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黑龍江省鐵力市第一中學(xué)2023屆高三4月綜合練習(xí)(一模)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線的右支上,且其中一個(gè)頂點(diǎn)在雙曲線的右頂點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.3.已知向量,,若,則()A. B. C. D.4.已知為圓的一條直徑,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為()A. B.C. D.5.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則A. B.C. D.6.設(shè)是虛數(shù)單位,,,則()A. B. C.1 D.27.已知集合,,,則集合()A. B. C. D.8.若為純虛數(shù),則z=()A. B.6i C. D.209.一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上,則球的表面積為()A. B. C. D.10.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}11.某個(gè)小區(qū)住戶共200戶,為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量,用分層抽樣的方法抽取了50戶進(jìn)行調(diào)查,得到本月的用水量(單位:m3)的頻率分布直方圖如圖所示,則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A.10 B.50 C.60 D.14012.已知集合(),若集合,且對(duì)任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正方體中,分別為棱的中點(diǎn),則直線與直線所成角的正切值為_________.14.為了了解一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位:毫米)情況,現(xiàn)抽取容量為400的樣本進(jìn)行檢測(cè),如圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間的一等品,在區(qū)間和的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為__________.15.(5分)某膳食營(yíng)養(yǎng)科研機(jī)構(gòu)為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對(duì)人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn),則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.在△ABC中,a=3,,B=2A,則cosA=_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為響應(yīng)“堅(jiān)定文化自信,建設(shè)文化強(qiáng)國(guó)”,提升全民文化修養(yǎng),引領(lǐng)學(xué)生“讀經(jīng)典用經(jīng)典”,某廣播電視臺(tái)計(jì)劃推出一檔“閱讀經(jīng)典”節(jié)目.工作人員在前期的數(shù)據(jù)采集中,在某高中學(xué)校隨機(jī)抽取了120名學(xué)生做調(diào)查,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示:樣本中男女比例為3:2,而男生中喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)和不喜歡的比例是7:5,女生中喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)和不喜歡的比例是5:3.(1)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系?男生女生總計(jì)喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)不喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)總計(jì)(2)為做好文化建設(shè)引領(lǐng),實(shí)驗(yàn)組把該校作為試點(diǎn),和該校的學(xué)生進(jìn)行中國(guó)古典文學(xué)閱讀交流.實(shí)驗(yàn)人員已經(jīng)從所調(diào)查的120人中篩選出4名男生和3名女生共7人作為代表,這7個(gè)代表中有2名男生代表和2名女生代表喜歡中國(guó)古典文學(xué).現(xiàn)從這7名代表中任選3名男生代表和2名女生代表參加座談會(huì),記為參加會(huì)議的人中喜歡古典文學(xué)的人數(shù),求5的分布列及數(shù)學(xué)期望附表及公式:.18.(12分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對(duì)稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實(shí)數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時(shí),求證:①;②.19.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.20.(12分)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足,證明:.21.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為.已知,.(1)若,求;(2)求的面積的最大值.22.(10分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對(duì),證明:恒為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線可解得.【詳解】因?yàn)殡p曲線分左右支,所以,根據(jù)雙曲線和正三角形的對(duì)稱性可知:第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,將其代入雙曲線方程得:,即,由得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
首先將轉(zhuǎn)化為,只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離,數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為,則,過作直線的垂線,垂足為B,顯然,又易得,所以,,故.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí),考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想,是一道中檔題.5、B【解析】
因?yàn)?,所以,故選B.6、C【解析】
由,可得,通過等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解:,,解得:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類問題,易錯(cuò)點(diǎn)是把當(dāng)成進(jìn)行運(yùn)算.7、D【解析】
根據(jù)集合的混合運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】,故可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及純虛數(shù)的概念,可得結(jié)果.【詳解】∵為純虛數(shù),∴且得,此時(shí)故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】
將正四面體補(bǔ)成正方體,通過正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系,求解即可.【詳解】解:如圖,將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體,正四面體的外接球與正方體的外接球相同,∵四面體所有棱長(zhǎng)都是4,∴正方體的棱長(zhǎng)為,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體外接球問題,解決本題的關(guān)鍵在于,巧妙構(gòu)造正方體,利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線,從而將問題巧妙轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.10、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛颍?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】從頻率分布直方圖可知,用水量超過15m3的住戶的頻率為,即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為,故選C12、C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因?yàn)?,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計(jì)算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點(diǎn),∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補(bǔ)角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.14、100.【解析】分析:根據(jù)頻率分布直方圖得到三等品的頻率,然后可求得樣本中三等品的件數(shù).詳解:由題意得,三等品的長(zhǎng)度在區(qū)間,和內(nèi),根據(jù)頻率分布直方圖可得三等品的頻率為,∴樣本中三等品的件數(shù)為.點(diǎn)睛:頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)為,因此每一個(gè)小矩形的面積表示樣本個(gè)體落在該區(qū)間內(nèi)的頻率,把小矩形的高視為頻率時(shí)常犯的錯(cuò)誤.15、【解析】
記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進(jìn)行抽樣試驗(yàn),其基本事件為,共15個(gè),選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個(gè),故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16、【解析】
由已知利用正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算求值得解.【詳解】解:∵a=3,,B=2A,∴由正弦定理可得:,∴cosA.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,二倍角的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析,沒有(2)見解析,【解析】
(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表,計(jì)算出的值,由此判斷出沒有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系.(2)先判斷出的所有可能取值,然后根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式,計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)男生女生總計(jì)喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)423072不喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)301848總計(jì)7248120所以,沒有的把握認(rèn)為喜歡閱讀中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)系.(2)設(shè)參加座談會(huì)的男生中喜歡中國(guó)古典文學(xué)的人數(shù)為,女生中喜歡古典文學(xué)的人數(shù)為,則.且;;.所以的分布列為則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于中檔題.18、(1)(2)①證明見解析②證明見解析【解析】
(1)首先根據(jù)直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的求法,求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程,解方程求得的值.(2)①構(gòu)造函數(shù),利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時(shí),,由此證得.②由①知成立,整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得,由此得到,即,化簡(jiǎn)后得到.【詳解】(1)由解得必過與的交點(diǎn).在上取點(diǎn),易得點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為,即為直線,所以的方程為,即,其斜率為.又因?yàn)?,所以,,由題意,解得.(2)因?yàn)椋?①令,則,則,且,,時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.因?yàn)椋?,因?yàn)?,所以存在,使時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減;時(shí),,單調(diào)遞增.又,所以時(shí),,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以時(shí),,單調(diào)遞增;時(shí),,單調(diào)遞減,所以,即,因?yàn)椋?,所以時(shí),,即時(shí),.【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)圖象的對(duì)稱性,利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí);考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運(yùn)算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識(shí).19、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中運(yùn)用正弦、余弦定理后可得.(2)由經(jīng)三角變換可得,然后運(yùn)用余弦定理可得,從而得到,故得.詳解:(1)由題意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由題意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴.∴面積的最大值為.點(diǎn)睛:(1)正、余弦定理經(jīng)常與三角形的面積綜合在一起考查,解題時(shí)要注意整體代換的應(yīng)用,如余弦定理中常用的變形,這樣自然地與三角形的面積公式結(jié)合在一起.(2)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),要注意等號(hào)成立的條件,在解題中必須要注明.20、見解析【解析】
已知條件,需要證明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,發(fā)現(xiàn),則可以用柯西不等式.【詳解】,.由柯西不等式得,...【點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2)4【解析】
(1)根據(jù)已知用二倍角余弦求出,進(jìn)而求出,利用正弦定理,即可求解;(2)由邊角,利用余弦定理結(jié)合基本不等式,求出的最大值,即可求出結(jié)
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