高考數(shù)學(xué)二級(jí)結(jié)論快速解題：專題14 圓錐曲線的切線問題（解析版）

專題14圓錐曲線的切線問題一、結(jié)論圓錐曲線的切線問題常用方法有幾何法，代數(shù)法：比如求圓的切線，常用圓心到直線的距離等于半徑來解決切線問題，也可以聯(lián)立直線與圓的方程根據(jù)來求解；比如涉及到橢圓的切線問題，也常常聯(lián)立直線與橢圓的方程根據(jù)來求解；對(duì)于拋物線的切線問題，可以聯(lián)立，有時(shí)也可以通過求導(dǎo)來求解.而對(duì)于這些圓錐曲線也常常存在一些特殊的求切線公式：1.過圓:上一點(diǎn)的切線方程為.2.過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為.3.已知點(diǎn),拋物線:和直線:.(1)當(dāng)點(diǎn)在拋物線上時(shí),直線與拋物線相切,其中為切點(diǎn),為切線.(2)當(dāng)點(diǎn)在拋物線外時(shí),直線與拋物線相交,其中兩交點(diǎn)與點(diǎn)的連線分別是拋物線的切線,即直線為切點(diǎn)弦所在的直線.(3)當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)時(shí),直線與拋物線相離.二、典型例題1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓的方程為，則橢圓在其上一點(diǎn)處的切線方程為，試運(yùn)用該性質(zhì)解決以下問題；橢圓，點(diǎn)B為在第一象限中的任意一點(diǎn)，過B作的切線l，l分別與x軸和y軸的正半軸交于兩點(diǎn)，則面積的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【詳解】設(shè)，由題意得，過點(diǎn)B的切線l的方程為：，令，可得，令，可得，所以面積，又點(diǎn)B在橢圓上，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以面積的最小值為.故選：C【反思】過橢圓上一點(diǎn)作切線，切線方程為：，該結(jié)論可以在小題中直接使用，但是在解答題中，需先證后用，所以在解答題中不建議直接使用該公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知過圓錐曲線上一點(diǎn)的切線方程為.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】過橢圓上的點(diǎn)的切線的方程為，即，切線的斜率為.與直線垂直的直線的斜率為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：B【反思】根據(jù)題中信息，直接代入公式，但是在代入切線方程為注意不要帶錯(cuò)，通過對(duì)比本題信息，，，，，將這些數(shù)字代入公式，可求出切線，再利用直線垂直的性質(zhì)求解.3．（2022·江蘇南通·一模）過點(diǎn)作圓的切線交坐標(biāo)軸于點(diǎn)、，則_________.【答案】【詳解】圓的圓心為，，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)在圓上，所以，，所以，直線的斜率為，故直線的方程為，即，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，所以，，，因此，.故答案為：.另解：過圓:上一點(diǎn)的切線方程為.可知，；，,代入計(jì)算得到過點(diǎn)作圓的切線為：，整理得：，直線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，所以，，，因此，.故答案為：.【反思】本題中提供了常規(guī)方法和使用二級(jí)結(jié)論的解法，特別提醒同學(xué)們，二級(jí)結(jié)論的公式代入數(shù)字時(shí)，最忌諱代入錯(cuò)誤，所以需要特別仔細(xì)。4．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））過點(diǎn)作拋物線的切線，切線在軸上的截距為___．【答案】1【詳解】設(shè)切線斜率為，則切線方程，聯(lián)立方程可得，則，解得，即切線方程為，取，得．∴切線在軸上的截距為1．故答案為：1．另解：點(diǎn)在拋物線上，直接使用二級(jí)結(jié)論公式：已知點(diǎn)在拋物線:上，切線方程:，，，，代入得：，取，得．【反思】本例中，提供了傳統(tǒng)方法和二級(jí)結(jié)論的方法，拋物線的切線可以通過聯(lián)立，有時(shí)求導(dǎo)也能解決，當(dāng)切點(diǎn)在拋物線上時(shí)也可以直接使用本節(jié)二級(jí)結(jié)論，但是同學(xué)們使用公式前注意判斷是否適用.5．（2022·江蘇徐州·高二期末）已知圓.(1)過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程；【答案】(1)；【解析】(1)圓，圓心，半徑，又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓方程，故可得點(diǎn)在圓上，則切線斜率滿足，又，故滿足題意的切線斜率，則過點(diǎn)的切線方程為，即.【反思】本題求圓的切線問題，作為解答題，不推薦使用二級(jí)結(jié)論的公式，建議同學(xué)們使用傳統(tǒng)的方法.三、針對(duì)訓(xùn)練舉一反三1．（2021·遼寧·遼河油田第二高級(jí)中學(xué)高二期中）過圓上一點(diǎn)作圓的切線，則直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意點(diǎn)為切點(diǎn)，所以，又，所以，因此直線l的方程為．故選：D2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．(1，＋∞) D．(1，3]【答案】A【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線y＝的圖象為以(0，0)為圓心，2為半徑的半圓，直線l恒過A(2，4)，由圖當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，即＝2，解得k＝；當(dāng)直線l過B點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率k＝，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：A.3．（2021·浙江·臺(tái)州一中高三期中）過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)M在圓上，而，則切線斜率為，所以切線方程為：即故選：A4．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，，切點(diǎn)分別為，，則的值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【詳解】解：由已知可得，設(shè)，則切線，的方程分別為，，因?yàn)榍芯€，過點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在直線上，所以三點(diǎn)共線，所以，故選：D5．（2020·江西吉安·高二期末（理））過圓上一定點(diǎn)的圓的切線方程為.此結(jié)論可推廣到圓錐曲線上.過橢圓上的點(diǎn)作橢圓的切線.則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】過橢圓上的點(diǎn)的切線的方程為，即，切線的斜率為，與直線垂直的直線的斜率為，過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，即.故選：6．（2021·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線:的最大距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直線與橢圓相切，由得，∴，，切線方程為和，與距離較規(guī)遠(yuǎn)的是，∴所求最大距離為．故選：A.7．（2021·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線上一點(diǎn)作雙曲線的切線，若直線與直線的斜率均存在，且斜率之積為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，由于雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故切線的斜率；因?yàn)?，則，則，即雙曲線的離心率，故選：C．8．（2020·全國·高三專題練習(xí)）若直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，那么的取值范圍是A．（） B．（） C．（） D．（）【答案】D【詳解】由直線與曲線相切得由圖知,的取值范圍是（），選D.9．（2022·山西臨汾·一模（理））過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.若為的重心，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，設(shè)，又拋物線，所以，所以所以切線的方程為，即；同理切線的方程；聯(lián)立，的方程，，解得又，所以，所以，又為的重心，所以的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.10．（2022·甘肅·金昌市教育科學(xué)研究所高三階段練習(xí)（理））傾斜角為135°的直線與拋物線相切，分別與軸、軸交于、兩點(diǎn)，過，兩點(diǎn)的最小圓截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】B【詳解】由題可設(shè)直線的方程，由，得，∴，解得，∴，令，得，令，得，即，∴過，兩點(diǎn)的最小圓即以為直徑的圓，其圓心為，半徑為，方程為，又拋物線的準(zhǔn)線為，∴過，兩點(diǎn)的最小圓截拋物線的準(zhǔn)線所得的弦長為.故選：B.11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)拋物線，為直線上任意一點(diǎn)，過引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，，，，的橫坐標(biāo)分別為，，則（

）A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】A【詳解】由得，得，所以直線的方程為，直線的方程為，所以，①，②由①、②得．故選：A12．（2021·河南·高三階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，P為C上一點(diǎn)，點(diǎn)