七下實數(shù)輔導(dǎo)講義(一)

第六章實數(shù)輔導(dǎo)講義【知識要點】1、平方根（1）定義：一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。即：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“”（a稱為被開方數(shù)）。（2）平方根的性質(zhì)：①一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)；

②0只有一個平方根，它就是0本身；

③負數(shù)沒有平方根.（3）開平方:求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.（4）算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。（5）本身為非負數(shù)，即≥0；有意義的條件是a≥0。（6）公式：()2=a（a≥0）；2、立方根（1）定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。數(shù)a的立方根用符號“”表示，讀作“三次根號a”。（2）立方根的性質(zhì)：正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)有一個負的立方根。（3）開立方：求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方。求一個數(shù)的立方根可以通過立方運算來求.3、平方根與立方根的區(qū)別：只有正數(shù)和0有平方根，負數(shù)沒有平方根，正數(shù)的平方根有2個，并且互為相反數(shù)，0的平方根只有一個且為0.一個數(shù)只有一個立方根，并且符號與這個數(shù)一致；4、.識記常用平方表：（自行完成）5、實數(shù)的分類（1）按實數(shù)的定義分類：（2）按實數(shù)的正負分類：（3）實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示；反之，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)，即數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系．（4）、絕對值①一個正數(shù)的絕對值是它本身，②一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，③零的絕對值是零。一個數(shù)的絕對值表示這個數(shù)的點離開原點的距離。注意：題型規(guī)律總結(jié)：1、平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是0和1；立方根是其本身的數(shù)是0和±1。2、每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術(shù)平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。3、本身為非負數(shù)，有非負性，即≥0；有意義的條件是a≥0。4、公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何數(shù)）。5、區(qū)分()2=a（a≥0），與=6.非負數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個非負數(shù)之和等于0，則每一個非負數(shù)都為0（此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。7.一般來說，被開方數(shù)擴大（或縮?。┍?，算術(shù)平方根擴大（或縮?。┍?，例如8、.識記常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=9.易混淆的三個數(shù)（自行分析它們）：（1）（2）（3）10、識記下列各式的值，結(jié)果保留4個有效數(shù)字：EQ\r(,2)≈___________EQ\r(,3)≈___________EQ\r(,5)≈___________EQ\r(,6)≈___________EQ\r(,7)≈___________【典型例題】題型一、平方根定義的運用例1、一個正數(shù)的平方根為和，求這個數(shù)？變式1、已知和是m的平方根，求m的值？變式2、已知某個數(shù)的平方根分別為和，求a和這個數(shù)？（練習(xí)1）若一正數(shù)的平方根是與，求這個正數(shù)．（練習(xí)2）已知的負的平方根是，的立方根是，求的平方根.（練習(xí)3）一個數(shù)的平方根是和，求這個數(shù)．例2、（1）下列各數(shù)是否有平方根，請說明理由①（-3）2②02③-0.012（2）下列說法對不對？為什么？①4有一個平方根②只有正數(shù)有平方根③任何數(shù)都有平方根④若a＞0，a有兩個平方根，它們互為相反數(shù)例3、求下列各數(shù)的平方根：9(2)(3)0.36(4)變式3、.下列語句中，正確的是（）A．一個實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)B．負數(shù)沒有立方根C．一個實數(shù)的立方根不是正數(shù)就是負數(shù)D．立方根是這個數(shù)本身的數(shù)共有三個變式4.下列說法正確的是（）A．-2是（-2）2的算術(shù)平方根B．3是-9的算術(shù)平方根C．16的平方根是±4D．27的立方根是±3（練習(xí)）判斷下列各題，并說明理由⑴的平方根是． ()⑵一定是正數(shù)． ()⑶的算術(shù)平方根是． ()⑷若，則. ()⑸. ()⑹是的平方根． ()⑺的平方根是． ()⑻若，則. ()⑼若兩個數(shù)平方后相等，則這兩個數(shù)也一定相等． ()⑽如果兩個非負數(shù)相等，那么這兩個數(shù)各自的算術(shù)平方根也一定相等． ()⑾算術(shù)平方根一定是正數(shù)． ()⑿沒有算術(shù)平方根． ()⒀的立方根是． ()⒁是的立方根． ()⒂． ()⒃互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)． ()⒄正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的偶數(shù)次方根，任何數(shù)都有唯一的奇數(shù)次方根． ()題型三、化簡求值例1、已知，化簡：變式1、若例2已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡變式2、實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡:= 變式3如圖所示,數(shù)軸上A、B兩點分別表示實數(shù)1，，點B關(guān)于點A的對稱點為C，則點C所表示的實數(shù)為（）A.－2B.2－C.－3D.3－例3、當(dāng)a<0時，化簡的結(jié)果是()A0B-1C1D?例4、化簡下列各式：

(1)|-1.4|(2)|π-3.142|(3)|-|

【變式1】化簡：（練習(xí)）+題型四、利用非負數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式三種常見的非負數(shù)：注意：(1)任何非負數(shù)的和仍是非負數(shù)；(2)若幾個非負數(shù)的和是0，那么這幾個非負數(shù)均為0.例1、已知實數(shù)x，y滿足+(y+1)2=0，則x-y等于【變式1】已知、b是有理數(shù)，且滿足（－2）2+=0，則b的值為【變式2】已知那么a+b-c的值為___________【變式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z3的值。（練習(xí)1）已知+(x-2)2=0,則xy=（）A、0B、6C、D、練習(xí)1）若和互為相反數(shù)，則的立方根為（）A、-2B、4C、2D、-4練習(xí)1）若和互為相反數(shù)，則等于（）A、-2B、C、2D、求被開方數(shù)中的未知數(shù)的值例2若y=++2017，則x+y=變式1、若，則x－y的值為（）A．－1B．1C．2D．3變式2、若x、y都是實數(shù)，且y=，求xy的值變式3、已知,求的值？變式4、已知為實數(shù)，且滿足，求的值.（練習(xí)1）已知：，求的平方根.（練習(xí)2）已知為實數(shù)，，求.（練習(xí)3）已知實數(shù)滿足，求的值。（練習(xí)4）已知實數(shù)與非零實數(shù)滿足等式：.求.（練習(xí)5）在實數(shù)范圍成立，那么的值是多少？（練習(xí)6）若適合關(guān)系式，試確定的值.題型五、解方程(2)(3)(4)(5)(6)題型六、整數(shù)部分和小數(shù)部分的探討例1、已知x是EQ\r(,10)的整數(shù)部分，y是EQ\r(,10)的小數(shù)部分，求的平方根。變式1設(shè)m是的小數(shù)部分，n為的小數(shù)部分，求的值？（練習(xí)1）若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，則=；（練習(xí)2）若；題型六關(guān)于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）解（1）因為，所以±=±9.例2（1）64的立方根是

（2）下列說法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。正確的有（）A、1個B、2個C、3個D、4個（練習(xí)1）已知，，求的值(為正整數(shù)).（練習(xí)2）已知是n－m＋3的算術(shù)平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根．題型八、探索找規(guī)律1（鹽城市）現(xiàn)規(guī)定一種新的運算“※”：a※b=ab，如3※2=32=9，則※3＝（）2(資陽市)若“！”是一種數(shù)學(xué)運算符號，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4?。?×3×2×1，…，則的值為()A． B．99! C．9900 D．2！3．如果有理數(shù)a,b滿足∣ab－2∣+∣1－b∣=0，試求+…+的值．4.觀察思考下列計算過程：∵11=121，∴=11；同樣：∵111=12321，∴=111；…由此猜想：=5.已知，。直接寫出下列各式的值：(1)_______(2)________(3)______(4)______6、.觀察：猜想等于什么，并通過計算驗證你的猜想；那么=___________;題型八實數(shù)比較大小的方法1、方法一：差值比較法差值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個實數(shù)，先求出a與b的差，再根據(jù)當(dāng)a-b﹥0時，得到a﹥b。當(dāng)a-b﹤0時，得到a﹤b。當(dāng)a-b＝0，得到a=b。例1、比較1-與1-的大小。3、方法二：商值比較法商值比較法的基本思路是設(shè)a，b為任意兩個正實數(shù)，先求出a與b得商。當(dāng)＜1時，a＜b；當(dāng)＞1時，a＞b；當(dāng)=1時，a=b。來比較a與b的大小。例2、比較與的大小。4、方法三：平方法平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a＞0，b＞0時，可由＞得到a＞b來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例3、比較2與3的大小5、方法四：估算法估算法的基本是思路是設(shè)a，b為任意兩個正實數(shù)，先估算出a，b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進行比較。例4、比較與的大小。（練1）估計的大小應(yīng)在（）.（A）7—8之間（B）8.0—8.5之間（C）8.5—9.0之間（D）9—10之間（練2）天安門廣場的面積約為44萬平方米，請你估計一下，它的百萬之一大約相當(dāng)（）A、教室地面的面積 B、黑板面的面積C、課桌面的面積D、鉛筆盒面的面積（練3）實數(shù)和的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．（練4）將，，用不等號連接起來為（）A.<<B.<<C.<< D.<<（練5）已知：A.B.C.D.實數(shù)有關(guān)的綜合問題（材料閱讀問題）1、我們知道：任意一個有理數(shù)與無理數(shù)的和為無理數(shù)，任意一個不為零的有理數(shù)與一個無理數(shù)的積為無理數(shù)，而零與無理數(shù)的積為零．由此：如果ax+b=0，其中a、b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，那么a=0且b=0．運用上述知識，解決下列問題：如果，其中a、b為有理數(shù)，那么a=，b=；（2）如果，其中a、b為有理數(shù)，求a+2b的值．2、在沒有帶開方功能的計算器的情況下，我們可以用下面的方法得到（n為正整數(shù)）的近似值（k為正整數(shù)），并通過迭代逐步減小的值來提高的精確度。以求的近似值為例，迭代過程如下：（1）先估計的范圍并確定迭代的初始值a1：取。（2）通過計算和得到精確度更高的近似值：（說明：，此題中記，以下結(jié)果都要求寫成小數(shù)形式。）k=1時，=____________，________，______；k=2時，________________（精確到0.001），____－___=____，_______________；單元綜合演練（A）一、選擇題1.、在3.12578，-，，，5.27，中，無理數(shù)的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．42、16的算術(shù)平方根是（）AB2CD43、36的平方根是()(A)6(B)(C)(D)4、下列說法正確的是（）A．的立方根是±B．-25的立方根不存在C．2的平方根是D．-25的平方根不存在5、下列各式中，無意義的是()A．B．C．D．6、若有意義，則是一個（）。Ａ．正實數(shù)Ｂ．負實數(shù)Ｃ．非正實數(shù)Ｄ．非負實數(shù)7、估計的大小應(yīng)在（）.（A）7—8之間（B）8.0—8.5之間（C）8.5—9.0之間（D）9—10之間8、的平方根是（）A、B、C、D、9、下列各式正確的是（） A、EQ\r(,16)＝±4 B、EQ\r(3,64)＝4 C、EQ\r(,－9)＝－3 D、EQ\r(,16\f(1,9))＝EQ4\f(1,3)10、下列結(jié)論正確的是（）A、B、C、D、11、下列運算中，錯誤的是（）①，②，③④A．1個B.2個C.3個D.4個12、下列說法中錯誤的是（）A.負數(shù)沒有立方根B.1的立方根是1C.平方根是D.零的立方根是零13、下列命題中,正確的個數(shù)有()①1的算術(shù)平方根是1;②(-1)2的算術(shù)平方根是-1;③一個數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身,這個數(shù)只能是零；④-4沒有算術(shù)平方根.A.1個B.2個C.3個D.4個14、一個數(shù)的平方根和它的立方根相等，則這個數(shù)是（） A、1 B、0 C、1或0 D、1或0或－115、兩個連續(xù)自然數(shù)，前一個數(shù)的算術(shù)平方根是x，則后一個數(shù)的算術(shù)平方根是（） A、x＋1 B、xEQ\s\up6(2)＋1 C、EQ\r(,x＋1) D、EQ\r(,xEQ\s\up6(2)＋1)16、下列說法正確的是（）A.無限小數(shù)是無理數(shù)B.不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)C.無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)D.兩個無理數(shù)的和還是無理數(shù)17、下列說法正確的是()．A．一個數(shù)的立方根一定比這個數(shù)小B.一個數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)C.一個正數(shù)的立方根有兩個D.一個負數(shù)的立方根只有一個，且為負數(shù)18、下列說法正確的有（）①無理數(shù)包括正無理數(shù)，0和負無理數(shù)；②無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；③數(shù)軸上的點表示無理數(shù)；④實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系．A．1個B．2個C．3個D．4個二、填空題19、的相反數(shù)是；絕對值是；20、比較大?。害?.14，EQ－\r(,2)－1.5；21、在EQ\r(,5)與EQ\r(,26)之間，整數(shù)個數(shù)是個；22、在數(shù)軸上一個點到原點距離為EQ2\r(,2)，則這個數(shù)為；23、EQ\r(,7)表示的算術(shù)平方根；EQ\f(1,27)的立方根為；24、的算術(shù)平方根是，的立方根是；25、的算術(shù)平方根為______；的平方根是________，26、如果EQ\r(,x)的平方根是±4，那么x＝，EQ\r(3,64)的平方根是；27、已知+(x-2)2=0,則xy=___________28、若，，則的值為________；29、若，則x=．若，則x=30、在兩個連續(xù)整數(shù)和之間，，那么ab的的平方根是.31、一個正數(shù)的兩個平方根是，則．32、若x-2的平方根為±2，3x+y+1的立方根為3，則x2+y2平方根為_________.解答題計算：（1）（4）解方程（1）（2）35、若和互為相反數(shù)，求的立方根值.36、已知是n－m＋3的算術(shù)平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根．單元綜合演練（B）一、填空題1、（-0.7）2的平方根是2、若=25,=3,則a+b=3、已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a﹣2和a﹣4，則a的值是4、＝____________5、若m、n互為相反數(shù)，則＝_________6、若，則a______07、若有意義，則x的取值范圍是8、16的平方根是±4”用數(shù)學(xué)式子表示為9、大于-EQ\R(\S\DO(),2)，小于EQ\R(\S\DO(),10)的整數(shù)有______個。10、一個正數(shù)x的兩個平方根分別是a+2和a-4，則a=_____，x=_____。11、當(dāng)時，有意義。12、當(dāng)時，有意義。13、當(dāng)時，有意義。14、當(dāng)時，式子有意義。15、若有意義，則能取的最小整數(shù)為二、選擇題1．9的算術(shù)平方根是（）A．-3B．3C．±3D．812．下列計算正確的是（）A．=±2B．=9C.D.3．下列說法中正確的是（）A．9的平方根是3