新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第4章計(jì)數(shù)原理4.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理課件湘教版選擇性必修第一冊(cè)

第4章4.1.1分類加法計(jì)數(shù)原理4.1.2分步乘法計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求1.通過實(shí)例,理解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義;2.能根據(jù)具體問題的特征,選擇分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)全過關(guān)知識(shí)點(diǎn)1分類加法計(jì)數(shù)原理如果完成一件事有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,…,在第n類辦法中有mn種不同的方法,每種方法都能獨(dú)立完成這件事,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

m1+m2+…+mn名師點(diǎn)睛1.分類加法計(jì)數(shù)原理中的“完成一件事有n類辦法”是指完成這件事的所有方法可以分為n類,每一類中沒有相同的方法,且完成這件事的任何一種方法都在某一類中.2.分類加法計(jì)數(shù)原理與集合類比:S=S1∪S2∪…∪Sn且Si∩Sj=?(i≠j,i,j=1,2,…,n),如圖所示.集合S共有(m1+m2+…+mn)個(gè)元素完成事件S共有(m1+m2+…+mn)種方法

過關(guān)自診某校高一年級(jí)共8個(gè)班,高二年級(jí)共6個(gè)班,從中選一個(gè)班級(jí)擔(dān)任學(xué)校星期一早晨的升旗任務(wù),安排方法共有多少種?解

由分類加法計(jì)數(shù)原理,得完成升旗這一任務(wù)分兩類,安排方法共有8+6=14種.知識(shí)點(diǎn)2分步乘法計(jì)數(shù)原理如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,…,第n步有mn種不同的方法,每個(gè)步驟都完成才算做完這件事,那么完成這件事共有N=

種不同的方法.

m1×m2×…×mn名師點(diǎn)睛1.分步乘法計(jì)數(shù)原理中每個(gè)步驟之間是連續(xù)的、缺一不可的,且不能重復(fù)、交叉,簡(jiǎn)而言之即為“步驟完整”.2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)用來計(jì)算完成一件事的方法種類不同點(diǎn)分類完成,類類相加分步完成,步步相乘每類辦法中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每個(gè)步驟依次完成才算完成這件事(每個(gè)步驟中的一種方法不能獨(dú)立完成這件事)注意點(diǎn)類類獨(dú)立,不重不漏步步相依,步驟完整過關(guān)自診如何區(qū)分一個(gè)問題是“分類”還是“分步”?提示如果完成這件事,可以分幾種情況,每種情況中任何一種方法都能完成任務(wù),則是分類;若從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務(wù),且只有依次完成各種情況,才能完成這件事,則是分步.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理【例1】某校高三共有三個(gè)班,各班人數(shù)如下表.班級(jí)男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班252550高三(3)班351550(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),有多少種不同的選法?分析(1)從每個(gè)班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,每一種選法都能獨(dú)立地完成這件事,因此應(yīng)采用分類加法計(jì)數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計(jì)數(shù)原理.解

(1)從每個(gè)班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,共有3類不同的方案:第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,共有50+50+50=150種不同的選法.(2)從高三(1)班、(2)班男生或高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有3類不同的方案:第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有25種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有15種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從高三(1)班、(2)班男生中或高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有30+25+15=70種不同的選法.規(guī)律方法

1.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)標(biāo)準(zhǔn)明確:明確分類標(biāo)準(zhǔn),依次確定完成這件事的各類方法.(2)不重不漏:完成這件事的各類方法必須滿足既不能重復(fù),又不能遺漏.(3)方法獨(dú)立:確定的每一類方法必須能獨(dú)立地完成這件事.2.利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路變式訓(xùn)練1有三個(gè)袋子,里面分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè),白色小球5個(gè),黃色小球4個(gè).若從三個(gè)袋子中任取1個(gè)小球,有

種不同的取法.

15解析

三個(gè)袋子中任取1個(gè)小球可以分為3類:第1類,從第1個(gè)袋子中任取1個(gè)小球,有6種不同的取法;第2類,從第2個(gè)袋子中任取1個(gè)小球,有5種不同的取法;第3類,從第3個(gè)袋子中任取1個(gè)小球,有4種不同的取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,從三個(gè)袋子中任取1個(gè)小球,不同的取法共有6+5+4=15種.探究點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理【例2】一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))解

由題可知,可以分四步完成:第1步,第一個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m1=10;第2步,第二個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m2=10;第3步,第三個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m3=10;第4步,第四個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10

000個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼.變式探究若各位上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼?解

由題可知,可以分四步完成:第1步,第一個(gè)撥號(hào)盤有10種撥號(hào)方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,第二個(gè)撥號(hào)盤有9種撥號(hào)方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,第三個(gè)撥號(hào)盤有8種撥號(hào)方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,第四個(gè)撥號(hào)盤有7種撥號(hào)方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5

040個(gè)不重復(fù)的四位數(shù)的號(hào)碼.規(guī)律方法

應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的解題策略(1)應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí),完成這件事情要分幾個(gè)步驟,只有每個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事情,每個(gè)步驟缺一不可.(2)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路:探究點(diǎn)三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【例3】有A,B,C型高級(jí)電腦各一臺(tái),甲、乙、丙、丁4個(gè)操作人員的技術(shù)等級(jí)不同,甲、乙會(huì)操作三種型號(hào)的電腦,丙不會(huì)操作C型電腦,而丁只會(huì)操作A型電腦.從這4個(gè)操作人員中選3人分別去操作這三種型號(hào)的電腦,則不同的選派方法有多少種?分析由于4個(gè)操作人員可操作的電腦型號(hào)不同,因此首先將所選3人分類,然后每一類再分步完成,即解答本題可“先分類,后分步”.解

第1類,選甲、乙、丙3人,由于丙不會(huì)操作C型電腦,分3步安排這3人操作電腦,第一步,安排丙,有2種方法;第二步,安排甲,有2種方法;第三步,安排乙,有1種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有2×2×1=4種方法;第2類,選甲、乙、丁3人,由于丁只會(huì)操作A型電腦,這時(shí)安排3人操作電腦,有2種方法;第3類,選甲、丙、丁3人,這時(shí)安排3人操作電腦,有1種方法;第4類,選乙、丙、丁3人,這時(shí)安排3人操作電腦,有1種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有4+2+1+1=8種選派方法.規(guī)律方法

1.使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí),一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計(jì)數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.變式訓(xùn)練2現(xiàn)有5幅不同的國(guó)畫、2幅不同的油畫、7幅不同的水彩畫.從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解

依題意,從這些畫中選出兩幅不同種類的畫可分為三類:第一類,一幅選自國(guó)畫,一幅選自油畫,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有5×2=10種不同的選法;第二類,一幅選自國(guó)畫,一幅選自水彩畫,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有5×7=35種不同的選法;第三類,一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,有2×7=14種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有10+35+14=59種不同的選法.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)分類加法計(jì)數(shù)原理;(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.方法歸納:完成這件事有若干類不同的辦法,用分類加法計(jì)數(shù)原理;完成這件事要依次完成若干個(gè)相互依存的步驟,用分步乘法計(jì)數(shù)原理;完成這件事既要分類,又要分步,則綜合使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.3.注意事項(xiàng):用分類加法計(jì)數(shù)原理要做到分類“不重復(fù)、不遺漏”,而用分步乘法計(jì)數(shù)原理要做到不能缺少任何一個(gè)步驟.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)全達(dá)標(biāo)123451.某學(xué)生去書店,發(fā)現(xiàn)2本感興趣的書,決定至少買其中一本,則購(gòu)買方式共有(

)A.1種

B.2種

C.3種

D.4種C解析

購(gòu)買方式可以分兩類:第一類,購(gòu)買其中1本,有2種方式;第二類,購(gòu)買2本,有1種方式.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有2+1=3種購(gòu)買方式.故選C.123452.學(xué)校體育場(chǎng)南側(cè)有4個(gè)大門,北側(cè)有3個(gè)大門,西側(cè)有2個(gè)大門,某學(xué)生到該體育場(chǎng)訓(xùn)練,但必須是從南門或北門進(jìn)入,從西門或北門出去,則他進(jìn)出門的方法有(

)A.7種

B.12種

C.24種

D.35種D解析

由題意,分兩步完成,第一步,進(jìn)入訓(xùn)練場(chǎng),有7種方法;第二步,出訓(xùn)練場(chǎng),有5種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有7×5=35種不同的進(jìn)出門方法.故選D.13453.將3名志愿者全部分配給2個(gè)不同的社區(qū)服務(wù),不同的分配方案有(

)A.12種

B.9種

C.8種

D.6種C解析

每名志愿者都有兩種不同的分配方法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知,不同的分配方案共有2×2×2=8種.故選C.213454.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué),從中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽,共有不同的選派方法

種;若從中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽,共有不同的選派方法

種.

920解析

4名女同學(xué)、5名男同學(xué)中任選一名同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽可以分為2類:第一類,選一名女同學(xué)參加,有4種選法;第二類,選一名男同學(xué)參加,有5種選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有5+4=9種不同的選法.從4名女同學(xué)、5名男同學(xué)中任選一名女同學(xué)和一名男同學(xué)參加學(xué)科競(jìng)賽可以分2步:第一步,選一名女同學(xué)參賽,有4種選法;第二步,選一名男同學(xué)參賽,有5種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5×4=20種不同的選法.213455.某同學(xué)有課外參考書若干本,其中有5本不同的外語(yǔ)書、4本不同的數(shù)學(xué)書、3本不同的物理書,他想帶參考書到圖書館閱讀.(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館,有多少種不同的帶法?