【數(shù)學(xué)】2023-2024學(xué)年高一上人教A版（2019）必修第一冊(cè) 兩角差的余弦公式

第五章三角函數(shù)5.5三角恒等變換第一課時(shí)兩角差的余弦公式5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式課標(biāo)要求1.通過(guò)探究，了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程.2.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號(hào)特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算.素養(yǎng)要求在熟知兩角差的余弦公式意義的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的素養(yǎng).問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究?jī)?nèi)容索引互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究1提示

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.2.思考如圖，單位圓與x軸正半軸交于點(diǎn)A(1，0)，以x軸非負(fù)半軸為始邊作角α，β，α－β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P(cos(α－β)，sin(α－β)).易得AP＝A1P1.你能據(jù)此得到cos(α－β)與單角α，β的三角函數(shù)關(guān)系嗎？3.填空

(1)任意角α，β都有cos(α－β)＝_______________________________. (2)任意角α，β的正弦、余弦與其差角α－β的余弦之間的關(guān)系，稱為______的余弦公式，簡(jiǎn)記作C(α－β).cosαcosβ＋sinαsinβ差角4.思考有人認(rèn)為cos(α－β)＝cosα－cosβ，你認(rèn)為正確嗎？ACD5.做一做

(1)(多選)下列結(jié)論正確的是(

) A.存在這樣的α和β值，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ B.不存在α和β值，使得cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ C.對(duì)任意的α和β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ D.不存在這樣的α和β值，使得cos(α－β)≠cosαcosβ＋sinαsinβ

解析

若sinα或sinβ有一個(gè)為0，即α＝kπ(k∈Z)或β＝kπ(k∈Z)，則cos(α－β)＝cosαcosβ，故A，C，D正確，B不正確.(2)cos54°cos24°＋cos36°sin24°＝________.HUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

(1)cos(－15°)的值是(

)D題型一兩角差的余弦公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用解析cos(－15°)＝cos(30°－45°)(2)cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.解析原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－35°－25°)＝cos(－60°)＝cos60°1.把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解.2.在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值.思維升華訓(xùn)練1

(1)化簡(jiǎn)cosθcos(π＋θ)＋sinθsin(π＋θ)的值為(

) A.1

B.－1 C.0

D.cosθ

解析

原式＝cos[θ－(θ＋π)]＝cos(－π)＝cosπ＝－1.B解析

原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°題型二兩角差的余弦公式的綜合應(yīng)用思維升華題型三給值求角∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)已知三角函數(shù)值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.(2)求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.提醒由三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案.思維升華∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ課堂小結(jié)1.記住兩角差的余弦公式的特征，既可以正用，也可以逆用.2.在利用兩角差的余弦公式求值時(shí)，不可機(jī)械地套用公式，而要從題目條件出發(fā)，將要求的角分解成題中已知角的差.3.“給值求角”問(wèn)題，實(shí)際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，求一個(gè)角的值，可分以下三步進(jìn)行： (1)求角的某一三角函數(shù)值；(2)確定角所在的范圍(找區(qū)間)；(3)確定角的值.

確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成31.化簡(jiǎn)－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)·cos(x－y)的結(jié)果為(

)A.sin2x

B.cos2xC.－cos2x

D.－cos2y解析

原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos2y，故選D.DDABAC6.sin162°sin78°－cos18°cos102°＝________.解析

原式＝sin18°sin78°＋cos18°cos78°∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn).又∵α為銳角，(2)在(1)的條件下，求cos(β－α)的值.解

∵β為鈍角，∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα11.已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0和cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)的值是(

)C解析

由sinα＋sinβ＝－sinγ，cosα＋cosβ＝－cosγ，得sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝sin2γ，①cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝cos2γ，②由①＋②得2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα(1)求cos(α－β)的值；cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝0.14.《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)