和約束函數組成輔助函數，把原來的約束問題轉化為極小化輔助函數的無約束問題。考慮等式約束問題：(3.9)可定義輔助函數：(3.10)其中參數σ是很大的正數，常稱做懲罰因子。這樣就把問題轉化為無約束問題：(3.11)顯然，(式3.11)的最優(yōu)解必定使hj(x)接近零，否則，(式3.10)的第二項將是很大的正數。因此求解問題(式3.11)能夠得到(式3.10)的近似解?？紤]不等式約束：(3.12)輔助函數形式與等式約束情形不同，但構造函數的基本思想是一致的，這就是在可行點輔助函數值等于原來的目標函數值；在不可行點，輔助函數值等于原來的目標函數值加上一個很大的正數。由此，定義輔助函數：(3.13)當x為可行點時，max{0,gi(x)}=0；當x為不可行點時，max{0,gi(x)}=-gi(x)這樣，可將問題(式)轉化為無約束問題。(3.14)3.3.3 二次規(guī)劃(QP)算法及實現在約束條件極值問題中，常用的方法是先將原問題轉化為較容易的子系統問題，然后再求解并用做一個迭代過程的基礎。很多種約束優(yōu)化的一個特點就是為約束條件增加一個懲罰函數，從而將約束問題轉化為基本的無約束條件問題。按照這種方法，條件極值問題可以通過參數化無約束條件優(yōu)化序列來求解，不過這樣求解的效率不高。目前這種方法已經被集中于對Kuhn-Yucker(KT)方程進行求解的方法所取代。KT方程是條件極值問題的必要條件，如果要解決的問題是所謂的凸規(guī)劃問題(也即f(x),g(x)都是凸函數)，那么KT方程可以表示為：(3.15)上式第一個方程說明了優(yōu)化目標函數和約束條件之間的梯度相互抵消，其中Langrange乘子λi(i=1,…m)。約束條件的擬牛頓法通過使用擬牛頓更新方程對KT方程累積二階信息以保證超線性收斂。因為在每一個主要的迭代步驟中解決一個二次規(guī)劃子問題，所以這些方法一般成為序列二次規(guī)劃方法(SequentialQuadraticProgramming，SQR)，也稱為迭代二次規(guī)劃(IterativeQuadraticProgramming，SQP)等。下面將介紹解決約束優(yōu)化問題的兩種主要方法：序列二次規(guī)劃方法(SQP)和二次規(guī)劃(QP)子問題。1.算法描述序列二次規(guī)劃(SQP)方法可以模擬解決無約束優(yōu)化問題的牛頓方法來解決約束優(yōu)化問題，在每一次迭代中，收斂可以由用擬牛頓(Quasi－Newton)方法得到的Langrange函數構成的Hessian矩陣來保證。從而轉化為一個二次規(guī)劃(QP)子問題，它的解產生線性搜索過程的搜索方向。序列二次規(guī)劃(SQP)方法的主要思想如下所述：給定一個(式3.16)所示的GP問題，它的求解的基本思想就是基于Langrange函數的二次近似求解子問題的二次規(guī)劃(QP)。(3.16)上式是假設約束條件為不等式約束后簡化得到的，因此通過線性化非線性約束條件可以得到二次規(guī)劃(QP)子問題：(3.17)此子問題可以通過任何QP算法來求解，例如可形成如下形式的新迭代方程：(3.18)步長參數αk通過合適的線性搜索過程來確定，從而可以使得某一指標函數值得到足夠的下降量。dk為迭代的搜索方向。矩陣Hk是Langrange函數Hessian矩陣的正定近似，Hk可以用任何擬牛頓法進行更新，但BFGS方法更常用一些。BFGS方法是牛頓法的一種，具有比較好的數值穩(wěn)定性。使用SQP算法，求解一個非線性約束優(yōu)化問題比一個無約束優(yōu)化問題所迭代的次數要少，只是因為受到解可行區(qū)域的限制，這種方法更可能得到恰當的搜索方向和迭代步長。例如考慮如下帶非線性不等式的約束的Rosenbrock函數：(3.19)求解此函數的極值，如果用SQP算法實現，需經過96次迭代后得到問題的解；如果當做一個無約束優(yōu)化問題來求解，則需迭代130次才能得到問題的解。2.算法的MATLAB實現（1）更新Langrange函數的Hessian矩陣在每一次主迭代中，H均作為Langrange函數Hessian矩陣的正定擬牛頓近似，采用BFGS方法進行計算，其中λi(i＝1，…，m)是Langrange乘子的估計。Hessian矩陣更新(采用BFGS方法)：(3.20)其中：H初始值為一個正定矩陣，在更新過程中通過保證qkTsk的正定性來維持Hessian矩陣的正定性，當qkTsk非正定時，通過修改其中的元素使得qkTsk>0。這樣修改的目的是盡可能少地錯改qk的值(qk與Hessian矩陣的正定更新有直接聯系)，因此在修改的開始階段，qkTsk中的大多數負的元素不斷被除以2直至qkTsk大于或等于1e-5，如果在此過程中qkTsk仍然為負，則通過加上一個向量v與常熟標量w的乘積來改變qk的值。(3.21)其中：w對稱增加直至qkTsk為正。在MATLAB優(yōu)化工具箱中，fmincon、fminimax、fgoalatain和fseminf都使用了SQP算法。（2）求解二次規(guī)劃子問題在SQP算法的每一次主迭代中都要求解一次如(式3.22)所示的QP問題(3.22)滿足：求解過程包含兩個階段：第一階段計算解的一個可行點；第二階段產生可行點的一個迭代序列，這個序列收斂到問題的解。在這種方法中，一直保持著一個活動集合，Ak在每一次迭代時被更新，從而構成搜索方向的基礎，等式約束的信息也包含在中，在搜索方向上，目標函數的值在約束邊界內取得最小值；而的可行子空間又以Zk為基礎，Zk與的估計值是正交的，即，因此由Zk任意列的線性和所構成的搜索方向被保證在約束邊界內。矩陣Zk由矩陣分解后的第l＋1列到第m列組成，l是約束的數目(l<m),也就是說由下式得到：(3.23)其中：這樣，我們以p代替，則待求的二次問題可以轉化為p的函數：(3.24)關于P差分形式為：▽q(p)稱為二次函數的規(guī)劃梯度，ZkTHZk稱為規(guī)劃Hessian矩陣，當▽q(p)＝0時，▽q(p)在由Zk定義的子空間上取得最小值，它就是下列線性方程的解：從而得到迭代形式：(3.25)（3）線性搜索和計算指標函數如上節(jié)所述，求解QP子問題得到一個向量dk，由它可得到新的迭代：аk的每次取值必須保證指標函數有足夠的下降量，這里的指標函數如(式3.26)所示：(3.26)其中：3.4 MATLAB優(yōu)化工具箱介紹本文利用fmincon函數求多變量有約束非線性函數的最小值，fmincon函數中采用了上節(jié)中提到的序列二次規(guī)劃算法。假設多變量非線性函數的數學模型為：(3.27)式中，x，b，beq，lb和ub為向量，A和Aeq為矩陣，c(x)和ceq(x)為函數，返回標量。f(x)，c(x)和ceq(x)可以是非線性函數。Fmincon函數的調用格式如下：(3.28)調用格式中，fun函數中定義所求的函數；xo為給定的初值；線性等式Aeq·x=beq和線性不等式A·x≤b中的向量b、beq和矩陣A、Aeq均在上式中設置，若無不等式存在則A=[]，b＝[]，同樣，無等式存在則Aeq＝[]，beq=[]；設計變量x的下界為lb和上界lu，使得總是有l(wèi)b≤x≤ub，當無邊界存在時，令lb=[]和ub=[]；nonlcon參數計算非線性不等式約束c(x)≤0和非線性等式約束ceq(x)=0，要求輸入一個向量x，返回兩個變量－解x處的非線性不等式向量c和非線性等式向量ceq；當調用格式中有options時，將按options指定的參數進行最小化。在中型優(yōu)化算法中，fmincon函數使用二次規(guī)劃法(SQP)。本法中，每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。本文中將使用中型優(yōu)化算法。在使用該函數的過程中，還有一些需要注意的問題：（1）如果用Aeq和beq清楚地提供等式約束，將比用lb和ub獲得更好的數值解。（2）在二次子問題中，若有等式約束并且諸因變等式被發(fā)現和剔除，則將在過程標題中顯示‘dependent’。只有在等式連續(xù)的情況下，因變等式才會剔除。若等式系統不連續(xù)，則子問題將不可行并在過程標題中輸出‘infeasible’消息。（3）目標函數和約束函數都必須是連續(xù)的，否則可能會給出局部最優(yōu)解。（4）當問題不可行時，fmincon函數將試圖使最大約束值最小化。（5）目標函數和約束函數都必須是實數[40]。3.5 工程實例分析圖3.1龍?zhí)逗犹卮髽蜾摻畈贾脠D本節(jié)將基于最小彎曲能量法提出了懸臂施工連續(xù)剛構橋預應力優(yōu)化設計方法。通過選擇施工控制截面以離散截面的彎曲能量之和最小為目標函數，以各截面在各施工階段的應力為約束條件，優(yōu)化得到各施工階段張拉的縱向預應力鋼筋數量。本文將此優(yōu)化方法用于龍?zhí)逗犹卮髽?，?yōu)化其縱向預應力鋼筋。圖3.1為龍?zhí)逗犹卮髽颍B續(xù)剛構橋預應力鋼筋的布束型式及各個位置的預應力大樣圖。其中，在懸臂施工階段，每個截面相應地張拉兩束頂板束及兩束腹板下彎束(左右腹板各一束，在優(yōu)化計算中，把兩束相同的預應力鋼筋當成一束來求影響矩陣)；合攏段主要為底板束居多。T代表頂板束，共22×4束(共4個墩)；W代表腹板下彎束，共21×4束；CT代表中跨合攏束的頂板束，共1×3束(3段中跨合攏段)；CB代表中跨合攏束的底板束，共13×3束；ST代表邊跨合攏束的頂板束，共3×2束(2段邊跨合攏段)；SB代表邊跨合攏束的底板束，共7×2束。CB與SB是同時張拉的。3.5.1 縱向預應力布束形式對應力的影響取消下彎束的配束方案具有明顯的優(yōu)點：（1）腹板內大部分空間無縱向預應力管道，使腹板混凝土的澆筑極為方便。（2）由于可將預應力筋盡量設置在腹板承托內，即最大受力部位，可以節(jié)省預應力鋼材，經濟效益客觀。取消下彎束在以往的設計經驗中有成功的先例，如從廣州洛溪大橋開始取部分下彎束，到虎門大橋輔航道橋取消全部的下彎束，使得這一布束方法得以推廣。但是豎向預應力損失通常都比較大，如果縱向只布直束，腹板的主拉應力往往不能滿足應力要求，所以鑒于目前的設計偏于保守，設置下彎束布束方案仍然占據主導。本文中的依托工程設置了下彎束。表3.1最大懸臂狀態(tài)腹板束下彎與不下彎的主梁控制截面的內力項目斷面腹板束下彎腹板束不下彎彎矩(kN.m)剪力(kN)彎矩(kN.m)剪力(kN)邊跨跨中-80300-13700-70300-146001/4跨-66800-22000-32600-24800根部16100-3130073200-35300中跨跨中00001/4跨-81200-13800-71100-14700根部12500-3130069700-35400表3.2正常使用狀態(tài)腹板束下彎與不下彎的主梁控制截面的內力項目斷面腹板束下彎腹板束不下彎最大彎矩(kN.m)最小彎矩(kN.m)最大彎矩(kN.m)最小彎矩(kN.m)邊跨跨中-22100-75700-16800-659001/4跨-55400-141000-29300-109000根部-39200-1720005600-120000中跨跨中26900-11200026100-114001/4跨30200-4420038100-35200根部-43700-2470007470-197000表3.3最大懸臂狀態(tài)腹板束下彎與不下彎的主梁控制截面的應力Mpa項目斷面腹板束下彎腹板束不下彎上緣正應力下緣正應力主拉應力上緣正應力下緣正應力主拉應力邊跨跨中4.9110.5-0.6615.5510.4-0.7021/4跨7.329.38-0.5048.339.11-0.608根部9.438.54-0.57210.58.23-0.693中跨跨中0000001/4跨4.8810.5-0.6675.5210.4-0.734根部9.388.59-0.57410.48.27-0.696表3.4正常使用狀態(tài)腹板束下彎與不下彎的主梁控制截面的應力Mpa項目斷面腹板束下彎腹板束不下彎上緣正應力下緣正應力主拉應力上緣正應力下緣正應力主拉應力邊跨跨中5.639.42-0.7296.269.34-0.7971/4跨7.29.4-0.5868.219.13-0.695根部8.879.0-0.6699.928.69-0.796中跨跨中8.0411.9-0.0208.7712.1-0.0911/4跨8.026.29-0.8948.656.2-0.965根部9.18.71-0.72110.28.4-0.85為了驗證腹板下彎束對結構的作用，對龍?zhí)逗犹卮髽蛉∠聫澥陀懈拱逑聫澥鴥煞N布束方式進行施工仿真，表3.1、表3.2給出最大懸臂狀態(tài)階段和正常使用狀態(tài)主梁控制截面的內力，表3.3、表3.4給出最大懸臂狀態(tài)階段和正常使用階段主梁控制截面的應力?？紤]兩種預應力情況：預應力1－含有腹板下彎束；預應力2－不含腹板下彎束。從表3.1-表3.4可以看出:（1）腹板剪力受支座負彎矩區(qū)段的預應力布束形式影響不大。布直束時剪力增加13％左右。從表3.1和表3.2的彎矩欄可以看出，兩種不同預應力狀況下，彎矩變化很大，布直束時部分彎矩值由正彎矩變?yōu)樨搹澗?。?）中間支座負彎矩區(qū)預應力筋布置方式對腹板主拉應力影響比較大。從表3.3中可以看出，直線布束與下彎布束相比，腹板主拉應力增大20％左右。而且，布直束時，主梁上下緣的正應力都要相應增大。（3）取消下彎束的配束方案是有理論依據的。從橋梁結構整體而言，連續(xù)剛構橋的主梁是一個受彎構件，加上強大的縱向預應力筋之后，主梁實際上成為一個小偏心受壓構件，而不是受彎構件。而通過配置豎向預應力可以解決腹板主拉應力增大的問題。因此可以不設置腹板下彎束。但是，許多學者通過現場測試與試驗發(fā)現，在大跨徑橋梁中豎向預應力損失通常很大，腹板主拉應力過大而造成腹板開裂，所以豎向預應力的施工質量及構造形式是一個值得研究的問題。所以，一般在設計縱向預應力時，仍采用有腹板下彎束的縱向預應力鋼筋布束形式。對只布置頂板直束的布束形式仍待進一步研究。3.5.2 結合彎曲能量最小法與MATLAB優(yōu)化工具箱對背景橋進行優(yōu)化設計，首先要建立優(yōu)化的目標函數及約束條件。1.最大懸臂狀態(tài)的目標函數基于彎曲能量最小法，以最大懸臂狀態(tài)的彎曲應變能為性能指標函數。因主梁為五跨對稱結構，且在最大懸臂狀態(tài)，4個單T結構完全相同，且單T的左右對稱，所以只取其中一個單T結構的半邊懸臂計算彎曲應變能。由3.2節(jié)可知，結構彎曲應變能可寫成：(3.29)式中：、分別表示左、右端彎矩向量，[B1]為系數矩陣：(3.30)n為所計算節(jié)段數。令截面左、右端恒載彎矩為、，施加預應力向量為,是所要求的變量，，則施加預應力后彎矩向量為：(3.31)(3.32)式中：[CL1]、[CR1]分別為最大懸臂狀態(tài)預應力對施工節(jié)段左、右端的彎矩影響矩陣?？赏ㄟ^平面桿系有限元軟件求得最大懸臂狀態(tài)的預應力彎矩影響矩陣[CL1]與[CR1]。預應力影響矩陣的計算方法可表述如下：由于每束預應力筋的截斷位置（即張拉位置）與根數不同，故各束預應力鋼筋影響到的主梁截面數也將不同。在各個施工階段張拉相應的預應力束中的一根，用平面桿系有限元軟件進行計算，可得到已澆注節(jié)段的主梁彎矩值和軸力值，最后可形成相應施工階段的預應力彎矩影響矩陣[C]1i和軸力影響矩陣[Np]1i。因施工方法采用懸臂澆注法，所以得到的預應力影響矩陣為一系列下三角矩陣。各階段的預應力影響矩陣將在約束條件中用到，而目標函數中只需要代入最大懸臂狀態(tài)的預應力影響矩陣[CL1]與[CR1]。在各施工階段不張拉預應力鋼筋，則可以通過上述方法求得恒載影響矩陣與。其中，、[CR1]和[B1]見表3.5、表3.6及表3.7。與[CL1]分別為、[CR1]去掉矩陣的第一列，并在最后一行補一列零元素。2.正常使用狀態(tài)的目標函數基于最小彎曲能量法，以正常使用狀態(tài)主梁的彎曲應變能為性能指標函數，則結構彎曲應變能可寫成：(3.33)(3.34)(3.35)(3.36)式中：′為最大懸臂狀態(tài)彎曲能量最小時優(yōu)化得到的預應力鋼筋向量。CB1、CB2與CB3中各有13束底板束；為了簡化設計變量，假定這13束底板束的根數相等，且等價為一個設計變量。ST1與ST2(三束)、SB1與SB2(7束)也用同樣的方法簡化。全橋共劃分為202個節(jié)段，203個截面，30個施工階段，53種類型的預應力鋼筋(已求得的靜定束43種，待求的后期束10種)，故為1行×53列的矩陣；恒載彎矩影響矩陣、為30行×202列的矩陣；預應力彎矩影響矩陣[CL1]、[CR1]為53行×202列的矩陣；系數矩陣[B2]為202行×202列的矩陣。各影響矩陣的求法同最大懸臂狀態(tài)影響矩陣的求法。3.5.3 約束方程一般稱在最大懸臂狀態(tài)前施加的預應力束為靜定束，合攏階段施加的預應力表3.5節(jié)段左截面恒載彎矩影響矩陣{ML01}22×22(單位：kN.m)``①②252423222120191817161514131211109876542-39570000000000000000000003-19980-3796000000000000000000004-42750-19350-364100000000000000000005-70980-41370-18740-34900000000000000000006-104900-68570-40030-18160-3345000000000000000007-144100-101200-66250-38750-17590-320600000000000000008-187900-138900-97720-64020-37510-17050-30720000000000000009-239900-184500-136900-96840-63920-37890-17620-35610000000000000010-294200-233000-179700-133800-95170-63390-38190-18740-3262000000000000011-352500-285800-227000-175600-131500-94200-63520-39160-18000-311500000000000012-414300-342400-278400-221800-172400-129800-93890-64280-37710-17430-29760000000000013-487200-409700-340000-277800-222700-174600-133000-97770-64760-38630-18340-3589000000000014-564200-481300-406300-338700-278300-224800-177900-137300-98130-65870-40040-20000-341700000000015-640600-552800-472900-400500-335200-276900-225100-179600-135000-97160-65780-40540-18800-30390000000016-719800-627500-542900-465800-395900-332900-276500-226400-176400-133300-96600-66050-38680-18030-2912000000017-797700-701100-612400-531100-456900-389700-329100-274700-219900-172000-130500-95130-62330-36600-17140-269600000018-878300-777600-684800-599400-521200-449900-385200-326800-267300-214800-168600-128600-90550-59580-35230-16640-26010000019-961500-856900-760100-670800-588600-513400-444700-382400-318500-261400-210700-166200-123100-87050-57630-34310-16300-2521000020-1047000-939000-838400-745300-659300-580200-507700-441600-373200-311800-256700-207800-159800-118800-84480-56230-33630-16010-245400021-1136000-1024000-919900-823000-733300-650500-574200-504300-431700-366000-306600-253400-200600-154800-115600-82590-55160-33070-15780-24010022-1229000-1113000-1005000-904300-810900-724400-644500-570900-494000-424100-360500-303100-245500-195000-151100-113300-81160-54330-32640-15610-2364023-1325000-1206000-1094000-989600-892500-802300-718800-641500-560500-486400-418700-357100-294800-239600-191000-148500-111700-80130-53750-32370-15510-2345注：①表示施工階段號②表示控制截面號表3.6節(jié)段左截面預應力彎矩影響矩陣[CL1]43×22(單位：kN.m)①②鋼筋號252423222120191817161514131211109876542T12090000000000000000000000W13380000000000000000000003T22120199000000000000000000000W21280347000000000000000000004T32150201018900000000000000000000W31810123035100000000000000000005T42160203019001780000000000000000000W41840172012203730000000000000000006T52170204019101790167000000000000000000W51880177016601230399000000000000000007T62180205019201800168015700000000000000000W61900180016901590127050500000000000000008T72190206019301810169015801470000000000000000W71960184017201610150012104800000000000000009T82190206019301810169015801470137000000000000000W816301510140012901180108098454700000000000000………………21T202220208019501830171016001490139012801170107098388780172364458353048645100W201860175016501540144013301240114010509498597766906125424704153683292840022T21219020801960185017301620151014001290119010909938968097306505895364924564290W212000189017801670156014501350125011501050953865775692618542485435393360328023T2221802070195018401720161015001400129011801080990894807729648587534490455428409注：①表示施工階段號，T為頂板束，W為腹板束②表示控制截面號表3.7彎曲應變能系數矩陣[B1]22×22①②2524232221201918171615141312111098765425.04E-08000000000000000000000305.77E-08000000000000000000004006.63E-08000000000000000000050007.62E-08000000000000000000600008.77E-08000000000000000007000001.01E-07000000000000000080000001.17E-07000000000000000900000001.55E-070000000000000010000000001.94E-070000000000000110000000002.30E-070000000000001200000000002.75E-070000000000013000000000003.67E-070000000000140000000000004.47E-070000000001500000000000005.44E-070000000016000000000000006.60E-070000000170000000000000008.33E-070000001800000000000000009.98E-070000019000000000000000001.18E-060000200000000000000000001.38E-060002100000000000000000001.57E-060022000000000000000000001.75E-060230000000000000000000001.88E-06注：①表示施工階段號②表示施工階段號束為后期束。1.最大懸臂狀態(tài)假定連續(xù)剛構在某個施工階段張拉的預應力筋根數向量為{T}1i，該預應力筋產生的內力影響矩陣為（包括彎矩值及軸力值），本階段的恒載影響矩陣為，最大容許應力向量為{Ecc1},最小容許應力向量為{Ect1}。各施工階段產生的{T}1i、、是最大懸臂狀態(tài)產生的{T}1、、的子塊矩陣(取節(jié)段的左截面的影響矩陣或右截面的影響矩陣均可)。約束方程可表述為：(3.37)在建立約束方程時，必須保證在各個施工階段中，已經澆注節(jié)段的截面應力均不超過相應的容許應力，以達到施工要求。在懸臂澆注法中，隨著澆注節(jié)段的增加，所需要約束的截面也是逐漸增加的，約束方程比較多。本文所驗算的橋梁最大懸臂狀態(tài)懸臂端有22個施工階段(除去0號塊，澆筑0號塊時沒有張拉預應力鋼筋)，且在求解過程中，約束方程需左右分開表達成兩個不等式，因此，共有(22+21+20…+1)×2＝506個約束方程。按文獻[41]規(guī)定，預應力混凝土受彎構件，在預應力和構件自重等施工荷載作用下截面邊緣混凝土的法向應力應符合下列規(guī)定：（1）壓應力(3.38)（2）拉應力(3.39)式中:、－按短暫狀況計算時截面預壓區(qū)、預拉區(qū)邊緣混凝土的壓應力、拉應力。、－與制作、運輸、安裝各施工階段混凝土立方體抗壓強度相應的抗壓強度、抗拉強度標準值。C50混凝土中，，。即，在式(7)中，。2.正常使用狀態(tài)對于全預應力混凝土，后期束布置的原則是確定預應力的分布及大小，抵消正常使用階段正截面上產生的拉應力，使主梁全截面受壓。將最大懸臂狀態(tài)產生的實際應力狀態(tài)作為初態(tài)，依合攏施工階段結構體系轉換過程及布置活荷載階段，計算所有后期束在以上階段的結構響應，得到各階段的影響矩陣，其過程可描述為：（1）按施工正裝順序計算所有施工荷載及靜定束在各合攏階段產生的結構內力。（2）分別施加每束合攏段預應力筋中的一根，用平面桿系有限元軟件進行計算(此階段是超靜定結構，要計入其產生的二次內力)。計算得到正常使用階段單根預應力筋下各截面的預應力彎矩值，最后可得到內力影響矩陣[C2]。（3）布置活載后，根據文獻[41]要求計算短期效應應力組合，并對其相應的最不利組合應力進行約束，在荷載短期效應組合下，分段澆注的縱向分塊構件必須滿足：(3.40)但在荷載長期效應組合下(3.41)式中:－在作用(或荷載)短期效應組合下構件抗裂驗算邊緣混凝土的法向拉應力。－在作用(或荷載)長期效應組合下構件抗裂驗算邊緣混凝土的法向拉應力。－扣除全部預應力損失后的預加力在構件抗裂驗算邊緣產生的混凝土預壓應力。這一階段后期束的優(yōu)化方法與最大懸臂狀態(tài)的靜定束優(yōu)化方法相同。Matlab提供了fmincon函數求解約束非線性優(yōu)化問題。本文將采用fmincon函數進行優(yōu)化求解。以主梁彎曲能量(式3.29或3.33)作為目標函數，以各階段應力應力(式3.38～式3.41)作為約束條件，通過Matlab優(yōu)化工具箱即可求解出最大懸臂狀態(tài)階段的靜定束和合攏階段的后期束。3.5.4 取設計變量為每束預應力束的根數，則原設計方法中的預應力束根數向量的可表示為：T＝{19，22，22，22，22，22，22，22，22，22，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19}W＝{12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12，12}CT＝{12}CB＝{19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19，19}ST＝{12,19,19}SB＝{12，12，12，12，12，12}在確定主梁截面尺寸與預應力鋼筋的布束型式的前提下，以全橋離散截面彎曲能量最小為目標函數，各施工階段應力及正常使用階段應力為約束條件，優(yōu)化得到每束預應力鋼筋的用量。當限定設計變量(指各束預應力鋼筋得根數)的取值范圍為5<x<25時，基于彎曲能量最小法優(yōu)化得到預應力束根數向量為：T＝{15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，25，25，25，25，25，25，25，25，25，25，15}W＝{8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，12，15，8，15，15，15，15，15，15}CT＝{20}CB＝{10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10}ST＝{15,15,15}SB＝{10，10，10，10，10，10}圖3.2-圖3.7為各種方法得到的分析結果。其中，最大懸臂狀態(tài)荷載包括自重、預應力和施工荷載(掛籃及臨時荷載)，正常使用階段階段荷載包括自重、預應力和汽車荷載。橫坐標代表主梁控制截面標號，其中4號為最大懸臂狀態(tài)自由端截面標號，25號為1號墩根部截面號；25和29、75和79、125和129、175和179號為圖2.1中1號－4號雙支薄壁墩的左端與右端根部截面號。在原設計方法中，使用節(jié)段施工的建模方法，考慮了各施工階段對結構內力及應力的影響。同時也考慮了預應力鋼束的各項預應力損失：摩阻損失、鋼束回縮、應力松弛、彈性壓縮及收縮徐變。彎曲能量法、彎矩平衡法及用鋼量最小法在優(yōu)化過程中只考慮了摩阻損失、鋼束回縮及應力松弛。彈性壓縮及收縮徐變引起的預應力損失既與外荷載有關，又與預應力束布置有關，還與時間有關；在未確定實際預應力鋼筋實際數量的情況下，彈性壓縮及收縮徐變引起的預應力損失很難確定下來，且其影響比較小，在最后仿真分析階段通過桿系有限元軟件進行正裝計算考慮進去。從最大懸臂狀態(tài)結構受力狀態(tài)(圖3.2)來看，彎矩平衡法和彎曲能量最小法較為理想。這兩種優(yōu)化方法的主梁彎矩都比較小，原設計方法與用鋼量最小法的結果比較接近，但主梁彎矩值比較大。從最大懸臂狀態(tài)主梁上下緣應力比(圖3.3)來看，彎矩平衡法最為理想。在最大懸臂狀態(tài)，上下緣應力比都在1左右，表明主梁幾乎達到了中心受壓狀態(tài)，受力均勻。彎曲能量最小法在0.6-1.2之間波動，但大部分在1.1左右，結果也比較好。原設計方法與用鋼量最小法(應力比在0.4-1.7之間)所得的應力比波動太大。圖3.2最大懸臂狀態(tài)主梁彎矩圖3.3最大懸臂狀態(tài)主梁上下緣正應力之比圖3.4最大懸臂狀態(tài)主梁豎向位移圖3.5長期效應組合底板正應力包絡圖圖3.6長期效應組合頂板正應力包絡圖圖3.7用鋼量直方圖從各階段的應力圖(圖3.2、圖3.5、圖3.6)來看，彎曲能量法在最大懸臂狀態(tài)得到的主梁應力最好，上下緣應力幾乎相等，截面應力均勻。在正常使用階段，主梁沒有出現拉應力，達到了全預應力的要求；并且，主梁的壓應力都在4-11Mpa之間，表明主梁有足夠的壓應力儲備。從3.5.5 參數分析在懸臂澆注階段，對應于每個施工階段，張拉相應的一束頂板束與一束底板束。本節(jié)主要研究了當頂板束與腹板束的根數比（即面積比）取不同的比值時，主梁的內力、位移及用鋼量的變化情況。這里取了9個比值，分別為0、0.5、1、2、3、4、5、6和∞。其中，0代表只有腹板下彎束的情況，∞代表只有頂板束即直束的情況。同上節(jié)，采用最小彎曲能量法優(yōu)化得到每束預應力鋼筋的根數。從圖3.8中可以得出，隨著頂板束與腹板束的根數比(在圖中，用橫坐標8表示比值為∞)增大，用鋼量將不斷減少，當只采用頂板直束時最少，為671.6t。同時，還可以看出，限定頂板束與腹板束的根數的比值為2與∞之間，比限定根數向量上下界得到的用鋼量更少。且根數的比值為2到∞之間時,用鋼量變化比較緩慢.從圖3.9和圖3.10中可以得到，目標函數取全橋彎曲能量最小時，頂板束與腹板束的根數比對最大懸臂狀態(tài)主梁的彎矩及上下緣正應力比沒有太大影響，即主梁彎矩比較小且應力比較均勻。從圖3.11中可以看出，隨著頂板束與腹板束的根數比增大，主梁的最大懸臂狀態(tài)的主梁位移逐漸減小，比值在2到∞之間的主梁的位移都比較小，有利于合攏階段施工。圖3.8用鋼量變化圖圖3.9最大懸臂狀態(tài)主梁彎矩圖3.10最大懸臂狀態(tài)主梁上下緣正應力之比圖3.11最大懸臂狀態(tài)主梁豎向位移圖3.12長期效應組合頂板正應力包絡圖圖3.13長期效應組合底板正應力包絡圖注：實心點代表包絡圖中的最大正應力，空心點代表包絡圖中的最小正應力。圖3.12和圖3.13表明了正常使用階段，各種情況得到的主梁的上下緣正應力都在規(guī)范要求內，都比較合理，且有一定的預應力儲備。綜上所述，當頂板束與腹板束的根數比為2～3時，主梁的內力、位移、應力結果都比較好，并且用鋼量比較小。雖然只布直束時得到的結果也比較合理，且用鋼量更小，但是，在連續(xù)剛構中，需要提供一部分下彎束來抗剪，所以不提倡只布直束[22]。3.6 三種能量法的比較連續(xù)剛構在彎矩、剪力和軸力的綜合作用下，結構的總能量由彎曲應變能、軸壓應變能及剪切應變能組合而成，總能量可表達為：(3.42)式中：E－彈性模量；G－剪切模量；I－抗彎慣矩；A－截面面積；k－剪應力不均勻分布系數。在平面桿系有限元中，箱形截面梁可以等價為工字形梁，而工字形梁的剪應力不均勻分布系數，A為全截面面積，為腹板截面面積。表3.8最大懸臂狀態(tài)主梁單T結構的能量比較方法能量彎曲應變能(J)軸壓應變能(J)剪切應變能(J)總能量(J)原設計方法8.77E+042.62E+062.33E+052.94E+06彎曲能量最小法8.41E+033.00E+062.70E+053.28E+06彎矩平衡法7.05E+032.74E+062.77E+053.02E+06用鋼量最小法1.03E+052.47E+062.31E+052.80E+06表3.9正常使用狀態(tài)主梁結構的能量比較方法能量彎曲應變能(J)軸壓應變能(J)剪切應變能(J)總能量(J)原設計方法1.61E+051.29E+071.23E+061.43E+07彎曲能量最小法1.41E+051.30E+071.22E+061.44E+07彎矩平衡法1.48E+051.19E+071.36E+061.34E+07用鋼量最小法3.63E+051.23E+071.20E+061.39E+07就常規(guī)材料建造的連續(xù)剛構而言，軸力與剪力并不控制主梁的設計尺寸，主要是由彎矩控制。亦就是說，彎矩耗費的材料比較多。因此，一般用彎曲應變能的多少作為結構經濟指標的衡量標準。但為了作為比較，表3.8-表3.9給出4種方法在最大懸臂狀態(tài)及正常使用狀態(tài)的三種應變能。從以上兩個表格可以看出，各種方法對剪切應變能和軸壓應變能的影響并不是很大，而對彎曲應變能的影響非常大。從彎曲能量最小法可以看出，在最大懸臂狀態(tài)主梁單T結構的彎曲應變能相對比較小，軸壓應變能比較大；而在正常使用階段，主梁的彎曲應變能最小，軸壓應變能最大，達到了最優(yōu)的狀態(tài)。以上現象可以這樣解釋：從橋梁結構整體而言，連續(xù)剛構橋的主梁是一個受彎構件，但加上強大的縱向預應力筋后，主梁實際上成為一個小偏心受壓構件；因而合理配置預應力鋼筋，可使得主梁的彎矩很?。◤澢鷳兡苄。?，軸力比較大（軸壓應變能大），如彎曲能量法和彎矩平衡法。但主梁的剪力主要由主梁的恒載提供，主梁彎束提供少部分，因而剪切應變能變化不大。由此可見，選取彎曲應變能最小為目標函數是可行的。從三中能量的數量級可以看出，軸壓應變能要比彎曲應變能大2～3個數量級，而剪切應變能比彎曲應變能大1～2個數量級，再加上各種方法對剪切應變能的影響不大，因此，以總能量作為目標函數可能會引起大數吃小數的后果，不宜以總能量作為目標函數。這也證明了前面所說的理論：彎矩耗費的材料比較多。因此，一般用彎曲應變能的多少作為結構經濟指標的衡量標準。3.7 本章小結綜合比較，可以得出基于最小彎曲能量法的縱向預應力優(yōu)化方法是較為理想的優(yōu)化方法，它使得主梁受力、變形較小，且應力比較均勻，特別適用于優(yōu)化含腹板下彎束的縱向預應力鋼筋。彎矩最小法概念簡單、計算方便，可以在只要求配置直束的中小跨徑剛構橋中使用，但必須按照實際施工過程進行仿真分析，驗算施工應力是否滿足要求。在實際應用中，特別是對于大、中跨徑的預應力混凝土連續(xù)剛構橋，為了得到最優(yōu)的縱向預應力，應采用幾種不同的方法進行優(yōu)化計算并進行比較，最后得到最優(yōu)的解。參考以往的連續(xù)剛構梁的預應力鋼筋設計圖，一般在布置靜定束時頂板束與腹板下彎束的比值接近2。通過參數分析，也可得出，在設計預應力鋼筋時，取頂板束與腹板下彎束的根數比值為2～3時，得到的主梁內力、應力及用鋼量都比較優(yōu)。建議在設計預應力束時根數比值取2～3之間。在彎曲應變能、軸壓應變能和剪切應變能中，選取彎曲應變能為目標函數是有一定的依據的，基于彎曲能量最小法的縱向預應力鋼筋的優(yōu)化設計有一定的工程實用價值。四．連續(xù)剛構預應力參數優(yōu)化設計4.1 概述在土木工程、航天航空等領域，結構優(yōu)化設計技術正得到越來越廣泛的應用，結構優(yōu)化設