二次根式典型題

二次根式總復習知識點一：二次根式的概念【知識要點】二次根式的定義：形如（a0）的式子叫二次根式，其中a叫被開方數(shù)，只有當a是一個非負數(shù)時，才有意義．【典型例題】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序號）．舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的個數(shù)有______個【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是．[來源:學*科*網(wǎng)Z*X*X*K]舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是3、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標系中點P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=++2012，則x+y=舉一反三：1、若，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是實數(shù)，且，求xy的值3、當a取什么值時，代數(shù)式取值最小，并求出這個最小值。已知a是整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的值。若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則。若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，求的值.知識點二：二次根式的性質【知識要點】1.非負性：是一個非負數(shù)．注意：此性質可作公式記住，后面根式運算中經(jīng)常用到．2.．注意：此性質既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個非負數(shù)或非負代數(shù)式寫成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正數(shù)．（2）能開得盡方的因式移到根號外時，必須用它的算術平方根代替．（3）可移到根號內(nèi)的因式，必須是非負因式，如果因式的值是負的，應把負號留在根號外．4.公式與的區(qū)別與聯(lián)系（1）表示求一個數(shù)的平方的算術根，a的范圍是一切實數(shù)．（2）表示一個數(shù)的算術平方根的平方，a的范圍是非負數(shù)．（3）和的運算結果都是非負的．【典型例題】【例4】若則a-b+c=．舉一反三：1、若，則的值為。2、已知為實數(shù)，且，則的值為3、已知直角三角形兩邊x、y的長滿足｜x2－4｜＋＝0，則第三邊長為.4、若與互為相反數(shù)，則=。（公式的運用）【例5】化簡：的結果為（）A、4-2aB、0C、2a-4D、4舉一反三：在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:化簡：已知直角三角形的兩邊分別為和，則斜邊長為（公式的應用）【例6】已知,則化簡的結果是A、 B、 C、 D、舉一反三：1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，那么可化簡為（）A．－aB．a(chǎn)C．－3aD．3a3、若，則等于（）A.B.C.D.5、化簡得（）（A）2（B）（C）－2（D）7、已知，化簡求值：【例7】如果表示a，b兩個實數(shù)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡│a－b│+的結果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a舉一反三：實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示：化簡：．【例8】化簡的結果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實數(shù)（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．或【例9】如果，那么a的取值范圍是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1舉一反三：1、如果成立，那么實數(shù)a的取值范圍是（）2、若，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【例10】化簡二次根式的結果是（A）(B)(C)(D)1、把二次根式化簡，正確的結果是（）A. B. C. D.2、把根號外的因式移到根號內(nèi)：當＞0時，＝；＝。知識點三：最簡二次根式和同類二次根式【知識要點】1、最簡二次根式：（1）最簡二次根式的定義：①被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號．2、同類二次根式（可合并根式）：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個根式?！镜湫屠}】【例11】在根式1)，最簡二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解題思路：掌握最簡二次根式的條件。舉一反三：1、中的最簡二次根式有個。2、下列根式中，不是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．3、下列根式不是最簡二次根式的是()A.B.C.D.【例12】下列根式中能與是合并的是()A.B.C.2D.舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能與合并的二次根式是。3、如果最簡二次根式與能夠合并為一個二次根式,則a=.知識點四：二次根式計算——分母有理化【知識要點】1．分母有理化定義：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：①單項二次根式：利用來確定，如：，，與等分別互為有理化因式。②兩項二次根式：利用平方差公式來確定。如與，，分別互為有理化因式。3．分母有理化的方法與步驟：①先將分子、分母化成最簡二次根式；②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后結果必須化成最簡二次根式或有理式?！镜湫屠}】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例15】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）舉一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）小結：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：①與；

②；③與；

④．知識點五：二次根式計算——二次根式的乘除【知識要點】1．積的算術平方根的性質：積的算術平方根，等于積中各因式的算術平方根的積。=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法則：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算術平方根的性質：商的算術平方根等于被除式的算術平方根除以除式的算術平方根（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法則：兩個數(shù)的算術平方根的商，等于這兩個數(shù)的商的算術平方根。（a≥0，b>0）注意：乘、除法的運算法則要靈活運用，在實際運算中經(jīng)常從等式的右邊變形至等式的左邊，同時還要考慮字母的取值范圍，最后把運算結果化成最簡二次根式．【典型例題】【例18】化簡：(1)(2)(3)(4)【例19】計算：(1)(2)(3)（4）【例20】能使等式成立的的x的取值范圍是（）A、B、C、D、無解知識點六：二次根式計算——二次根式的加減【知識要點】需要先把二次根式化簡，然后把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。注意：對于二次根式的加減，關鍵是合并同類二次根式，通常是先化成最簡二次根式，再把同類二次根式合并．但在化簡二次根式時，二次根式的被開方數(shù)應不含分母，不含能開得盡的因數(shù)．【典型例題】【例20】計算（1）；（2）；（3）；（4）【例21】（1）（2）（3）（4）（5）（6）知識點七：二次根式計算——二次根式的混合計算與求值【知識要點】1、確定運算順序；2、靈活運用運算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時；5、在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化；【典型習題】1、3、·（-4）÷4、5、）6、7、8、【例212．已知，求的值。4．求的值．5．已知x、y是實數(shù)，且，求5x+6y的值．知識點八：根式比較大小【知識要點】1、根式變形法當時，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。2、平方法當時，=1\*GB3①如果，則；=2\*GB3②如果，則。3、分母有理化法通過分母有理化，利用分子的大小來比較。4、分子有理化法通過分子有理化，利用分母的大小來比較。5、倒數(shù)法6、媒介傳遞法適當選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。7、作差比較法在對兩數(shù)比較大小時，經(jīng)常運用如下性質：=1\*GB3①；=2\*GB3②8、求商比較法它運用如下性質：當a>0，b>0時，則：=1\*GB3①；=2\*GB3②【典型例題】【例22】比較與的大小。（用兩種方法解答）【例23】比較與的大小?！纠?4】比較與的大小?！纠?5】比較與的大小?！纠?6】比較與的大小

二次根式典型習題集一、概念（一）二次根式下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．（二）最簡二次根式1．把二次根式（y>0）化為最簡二次根式結果是（）．A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不對2．化簡=_________．（x≥0）3．a(chǎn)化簡二次根式號后的結果是_________．4.已知，化簡二次根式的正確結果為_________．（三）同類二次根式1．以下二次根式：①；②；③；④中，與是同類二次根式的是（）．A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④2．在、、、、、3、-2中，與是同類二次根式的有______3．若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．4.若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值．（四）“分母有理化”與“有理化因式”1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．--的有理化因式是_______．2.把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）．二、二次根式有意義的條件：1．（1）當x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（2）當x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（3）當x是多少時，+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（4）當時，有意義。2.使式子有意義的未知數(shù)x有（）個．A．0B．1C．2D．無數(shù)3．已知y=++5，求的值．4．若+有意義，則=_______．5.若有意義，則的取值范圍是。6．要是下列式子有意義求字母的取值范圍（1） (2) (3) (4)(5) (6)三、二次根式的非負數(shù)性1．若+=0，求a2011+b2012的值．2．已知+=0，求xy的3.若，求的值。a＜0a≥0四、a＜0a≥01．a(chǎn)≥0時，、、-，比較它們的結果，下面四個選項中正確的是（）．A．=≥-B．>>-C．<<-D．->=2．先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．兩種解答中，_______的解答是錯誤的，錯誤的原因是__________．3．若│2010-a│+=a，求a-20102的值．4.若-3≤x≤2時，試化簡│x-2│++。5．化簡a的結果是（）．A．B．C．-D．-6．把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內(nèi)得（）．A．B．C．-D．-五、求值問題:1.當x=+,y=-,求x2-xy+y2的值2．已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_________．3.已知a=-1,求a3+2a2-a的值4．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值．5．已知≈2.236，求（-）-（+）的值．（結果精確到0.01）6．先化簡，再求值．（6x+）-（4x+），其中x=，y=27．7．當x=時，求+的值．（結果用最簡二次根式表示）8.已知，求的值。六、其他1．等式成立的條件是（）A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-12.已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值．3．計算（+）（-）的值是（）．A．2B．3C．4D．14.如果 ,則x的取值范圍是。5.如果 ,則x的取值范圍是。6.若,則a的取值范圍是。7.設a=，b=，c=，則a、b、c的大小關系是。8.若是一個整數(shù)，則整數(shù)n的最小值是。9.已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，試求的值七、計算1.·（-）÷（m>0，n>0）2.-3÷（）×（a>0）3.4.5.6.應用1．鐵路基的橫截面是梯形ABCD，如圖，已知AD=BC，CD=8cm，路基的高度DE=6cm，斜坡BC的坡比為1：，求路基下底寬AB的長度2．如圖，扶梯AB的坡比為4；3，滑梯CD坡比為1：2，AE=6cm，BC=5cm，一男孩從扶梯A走到滑梯的頂部，然后從滑梯滑下到D，共經(jīng)過多少路程？3．如圖，方格紙中小正方形的邊長為1，是格點三角形，求：（1）的面積（2）的周長；（3）點C到AB的距離。二次根式新題型近幾年的中考數(shù)學試題圍繞二次根式出現(xiàn)了許多重素質、考能力的新穎題型，歸納起來，主要有以下幾種。一.開放求值題例1.請先化簡下列式子，再選取兩個能使原式有意義，而你又喜愛的數(shù)代入化簡后的式子中求值。解：原式當時，原式；當時，原式。評注：將一道常規(guī)的條件求值題，稍加改編，成為開放求值題，其意境截然不同，可貴之處不但在于從更高層次上考查了學生縝密思考（改編的同時，暗設陷阱）、靈活運用知識的能力，而且體現(xiàn)了人文關愛，利于激發(fā)興趣，緩解考試壓力。二.計算器操作探索題例2.用計算器探索：已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，。如果從中選出若干個數(shù)，使它們的和大于3，那么至少要選___________個數(shù)。解析：由于各數(shù)據(jù)的分母依次增大，故這組數(shù)據(jù)依次減小，根據(jù)題意可選前面數(shù)值較大的數(shù)據(jù)求和。由計算器可求得：。至少要選5個數(shù)，故填5。例3.借助于計算器可以求得，，仔細觀察上面幾道題的計算結果，試猜想__________。解析：，觀察以上各式，易發(fā)現(xiàn)等式左端被開方數(shù)各加數(shù)的冪底數(shù)位數(shù)與等式右端的數(shù)的位數(shù)相同，于是可猜想：評注：養(yǎng)成正確使用計算器的習慣，能熟練地運用計算器去完成復雜的運算或探究性問題，是國家數(shù)學課程標準和數(shù)學大綱的要求。從上述兩例中可看到，由于使用了計算器，避免了繁冗、重復的運算過程，大大提高了解題效率，計算器進課堂、進考場是時代的要求，學習的需要，應引起高度重視。三.讀圖計算題例4.在第六冊課本的閱讀材料中，介紹了一個第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽，它的主體圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的。設其中的第一個直角三角形是等腰直角三角形，且，請你先把圖中其他8條線段的長計算出來，填在下面的表格中，然后再計算這8條線段的長的乘積。解析：觀察圖形可知，待求線段既是前一個直角三角形的斜邊，又是后一個直角三角形的直角邊，因而利用勾股定理可求出各線段的長依次為、，它們的積為。評注：解這類題的關鍵是結合題設讀懂圖，從圖中獲取信息，借助數(shù)形結合，就能迅速、正確地找到解題途徑。四.閱讀判斷題例5.化簡時，甲的解法是：；乙的解法是：以下判斷正確的是（）A.甲的解法正確，乙的解法不正確B.甲的解法不正確，乙的解法正確C.甲、乙的解法都正確D.甲、乙的解法都不正確解析：正確答案應為C。甲采用分母有理化的方法，而乙采用分解約分法，雖然兩人的思路不同，解法各異，但最后殊途同歸。例6.對于題目“化簡并求值：，其中”，甲、乙兩人的解答不同，甲的解答是：乙的解答是：誰的解答是錯誤的？為什么？解析：解答此題的關鍵是對于式子脫去根號后，得到，還是。這就必須要明確是正還是負。故乙的解答是錯誤的。評注：這兩道題格調(diào)清新，考查面寬廣，從分母有理化、二次根式的性質、二次根式的化簡等基礎知識、基本技能到思維的靈活性、深刻性、批判性等方面都進行了考查。解答時要慎重思考，仔細甄別。這類題有利于學生養(yǎng)成對待問題認真負責、一絲不茍的態(tài)度。六.歸納、猜想題例7.觀察下列各式：你能得出怎樣的結論？并給出證明。解析：仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)每個算式左邊根號內(nèi)的整數(shù)、分數(shù)的分子與右邊根號外的整數(shù)、根號內(nèi)的分數(shù)的分子都相同，而分母比分子的平方少1，故得結論為（）證明：評注：歸納、猜想題，常常是從簡單情形入手，通過對若干特例的觀察、分析，從中類比、歸納，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，進而猜想出具有一般規(guī)律的結論，并對結論的正確性給予驗證或證明。七.閱讀理解題例8.觀察下列分母有理化的運算：利用上面的規(guī)律計算：__________。解析：要計算的式子有兩個因式，第一個因式可根據(jù)題中給出的規(guī)律求得例9.閱讀下面的問題及解答：問題：化簡解：設則原式從上面的解答可以看出，一個很復雜的根式，化簡的結果卻是個簡單的有理數(shù)，做完這道習題后，現(xiàn)在請你當一回老師，編四個類似的二次根式的化簡題，要求滿足以下兩個條件：（1）題目是由這三個無理數(shù)（或是其中兩個）經(jīng)過各種運算組成的（每題要包含加、減、乘、除、乘方幾種運算中的一種或幾種運算，如等，在你編出的四道題中，不能漏掉了五種運算中的某一種運算）。（2）化簡的結果是一個有理數(shù)。解析：閱讀材料介紹了解決本題的一個方法——構造共軛因式。因此，利用共軛因式的積、商、平方或結合其