人教版九年級二次函數(shù)的存在性問題(相似三角形的存在性問題)試題

二次函數(shù)的存在性問題（相似）已知拋物線的頂點為A(2，1)，且經(jīng)過原點O，與x軸的另一交點為B。(1)求拋物線的解析式；(2)若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；AABBOOxxyy圖①圖②(3)連接OA、AB，如圖②，在xAABBOOxxyy圖①圖②[07江蘇蘇州]設拋物線與x軸交于兩個不同的點A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點C.且∠ACB=90°．(1)求m的值和拋物線的解析式；(2)已知點D(1，n)在拋物線上，過點A的直線交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標．(3)在(2)的條件下，△BDP的外接圓半徑等于________________．解：(1)令x=0，得y=－2∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴△AOC∽△COB,．∴OA·OB=OC2；∴OB=∴m=4．[08年湖南省湘潭]已知拋物線經(jīng)過點A（5，0）、B（6，-6）和原點.xyxyF-2-4-6ACEPDB521246G（2）（3）過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E.直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意得：解得故拋物線的函數(shù)關系式為（2）在拋物線上，點坐標為（2，6），、C在直線上解得直線BC的解析式為設BC與x軸交于點G，則G的坐標為（4，0）（3）存在P，使得∽設P，故若要∽，則要或即或解得或又在拋物線上，或解得或故P點坐標為和 10分（只寫出一個點的坐標記9分）[08江蘇蘇州]如圖，拋物線與軸的交點為．直線與軸交于，與軸交于．若兩點在直線上，且，．為線段的中點，為斜邊上的高．（1）的長度等于；，．DxyNOMPADxyNOMPACBH滿足以為頂點的三角形與相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的點（簡要說明理由）；并進一步探索對符合條件的每一個點，直線與直線的交點是否總滿足，寫出探索過程．解：（1）；，．（2）設存在實數(shù)，使拋物線上有一點，滿足以為頂點的三角形與等腰直角相似．以為頂點的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以為斜邊的等腰直角三角形．①若為等腰直角三角形的直角邊，則．由拋物線得：，．，．的坐標為．把代入拋物線解析式，得．拋物線解析式為．即．②若為等腰直角三角形的斜邊，則，．的坐標為．把代入拋物線解析式，得．拋物線解析式為，即當時，在拋物線上存在一點滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的點，不妨設為點，那么只有可能是以為斜邊的等腰直角三角形，由此得，顯然不在拋物線上，故拋物線上沒有符合條件的其他的點．當時，同理可得拋物線上沒有符合條件的其他的點．當?shù)淖鴺藶?，對應的拋物線解析式為時，和都是等腰直角三角形，．又，．，，總滿足．當?shù)淖鴺藶椋瑢膾佄锞€解析式為時，同理可證得：，總滿足[08年內(nèi)蒙錫林郭勒盟]如圖，拋物線的頂點為A（2，1），且經(jīng)過原點O，與x軸的另一個交點為B．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上求點M，使△MOB的面積是△AOB面積的3倍；（3）連結OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB相似？若存在，求出N點的坐標；若不存在，說明理由．yxOAyxOAB∵拋物線過原點∴ ∴ ∴拋物線的解析式為即. （2）∵△AOB與△MOB同底不等高又∵S△MOB=3S△AOB∴△MOB的高是△AOB高的3倍即點M的縱坐標是 ∴yxOAByxOABENA′∴ （3）由拋物線的對稱性可知：AO=AB 若△OBN與△OAB相似必須有顯然∴直線ON的解析式為 …（10分）由，得，∴ 過N作NE⊥x軸，垂足為E.在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，∴又OB=4∴NB≠OB∴∠BON≠∠BNO∴△OBN與△OAB不相似 同理說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的N點.所以在拋物線上不存在N點，使得△OBN與△OAB相似 [09湖北鄂州]如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM＝｜CE—EO｜，再以CM、CO為邊作矩形CMNO.(1)試比較EO、EC的大小，并說明理由(2)令，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由(3)在(2)的條件下，若CO＝1，CE＝，Q為AE上一點且QF＝，拋物線y＝mx2+bx+c經(jīng)過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式.(4)在(3)的條件下，若拋物線y＝mx2+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與△AEF相似?若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標?若不存在，請說明理由。1）EO＞EC，理由如下：由折疊知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF為斜邊，∴EF＞EC，故EO＞EC…2分（2）m為定值∵S四邊形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)S四邊形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC)·CO∴……………………4分（3）∵CO=1，∴EF=EO=∴cos∠FEC=∴∠FEC=60°，∴∴△EFQ為等邊三角形，…………5分作QI⊥EO于I，EI=，IQ=∴IO=∴Q點坐標為……6分∵拋物線y=mx2+bx+c過點C(0，1)，Q，m=1∴可求得，c=1∴拋物線解析式為……7分（4）由（3），當時，＜AB∴P點坐標為…8分∴BP=AO方法1：若△PBK與△AEF相似，而△AEF≌△AEO，則分情況如下：①時，∴K點坐標為或②時，∴K點坐標為或…………10分故直線KP與y軸交點T的坐標為…………12分方法2：若△BPK與△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，過P作PR⊥y軸于R，則∠RTP=60°或30°①當∠RTP=30°時，②當∠RTP=60°時，∴……………12分[09湖南長沙]如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點，與軸相交于點．連結兩點的坐標分別為、，且當和時二次函數(shù)的函數(shù)值相等．（1）求實數(shù)的值；（2）若點同時從點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動．當運動時間為秒時，連結，將沿翻折，點恰好落在邊上的處，求的值及點的坐標；（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對稱軸上是否存在點，使得以為項點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．yyOxCNBPMAyxOCBAD[09遼寧十二市]已知：在平面直角坐標系中，拋物線yxOCBADA、B兩點，交軸于點C，且對稱軸為直線．（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）若點P（0，t）是軸上的一個動點，請進行如下探究：探究一：如圖1，設△PAD的面積為S，令W＝t·S，當0＜t＜4時，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時t的值；如果沒有，說明理由；圖1探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點的三角形與Rt△AOC圖1相似？如果存在，求點P的坐標；如果不存在，請說明理由．圖2yxOCBA圖2yxOCBAD解：（1）∵拋物線（）的對稱軸為直線．∴，∴，∴．∴．（2）探究一：當時，有最大值．yxOCBADMP∵拋物線交軸于yxOCBADMP∴，，，∴． 4分當時，作軸于，則．∵，∴．∵ 6分∴ 7分∴當時，有最大值，． 8分探究二：存在．分三種情況：①當時，作軸于，則，yxOCyxOCBADMP1EP2∴，，∴．∵軸，軸，∴，∴，∴．∴，．此時，又因為，∴，∴，∴．∴當時，存在點，使，此時點的坐標為（0，2）． 10分（結論1分，過程1分）②當時，則，∴，∴．∵，∴．∴與不相似，此時點不存在． 12分（結論1分，過程1分）③當時，以為直徑作，則的半徑，圓心到軸的距離．∵，∴與軸相離．不存在點，使．∴綜上所述，只存在一點使與相似． 14分（結論1分，過程1分）（其它方法可參照此答案給分）yOCDB6Ax[09青海]矩形在平面直角坐標系中位置如圖13所示，兩點的坐標分別為，，直線與邊相交于點．yOCDB6Ax（1）求點的坐標；（2）若拋物線經(jīng)過點，試確定此拋物線的表達式；（3）設（2）中的拋物線的對稱軸與直線交于點，點為對稱軸上一動點，以為頂點