高考數(shù)學經(jīng)典二級結(jié)論解讀與應用訓練：專題12 圓錐曲線的中點弦問題（解析版）

結(jié)論十二：圓錐曲線的中點弦問題結(jié)論1.在橢圓E:x2a2(1)如圖①所示,若直線y=kx(k≠0)與橢圓E交于A,B兩點,過A,B兩點作橢圓的切線l,l',有l(wèi)∥l',設其斜率為k0,則k0·k=-b2(2)如圖②所示,若直線y=kx與橢圓E交于A,B兩點,P為橢圓上異于A,B的點,若直線PA,PB的斜率存在,且分別為k1,k2,則k1·k2=-b2(3)如圖③所示,若直線y=kx+m(k≠0且m≠0)與橢圓E交于A,B兩點,P為弦AB的中點,設直線PO的斜率為k0,則k0·k=-b22.在雙曲線E:x2a2(1)k0·k=b2a2.(2)k1·k2=b2a解讀這些結(jié)論中的第（1）（3）個可以利用“點差法”來完成：①設出弦的兩端點的坐標；②代入圓錐曲線方程；③兩式相減，在用平方差公式展開；④整理、轉(zhuǎn)化為弦所在直線的斜率與弦中點和原點連線的斜率的關(guān)系，然后求解．典例已知雙曲線，斜率為的直線交雙曲線于、，為坐標原點，為的中點，若的斜率為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解析【答案】A【詳解】設點、，則，由題意，得，，兩式相減，得，整理得，所以，因此，雙曲線的離心率為反思本題先設點、，利用點差法求得，進而可得出雙曲線的離心率為，即可得解.主要考查了雙曲線的標準方程，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.針對訓練*舉一反三1．已知拋物線，過其焦點且斜率為的直交拋物線于?兩點，若線段的中點的橫坐標為，則該拋物線的準線方程為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】拋物線的標準方程是，焦點坐標是，則直線的方程是，與拋物線方程聯(lián)立得，，因為線段的中點的橫坐標為2，所以，得，所以該拋物線方程，則準線方程.2．已知橢圓，點為右焦點，為上頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點且線段的中點為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設，直線的斜率為，則，所以，由線段的中點為，所以所以，又，所以，又，所以，∴.3．已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，點，在雙曲線上，且點為線段的中點，，雙曲線的離心率為，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解法一：由題意知，，則.設，，則兩式相減，得.因為線段的中點為，所以，，又，所以，整理得，所以，即，得.解法二：由題意知，，則.設直線的方程為，即，代人雙曲線方程，得.設，，則，所以，又，所以，整理得，所以，即，得，則4．已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設，則，，則，兩式相減得：，∴===，又==，∴，聯(lián)立，得.∴橢圓方程為.5．設橢圓的方程為1，直線AB不經(jīng)過原點，而且與橢圓相交于A，B兩點，M為AB的中點．若直線AB的斜率為1，則直線OM的斜率不可能是（）A． B． C． D．﹣1【答案】D【解析】設,則,又,即.故.即又,故,因為,故.6．已知直線與圓交于、兩點，線段的中點，則.試用類比思想，對橢圓寫出結(jié)論：______.【答案】若橢圓與直線交于、兩點，是線段中點，則【解析】由類比思想，可知橢圓與直線交于、兩點，是線段中點.設點，，，中點則，即，將，兩點代入橢圓中，，上下兩式相減得，即，所以即8．已知為拋物線的一條長度為8的弦，當弦的中點離軸最近時，直線的斜率為___________.【答案】【詳解】由題意得拋物線的準線方程為：，過作于，過作于，設弦的中點為，過作于，則，設拋物線的焦點為，則，即(當且僅當，，三點共線時等號成立)，所以，解得，即弦的中點到軸的最短距離為：，所以點的縱坐標為，，，，，，∴所以直線的斜率，∴，此時，當弦的中點離軸最近時，直線的斜率為，9．已知雙曲線的右焦點為，虛軸的上端點為，點，為上兩點，點為弦的中點，且，記雙曲線的離心率為，則______．【答案】【詳解】解法一由題意知，，則．設，，則兩式相減，得．因為的中點為，所以，，又，所以，整理得，所以，得，得．解法二由題意知，，則．設直線的方程為，即，代入