基于常微分方程求解算法的某炮后坐裝置三面問題求解

基于常微分方程求解算法的某炮后坐裝置三面問題求解

次近似法反后坐裝置是火炮的心臟，是火炮非常重要的組成部分?；鹋诘姆春笞b置設(shè)計(jì)自然也是火炮設(shè)計(jì)的一個重要內(nèi)容。反后坐裝置設(shè)計(jì)包括正面和反面兩類問題,正面問題指在正常射擊條件下,對確定的后坐阻力規(guī)律確定駐退機(jī)的結(jié)構(gòu)尺寸,尤其是流液孔的變化規(guī)律;反面問題則指在各種射擊條件下,對已知駐退機(jī)結(jié)構(gòu)尺寸求解實(shí)際后坐運(yùn)動諸元。反面問題不但是正面設(shè)計(jì)的基礎(chǔ),而且可以檢驗(yàn)火炮在各種極限射擊條件及各種結(jié)構(gòu)參數(shù)變化情況下的受力狀況,因而是火炮設(shè)計(jì)和火炮仿真的重要內(nèi)容?；鹋诜春笞b置反面問題是一個典型的二階微分方程,但由于方程的右函數(shù)涉及火藥氣體燃燒、液流阻力等復(fù)雜過程,某些參量只能表示為時間或后坐行程的表格函數(shù),故不能用解析解法,只能采用數(shù)值積分。在過去很長一段時間內(nèi),許多制式火炮的反后坐裝置反面計(jì)算均采用二次近似法,即通過引入自由后坐的概念避開對表格函數(shù)的積分用人工逐點(diǎn)計(jì)算(該方法目前還見諸于相關(guān)專業(yè)的教材),這種方法自然精度很低。在近些年,也有一些文獻(xiàn)借用一些微分方程算法如四階Runge-Kutta法、歐拉法等借助計(jì)算機(jī)對這一問題進(jìn)行求解。但這些電算方法多數(shù)還是簡單的定步長算法,效率不高,另外采用方法也帶有極大的隨意性,甚至還有人采用精度極低的矩形或梯形近似積分方法,更重要的是這些方法很少對求解精度加以討論和控制?？傊?由于缺乏對該問題數(shù)值算法的認(rèn)真研究,使這一問題的求解長期處于一種精度和效率不高的狀態(tài)。MATLAB是目前世界上最有影響的專業(yè)數(shù)值計(jì)算軟件包,提供了目前國際上最先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算方法,尤其是它將一些很專業(yè)的算法做成函數(shù)形式,用戶只需一個命令即能開展復(fù)雜的運(yùn)算,大大提高了用戶的使用便捷性?？紤]將MATLAB引入火炮反后坐裝置反面計(jì)算必將能極大提高這一問題的計(jì)算精度和效率。本文將MATLAB6.1用于某種典型火炮的反后坐反面問題計(jì)算的實(shí)踐證明了該種做法的可行性和有效性。1復(fù)進(jìn)運(yùn)動方程由于火炮的反后坐裝置不止一種類型,本文僅就最典型的一種為例說明?；鹋诘倪\(yùn)動包括后坐和復(fù)進(jìn)兩個過程。后坐時的運(yùn)動微分方程為復(fù)進(jìn)時的運(yùn)動微分方程為方程組(1)中,X為后坐位移,V為后坐速度;方程組(2)中,U為復(fù)進(jìn)位移,ξ為復(fù)進(jìn)速度,其它各參量的含義和表達(dá)式參見文獻(xiàn),在此不在贅述。為簡化編程工作,可將方程組式(1)、式(2)合并成一個方程組(3)其中,V>0時,表示后坐過程;V<0時,表示復(fù)進(jìn)過程;YHS(X,V)參照V的符號不同分別根據(jù)式(1)、式(2)定義。2matlab中變步長求解器的使用作為專業(yè)的數(shù)值計(jì)算軟件包,MATLAB6.1提供了當(dāng)前最先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算方法,就求解微分方程而言,它就提供了多種高效的求解器,包括求解非剛性連續(xù)方程的ODE45(顯式四級五階Runge-Kutta法)、ODE23(顯式二級三階Runge-Kutta法)、ODE113(變階Adams-Bashforth-Moulton法)和求解剛性連續(xù)方程的ODE15s、ODE23s、ODE23t、ODE23tb。這些基本都是變步長求解器。在MATLAB6.1基本函數(shù)庫里定步長求解器似乎取消了,但在SIMULINK中仍保留了歐拉法、改進(jìn)歐拉法、四階Kunge-Rutta等5種定步長求解器。由于任何一種求解器都不可能解決所有的微分方程求解問題,MATLAB提供的這些求解器為用戶能最好地解決自己的實(shí)際問題提供了可能。不僅如此,MATLAB還對用戶該如何選擇這些求解器以及確定求解器的參數(shù)提供了較詳細(xì)的幫助文檔,指導(dǎo)用戶在自己的需要精度、穩(wěn)定性和效率等方面做到最佳的平衡。用MATLAB語言編制程序固然也可以選擇不同方法和不同參數(shù)求解微分方程,但使用最方便的還是SIMULINK的仿真環(huán)境,在該環(huán)境下,只要建立了仿真框圖,即可通過菜單方便地選擇各種求解器和求解參數(shù),為用戶選擇最佳的求解方案提供了最大的方便。這也是本文考慮建立火炮反后坐反面問題的SIMULINK模型的原因。3基于matlab的風(fēng)壓快速求解算法依據(jù)微分方程(3)用MATLAB語言編制了計(jì)算右函數(shù)中各參量的函數(shù)及方程的右函數(shù),并用主程序調(diào)用,用4級5階Runge-Kutta法,缺省求解參數(shù)計(jì)算得出的后坐速度和位移隨時間的變化關(guān)系如圖1所示。結(jié)果與實(shí)際比較吻合。傳統(tǒng)的求解也許到此處就結(jié)束了,但借助MATLAB語言,可以對求解結(jié)果的精度進(jìn)行近一步的討論。如果以最大后坐長度這一重要的參數(shù)作為依據(jù),當(dāng)改變4級5階Runge-Kutta法的求解步相對誤差時,使其逐漸變小時,會發(fā)現(xiàn)最大后坐長度會發(fā)生變化,并最終趨于穩(wěn)定。這說明用Runge-Kutta法缺省求解參數(shù)求解該問題時精度有待進(jìn)一步提高。盡管這里用缺省參數(shù)求解結(jié)果與改變求解步相對誤差后最終穩(wěn)定的結(jié)果相差不是很大,但可以試想如果用二次近似法或精度極低的矩形或梯形近似積分方法求解同時不討論求解精度將會引入多大的精度損失。借助MATLAB語言提高求解精度還表現(xiàn)在不同求解方法的互相驗(yàn)證,對該問題,由于規(guī)模不是很大,借助MATLAB6.1提供的7種變步長求解器,通過修改求解步相對誤差,最終最大后坐長度均趨于同一個值。改變求解器和求解參數(shù)可以通過修改主程序?qū)崿F(xiàn),但更方便的是,建立SIMULINK模型后通過修改求解參數(shù)面板的設(shè)定來實(shí)現(xiàn),這將在后面討論。應(yīng)指出的是,通過圖1可以看出,該問題帶有一定的剛性,但剛性不是很強(qiáng),故借助剛性求解器如ODE15s或非剛性求解器ODE23(可用于中等剛性問題)求解時,求解步相對誤差不必很小就可得到穩(wěn)定解。4模型框圖的建立火炮反后坐裝置反面問題只是二階微分方程,問題的規(guī)模較小,因而其SIMULINK建模的框圖建立比較簡單。但由于右函數(shù)十分復(fù)雜,模型框圖必須借助S-函數(shù)才能完成,由于我們前面已經(jīng)建立了右函數(shù)的MATLAB函數(shù),故只需定義好接口即可?；鹋诜春笞b置反面問題的SIMULINK框圖及如圖2所示。S-函數(shù)recoil如下定義:5建立待求解復(fù)雜問題的sim對將專業(yè)的數(shù)值計(jì)算軟件MATLAB中最新的高效的微分方程求解器用于火炮反后坐裝置反面計(jì)算這一重要領(lǐng)域,可以大大提高計(jì)算精度和計(jì)算效率(這一點(diǎn)業(yè)已由MATLAB本身先進(jìn)的求解器和使用便捷性得以保證)。借助S-函數(shù)建立待求解復(fù)雜問題的SIMULINK仿真環(huán)境,可以使用戶更直觀、更方便好地利用MATLAB的求解環(huán)境來討論自己的求解結(jié)果。MATLAB作為目前世界上最有影響力的數(shù)值計(jì)算軟件,其強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和繪圖能力以及便于擴(kuò)充、使用便捷的特性已使其成為控制領(lǐng)域、信號領(lǐng)域不可缺少的工具