二次函數(shù)各種類型專題復(fù)習(xí)(有答案)

二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)二次函數(shù)與最值問題（面積最值、線段最值、周長最值）1.（2011安順）如圖，拋物線y=x2+bx－2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（一1，0）．⑴求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；⑵判斷△ABC的形狀，證明你的結(jié)論；⑶點M(m，0)是x軸上的一個動點，當(dāng)CM+DM的值最小時，求m的值．解：（1）b=解析式y(tǒng)=x2-x-2.頂點D(,-).（2）當(dāng)x=0時y=-2,∴C（0，-2），OC=2?！郆(4,0)∴OA=1,OB=4,AB=5.△ABC是直角三角形.（3）作出點C關(guān)于x軸的對稱點C′，則C′（0，2），OC=2，連接CD交x軸于點M，根據(jù)軸對稱性及兩點之間線段最短可知，MC+MD的值最小。解法一：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點E.∵ED∥y軸,∴∠OCM=∠EDM,∠COM=∠DEM∴△COM∽△DEM.∴∴，∴m=．解法二：設(shè)直線CD的解析式為y=kx+n,則，解得n=2,.∴.∴當(dāng)y=0時，，.∴.2、（09江津）如圖，拋物線與x軸交與A(1,0),B(-3，0)兩點，（1）求該拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最?。咳舸嬖?，求出Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）在（1）中的拋物線上的第二象限上是否存在一點P，使△PBC的面積最大？，若存在，求出點P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值.若沒有，請說明理由.解：(1)將A(1，0)，B(－3，0)代中得∴∴拋物線解析式為：(2)存在理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱∴直線BC與的交點即為Q點，此時△AQC周長最小∵∴C的坐標(biāo)為：(0，3)直線BC解析式為：Q點坐標(biāo)即為的解 ∴∴Q(－1，2)（3）答：存在 理由如下：設(shè)P點 ∵若有最大值，則就最大，∴ ＝＝ 當(dāng)時，最大值＝ ∴最大＝ 當(dāng)時， ∴點P坐標(biāo)為3、（2010常德）如圖，已知拋物線與軸交于A(－4,0)和B(1,0)兩點，與軸交于C點．（1）求此拋物線的解析式；（2）設(shè)E是線段AB上的動點，作EF//AC交BC于F，連接CE，當(dāng)△CEF的面積是△BEF面積的2倍時，求E點的坐標(biāo);（3）若P為拋物線上A、C兩點間的一個動點，過P作軸的平行線，交AC于Q，當(dāng)P點運動到什么位置時，線段PQ的值最大，并求此時P點的坐標(biāo)．解：（1）故所求二次函數(shù)的解析式為． （2）∵S△CEF=2S△BEF,∴ ∵EF//AC,∴,△BEF～△BAC, ∴得 E點的坐標(biāo)為(,0). （3）的解析式為．若設(shè)點的坐標(biāo)為，又點是過點所作軸的平行線與直線的交點，則點的坐標(biāo)為（．則有：＝＝即當(dāng)時，線段取大值，此時點的坐標(biāo)為（－2，－3）二次函數(shù)與等腰三角形、直角三角形4.（2011湘潭）如圖，直線交軸于A點，交軸于B點，過A、B兩點的拋物線交軸于另一點C（3,0）.⑴求拋物線的解析式;⑵在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解：（1）∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3．（2）∵y=-x2+2x+3=，∴該拋物線的對稱軸為x=1．設(shè)Q點坐標(biāo)為（1，m），則，又.當(dāng)AB=AQ時，，解得：，∴Q點坐標(biāo)為（1，）或（1，）；當(dāng)AB=BQ時，，解得：，∴Q點坐標(biāo)為（1，0）或（1，6）；當(dāng)AQ=BQ時，，解得：，∴Q點坐標(biāo)為（1，1）．∴拋物線的對稱軸上是存在著點Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．5、如圖①，已知拋物線（a≠0）與軸交于點A(1，0)和點B(－3，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點P，使△CMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(3)如圖②，若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE、CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求此時E點的坐標(biāo)．6、（2014?蘭州）如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）點E時線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當(dāng)點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標(biāo)．考點：二次函數(shù)綜合題分析：（1）由待定系數(shù)法建立二元一次方程組求出求出m、n的值即可；（2）由（1）的解析式求出頂點坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于P1，以點D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點P2，P3，作CE垂直于對稱軸與點E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；（3）先求出BC的解析式，設(shè)出E點的坐標(biāo)為（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+mx+n經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴拋物線的對稱軸是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x軸于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）當(dāng)y=0時，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得：，∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2．如圖2，過點C作CM⊥EF于M，設(shè)E（a，﹣a+2），F(xiàn)（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2時，S四邊形CDBF的面積最大=，∴E（2，1）．7、（2014綿陽）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象過點M（﹣2，），頂點坐標(biāo)為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為拋物線對稱軸上的動點，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；（3）在直線AC上是否存在一點Q，使△QBM的周長最??？若存在，求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．分析： （1）先由拋物線的頂點坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y＝a（x＋1）2＋，再將M（﹣2，）代入，得＝a（﹣2＋1）2＋，解方程求出a的值即可得到拋物線的解析式；（2）先求出拋物線y＝﹣x2﹣x＋與x軸交點A、B，與y軸交點C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理得到BC＝＝2．設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以當(dāng)△PBC為等腰三角形時分兩種情況進行討論：①CP＝CB；②BP＝BC；（3）先由勾股定理的逆定理得出BC⊥AC，連結(jié)BC并延長至B′，使B′C＝BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點Q，由軸對稱的性質(zhì)可知此時△QBM的周長最小，由B（﹣3，0），C（0，），根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出B′（3，2），再運用待定系數(shù)法求出直線MB′的解析式為y＝x＋，直線AC的解析式為y＝﹣x＋，然后解方程組，即可求出Q點的坐標(biāo)．解答： 解：（1）由拋物線頂點坐標(biāo)為N（﹣1，），可設(shè)其解析式為y＝a（x＋1）2＋，將M（﹣2，）代入，得＝a（﹣2＋1）2＋，解得a＝﹣，故所求拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x＋；（2）∵y＝﹣x2﹣x＋，∴x＝0時，y＝，∴C（0，）．y＝0時，﹣x2﹣x＋＝0，解得x＝1或x＝﹣3，∴A（1，0），B（﹣3，0），∴BC＝＝2．設(shè)P（﹣1，m），顯然PB≠PC，所以當(dāng)CP＝CB時，有CP＝＝2，解得m＝±；當(dāng)BP＝BC時，有BP＝＝2，解得m＝±2．綜上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為（﹣1，＋），（﹣1，﹣），（﹣1，2），（﹣1，﹣2）；（3）由（2）知BC＝2，AC＝2，AB＝4，所以BC2＋AC2＝AB2，即BC⊥AC．連結(jié)BC并延長至B′，使B′C＝BC，連結(jié)B′M，交直線AC于點Q，∵B、B′關(guān)于直線AC對稱，∴QB＝QB′，∴QB＋QM＝QB′＋QM＝MB′，又BM＝2，所以此時△QBM的周長最?。葿（﹣3，0），C（0，），易得B′（3，2）．設(shè)直線MB′的解析式為y＝kx＋n，將M（﹣2，），B′（3，2）代入，得，解得，即直線MB′的解析式為y＝x＋．同理可求得直線AC的解析式為y＝﹣x＋．由，解得，即Q（﹣，）．所以在直線AC上存在一點Q（﹣，），使△QBM的周長最?。?、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求過O、B、A三點的拋物線的解析式．（2）在第一象限的拋物線上存在點M，使以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形面積最大，求點M的坐標(biāo)．（3）作直線x=m交拋物線于點P，交線段OB于點Q，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求m的值．考點： 二次函數(shù)綜合題．專題： 壓軸題；分類討論．分析： （1）由于拋物線與x軸的兩個交點已知，因此拋物線的解析式可設(shè)成交點式，然后把點B的坐標(biāo)代入，即可求出拋物線的解析式．（2）以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大；求出另一個三角形面積的表達式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值；本問需分類討論：①當(dāng)0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示；②當(dāng)4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．（3）△PQB為等腰三角形時，有三種情形，需要分類討論，避免漏解：①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示；②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示；③若點P為頂點，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．解答： 解：（1）∵該拋物線經(jīng)過點A（5，0），O（0，0），∴該拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵點B（4，4）在該拋物線上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴該拋物線的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O(shè)、A、B、M為頂點的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個三角形面積最大，則四邊形面積即最大．①當(dāng)0＜x≤4時，點M在拋物線OB段上時，如答圖1所示．∵B（4，4），∴易知直線OB的解析式為：y=x．設(shè)M（x，﹣x2+5x），過點M作ME∥y軸，交OB于點E，則E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（xE﹣0）+ME（xB﹣xE）=ME?xB=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴當(dāng)x=2時，S△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．②當(dāng)4＜x≤5時，點M在拋物線AB段上時，圖略．可求得直線AB解析式為：y=﹣4x+20．設(shè)M（x，﹣x2+5x），過點M作ME∥y軸，交AB于點E，則E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（xE﹣xB）+ME（xA﹣xE）=ME?（xA﹣xB）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴當(dāng)x=時，S△ABM最大值為，即四邊形的面積最大．比較①②可知，當(dāng)x=2時，四邊形面積最大．當(dāng)x=2時，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由題意可知，點P在線段OB上方的拋物線上．設(shè)P（m，﹣m2+5m），則Q（m，m當(dāng)△PQB為等腰三角形時，①若點B為頂點，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示．過點B作BE⊥PQ于點E，則點E為線段PQ中點，∴E（m，）．∵BE∥x軸，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（與點B重合，舍去）∴m=2；②若點P為頂點，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，則△PQB為等腰直角三角形．∴PB∥x軸，∴﹣m2+5m解得：m=1或m=4（與點B重合，舍去）∴m=1；③若點P為頂點，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m∴PQ=﹣m2+4m又∵QB=（xB﹣xQ）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（與點B重合，舍去），∴m=．綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時，m的值為1，2或．點評： 本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及考點較多，有一定的難度．重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，第（2）（3）問均需要進行分類討論，避免漏解．注意第（2）問中求面積表達式的方法，以及第（3）問中利用方程思想求m值的方法.9、（2013攀枝花）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10、（2013綿陽）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點C為（0，-2），交x軸于A、B兩點，其中A（-1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D。（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標(biāo)；（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。三角形相似問題11、（2013曲靖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系，直線y=x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，過A、B兩點的拋物線為y=﹣x2+bx+c．點D為線段AB上一動點，過點D作CD⊥x軸于點C，交拋物線于點E．（1）求拋物線的解析式．（2）當(dāng)DE=4時，求四邊形CAEB的面積．（3）連接BE，是否存在點D，使得△DBE和△DAC相似？若存在，求此點D坐標(biāo)；若不存在，說明理由．12、（2013涼山州）如圖，拋物線y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x軸于A、B兩點，A點坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點C（0，4），以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線的對稱軸l在邊OA（不包括O、A兩點）上平行移動，分別交x軸于E，交CD于F，交AC于點M，交拋物線于點P，若點M的橫坐標(biāo)為m，用含m的代數(shù)式表示PM的長；（3）在（2）的條件下，連結(jié)PC，則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點P，使得以P、C、F為頂點的三角形和△AEM相似？若存在，求出此時m的值，并直接判斷△PCM的形狀；若不存在，請說明理由．13、如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標(biāo)． 考點： 二次函數(shù)綜合題．分析： （1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出P點橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進而得到關(guān)于PC與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．（3）根據(jù)直線AB的解析式，可求得直線AC的解析式y(tǒng)=﹣x+b，已知了點A的坐標(biāo)，即可求得直線AC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，可求得C點的坐標(biāo)；解答： 解：（1）∵B（4，m）在直線線y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx﹣4上，∴，∵c=6，∴a=2，b=﹣8，∴y=2x2﹣8x+6．（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（n，n+2），則C點的坐標(biāo)為（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴當(dāng)n=時，線段PC最大且為．（3）設(shè)直線AC的解析式為y=﹣x+b，把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，∴直線AC解析式：y=﹣x+3，點C在拋物線上，設(shè)C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣整理得：2m2﹣7m解得；m=3或m=，∴P（3，0）或P（，）．點評： 此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法等知識；（2013?白銀壓軸題）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標(biāo)；（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）將原點坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，也就得出了拋物線的解析式．（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標(biāo)，也就求出了OA的長，根據(jù)△OAB的面積可求出B點縱坐標(biāo)的絕對值，然后將符合題意的B點縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可．（3）根據(jù)B點坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點的坐標(biāo)特點，代入二次函數(shù)解析式可得出P點的坐標(biāo)．求△POB的面積時，可先求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積．解答：解：①∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1，∴y=x2﹣3x，②假設(shè)存在點B，過點B做BD⊥x軸于點D，∵△AOB的面積等于6，∴AO?BD=6，當(dāng)0=x2﹣3x，x（x﹣3）=0，解得：x=0或3，∴AO=3，∴BD=4即4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）．又∵頂點坐標(biāo)為：（1.5，﹣2.25）．∵2.25＜4，∴x軸下方不存在B點，∴點B的坐標(biāo)為：（4，4）；③∵點B的坐標(biāo)為：（4，4），∴∠BOD=45°，BO==4，當(dāng)∠POB=90°，∴∠POD=45°，設(shè)P點橫坐標(biāo)為：﹣x，則縱坐標(biāo)為：x2﹣3x，即﹣x=x2﹣3x，解得x=2或x=0，∴在拋物線上僅存在一點P（2，﹣2）．∴OP==2，使∠POB=90°，∴△POB的面積為：PO?BO=×4×2=8．點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點、圖象面積求法等知識．利用已知進行分類討論得出符合要求點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．15、如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，連接BC。（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；（2）若點P為線段BC上的一點（不與B、C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線于點M，交x軸于點N，當(dāng)△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；（3）在（2）的條件下，當(dāng)BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的坐標(biāo)。15題 解：（1）令x=0，解得y=3∴點C的坐標(biāo)為（0,3）令y=0，解得x1=-1，x2=3∴點A的坐標(biāo)為（-1,0）點B的坐標(biāo)為（3,0）（2）由A，B兩點坐標(biāo)求得直線AB的解析式為y=-x+3設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-x+3）（0＜x＜3）∵PM∥y軸∠PNB=90°，點M的坐標(biāo)為（x，-x2+2x+3）∴PM=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x∵∴當(dāng)x=時的面積最大此時，點P的坐標(biāo)為（，）∴PN=，BN=，BP=∴.（3）求得拋物線對稱軸為x=1設(shè)點Q的坐標(biāo)為（1，）∴當(dāng)∠CNQ=90°時，如圖1所示即解得：∴Q1（1，）當(dāng)∠NCQ=90°時，如圖2所示即解得：∴Q2（1，）當(dāng)∠CQN=90°時，如圖3所示即解得：∴Q3（1，）Q4（1，）16、已知：如圖一次函數(shù)y＝x＋1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與一次函數(shù)y＝x＋1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；（3）在x軸上是否存在點P，使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點P，若不存在，請說明理由．OOAByCxDE217、如圖，拋物線經(jīng)過點A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）已知拋物線上的三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)AC的解析式表示出點N的坐標(biāo)，再根據(jù)S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結(jié)論；（3）分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出t的值即可．解答：解：（1）由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（﹣3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），將C點坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得a=1，則y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以拋物線的解析式為：y=x2+2x﹣3；（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得，解得，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣3．設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點N的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN?OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴當(dāng)x=﹣時，S有最大值，此時點P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（3）在y軸上是否存在點M，能夠使得△ADE是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴頂點D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．設(shè)點M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進行討論：①當(dāng)A為直角頂點時，如圖3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以點M的坐標(biāo)為（0，）；②當(dāng)D為直角頂點時，如圖3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，所以點M的坐標(biāo)為（0，﹣）；③當(dāng)M為直角頂點時，如圖3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以點M的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣3）；綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADE是直角三角形，此時點M的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點式的運用，勾股定理等知識，難度適中．運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．18、（2011潼南縣）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，拋物線的頂點為D．（1）求b，c的值；（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當(dāng)線段EF的長度最大時，求點E的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下：①求以點E、B、F、D為頂點的四邊形的面積；②在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5），∵二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，5），∴，解得：b=﹣2，c=﹣3；（2）如圖：∵直線AB經(jīng)過點A（﹣1，0），B（4，5），∴直線AB的解析式為：y=x+1，∵二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3，∴設(shè)點E（t，t+1），則F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，∴當(dāng)t=時，EF的最大值為，∴點E的坐標(biāo)為（，）；（3）①如圖：順次連接點E、B、F、D得四邊形EBFD．可求出點F的坐標(biāo)（，），點D的坐標(biāo)為（1，﹣4）S四邊形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=；②如圖：?。┻^點E作a⊥EF交拋物線于點P，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3）則有：m2﹣2m﹣2=，解得：m1=，m2=，∴P1（，），P2（，），ⅱ）過點F作b⊥EF交拋物線于P3，設(shè)P3（n，n2﹣2n﹣3）則有：n2﹣2n﹣2=﹣，解得：n1=，n2=（與點F重合，舍去），∴P3（，），綜上所述：所有點P的坐標(biāo)：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP組成以EF為直角邊的直角三角形．二次函數(shù)與相似19、（2013?畢節(jié)地區(qū)壓軸題）如圖，拋物線y=ax2+b與x軸交于點A、B，且A點的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點C（0，1）．（1）求拋物線的解析式，并求出點B坐標(biāo)；（2）過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；（結(jié)果保留根號）（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，點B坐標(biāo)可由對稱性質(zhì)得到，或令y=0，由解析式得到；（2）關(guān)鍵是求出點D的坐標(biāo)，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度；（3）本問為存在型問題．可以先假設(shè)存在，然后按照題意條件求點P的坐標(biāo)，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論．解答：解：（1）∵點A（1，0）和點C（0，1）在拋物線y=ax2+b上，∴，解得：a=﹣1，b=1，∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+1，拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A（1，0）關(guān)于y軸對稱，∴B（﹣1，0）．（2）設(shè)過點A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．∵BD∥CA，∴可設(shè)直線BD的解析式為y=﹣x+n，∵點B（﹣1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，∴直線BD的解析式為：y=﹣x﹣1．將y=﹣x﹣1代入拋物線的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1，∵B點橫坐標(biāo)為﹣1，則D點橫坐標(biāo)為2，D點縱坐標(biāo)為y=﹣2﹣1=﹣3，∴D點坐標(biāo)為（2，﹣3）．如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN=3，AN=1，BN=3，在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=；在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=；又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=；∴四邊形ABCD的周長為：AC+BC+BD+AD=+++=+．（3）假設(shè)存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：（I）若△BPE∽△BDC，如答圖②所示，則有，即，∴PE=3BE．設(shè)OE=m（m＞0），則E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，∴點P的坐標(biāo)為（﹣m，3﹣3m）．∵點P在拋物線y=﹣x2+1上，∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，當(dāng)m=1時，點E與點B重合，故舍去；當(dāng)m=2時，點E在OB左側(cè)，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去．因此，此種情況不存在；（II）若△EBP∽△BDC，如答圖③所示，則有，即，∴BE=3PE．設(shè)OE=m（m＞0），則E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，∴點P的坐標(biāo)為（m，+m）．∵點P在拋物線y=﹣x2+1上，∴+m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m=，∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，點P的縱坐標(biāo)為：+m=+×=，∴點P的坐標(biāo)為（，）．綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標(biāo)為（，）．點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等重要知識點．第（2）問的解題要點是求出點D的坐標(biāo)，第（3）問的解題要點是分類討論．20、（2013?湘西州壓軸題）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標(biāo)為A（﹣2，0）．（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；（2）求點C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=求出對稱軸方程；（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標(biāo)；令y=0，可求出點B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；（3）根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．解答：解：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+4的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴對稱軸方程為：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直線BC的解析式為：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設(shè)點Q（3，t），則可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）當(dāng)AQ=CQ時，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）當(dāng)AC=AQ時，有=，t2=﹣5，此方程無實數(shù)根，∴此時△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii）當(dāng)AC=CQ時，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴點Q坐標(biāo)為：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標(biāo)為：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．點評：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點．難點在于第（4）問，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．21、如圖13，拋物線y=ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點為（1,4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點的坐標(biāo)為（3,0）（1）求拋物線的解析式（2）如圖14，過點A的直線與拋物線交于點E，交y軸于點F，其中E點的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點H，使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.若存在，求出這個最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（3）如圖15，拋物線上是否存在一點T，過點T作x的垂線，垂足為M，過點M作直線MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.二次函數(shù)與平行四邊形22、（2013?黔西南州壓軸題）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點P，使得以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．考點：二次函數(shù)綜合題．專題：綜合題．分析：（1）由于拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對邊平行且相等，可以求出點D的坐標(biāo)；（3）分兩種情況討論，①△AMP∽△BOC，②PMA∽△BOC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等可以求出點P的坐標(biāo)．解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函數(shù)解析式為：y=x2+2x．（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在對稱軸直線x=﹣1左側(cè)，則D橫坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式得D1（﹣3，3），若D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得D2（1，3）．綜上可得點D的坐標(biāo)為：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假設(shè)存在點P，使以P，M，A為頂點的三角形與△BOC相似，設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，則=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=，x2=﹣2（舍去）．當(dāng)x=時，y=，即P（，），②若△PMA∽△BOC，則=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當(dāng)x=3時，y=15，即P（3，15）．故符合條件的點P有兩個，分別是P（，）或（3，15）．點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，首先用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)確定點D和點P的坐標(biāo)，注意分類討論思想的運用，難度較大．23、（2014日照）已知拋物線經(jīng)過A（2，0）．設(shè)頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．（1）求b的值，求出點P、點B的坐標(biāo)；（2）如圖，在直線y=x上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；APBxyO（第24題圖）（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使APBxyO（第24題圖）解：（1）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），所以，解得.…