九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）圓周角與圓心角的系

圓周角與圓心角的系第一課時(shí)

在射門游戲中，球員射中球門的難易與他的位置B對(duì)球門AC的張角（∠ABC）的關(guān)。

觀察圖中的∠ABC，可以發(fā)現(xiàn)，它的頂點(diǎn)在圓上，它的兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)。像這樣的角，叫做圓周角（angleincicularsegment）。

在圖中，當(dāng)球員在B，D，E處射門時(shí)，他所處的位置對(duì)球門AC分別形成三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC。這三個(gè)角的大小有什么關(guān)系？在同圓或圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等。那么，在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角有什么關(guān)系？為了解決這個(gè)問題，我們先研究一條弧所對(duì)的圓周角與它所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系。議一議在⊙O中，O為圓心。觀察圓周角∠ABC與圓心角∠AOC，它們的大小有什么關(guān)系？說說你的想法。并與同伴交流。

小亮首先考慮了一種特殊情況，即∠ABC的一邊BC經(jīng)過圓心O?！摺螦OC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO∵∠ABO=∠BAO∴∠AOC=2∠ABO

如果∠ABC的兩邊都不經(jīng)過圓心，那么結(jié)果會(huì)怎樣？你能將兩情況分別轉(zhuǎn)化成上圖的情況去解決嗎？已知：在⊙O中，BC所對(duì)的圓周角是∠BAC，所對(duì)的圓心角是∠BOC。求證：

∠BAC=∠BOC

1234BACOOABCBACO定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。重要定理隨堂練習(xí)如圖，在⊙O中，∠BOC=50°，求∠BAC的大小OABC例

OA、OB、OC是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC

求證：∠ACB=2∠BAC應(yīng)用舉例1.一條弦分圓成2：7兩部分，這條弦所對(duì)的圓心角為

，所對(duì)的圓周角為

。2.點(diǎn)O為△ABC的外心，如果∠A=80°，則∠BOC=

；如果∠A=100°則∠BOC=

。80°40°或140°160°200°4.已知AB=AC，D是AC的中點(diǎn)，∠ACD=38°則∠BCD=

；∠BAC=

。⌒⌒5.AC=100°，BD=60°，則∠APC=

?！?0°76°28°3.如圖，已知∠ABC=130°，則∠AOC=

。100°7.如圖，∠A=52°，點(diǎn)O是AB、AC垂直平分線的交點(diǎn)，則∠OCB=

。38°6.AC=100°，BD=60°，則∠APC=

?！小?0°小結(jié)

1、圓周角有兩個(gè)特征：（1）角的頂點(diǎn)在圓上；（2）角的兩邊都與圓相交，兩者缺一不可。

2、圓周角定理直接指出了一條弧所對(duì)的圓周角與所對(duì)的圓心角之間的關(guān)系，是同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角度數(shù)互化的根據(jù)。

3、圓周角定理的證明，是把所有的情況一加一證明，再進(jìn)行概括得出的。第二課時(shí)復(fù)習(xí)1.圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半圓周角的度數(shù)、圓心角的度數(shù)、它們所對(duì)弧的度數(shù)的關(guān)系?（1）觀察圖中，∠ABC，∠ADC和∠AEC有什么共同特征？它們的大小有什么關(guān)系？為什么？在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。在圖中，BC是⊙O的直徑，它所對(duì)的圓周角是銳角、直角、還是鈍角？你是如何判斷的？直徑所對(duì)的圓周角是直角。在圖中，圓周角∠BAC=90°，弦BC經(jīng)過圓心O嗎？為什么？90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論1

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。圓周角定理的推論問題1

圖中有多少對(duì)相等的角？問題2

已知∠P=36°，∠1=80°則∠2=

。58°圓周角定理的推論推論2

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直

角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑?！逜B是直徑∴∠ACB=90°∵∠ACB=90°∴AB是直徑圓周角定理的推論問題3.AB是⊙O的直徑，AB=，AC=，則AC的度數(shù)=

度⌒120圓周角定理的推論如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。你能說明它成立的理由嗎？圓周角定理的推論∵AD是中線，且AD=BC∴∠BAC=90°圓周角定理的推論

例、如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB。BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？解：BD=CD。理由是：如圖，連接AD?！逜B是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，又∵AC=AB∴BD=CD做一做

船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會(huì)遇到暗礁。如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個(gè)危險(xiǎn)臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，就有可能觸礁。（1）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？（2）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？練習(xí)

1、為什么有些電影院的坐位排列（橫排）呈圓弧形？說一說這種設(shè)計(jì)的合理性。2、如圖，⊙O的直徑AB=10cm，C為⊙O上的一點(diǎn)，∠ABC=30°，求AC的長。例、AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圓的直徑。求證：AB·AC=AE·AD

例、AB、CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于E，M是AC的中點(diǎn)，ME的延長線交