小學(xué)奧數(shù)圖形的面積

直線型面積計算（1）對于三角形的面積計算，我們除了熟練運用基本的計算公式，在技巧性很強的奧數(shù)題中還要根據(jù)相應(yīng)的性質(zhì)和結(jié)論來解題，下面就是我們小學(xué)奧數(shù)常用的三條性質(zhì)：①等底等高的兩個三角形面積相等；①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；③夾在一組平行線之間的等積變形，如；反之，如果，則可知直線平行于．如圖，長方形的面積是平方厘米，點、、分別是長方形邊上的中點，為邊上的任意一點，求陰影部分的面積．本題是等底等高的兩個三角形面積相等的應(yīng)用．連接、．∵，∴．同理，，，∴（平方厘米）．［鋪墊］你有多少種方法將任意一個三角形分成：⑴個面積相等的三角形；⑵個面積相等的三角形；⑶個面積相等的三角形．⑴如右圖，、、分別是對應(yīng)邊上的中點，這樣就將三角形分成了個面積相等的三角形；⑵如右圖，、是的三等分點，、分別是對應(yīng)線段的中點；答案不唯一；⑶如下圖，答案不唯一，以下僅供參考．如圖，三角形的面積為，其中，，三角形的面積是多少？連接．∵，∴，．又∵，∴．如圖，三角形中，，，三角形的面積是平方厘米，三角形的面積是多少？∵，∴,;又∵,∴,（平方厘米）．［鋪墊］如圖，三角形被分成了甲、乙兩部分，，，，甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？連接．∵,，∴,．又∵,∴, ∴,∴．［拓展］如圖，在三角形中，厘米，厘米，、分別為和的中點，那么三角形的面積是多少平方厘米？，所以陰影面積與空白面積的比是．如圖所示，四邊形與都是平行四邊形，請你證明它們的面積相等．本題主要是讓學(xué)生了解并會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等和三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．證明：連接．（我們通過把這兩個看似無關(guān)的平行四邊形聯(lián)系在一起．）∵在平行四邊形中，邊上的高，∴（也就是等積變換的重要依據(jù)③的特殊情況）．同理，，∴平行四邊形與面積相等．［拓展］如圖所示，正方形的邊長為厘米，長方形的長為厘米，那么長方形的寬為幾厘米？本題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）．三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半．證明：連接.（我們通過把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起）．∵在正方形中，邊上的高，∴（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）同理，．∴正方形與長方形面積相等.長方形的寬（厘米）．如圖，正方形和正方形，且正方形邊長為厘米，求圖中三角形的面積為多少平方厘米？連接．∵，都是正方形的對角線∴，∥．∴與同底等高，(平方厘米)．（年西城某重點中學(xué)小升初分班考題）右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是厘米，求三角形的面積．這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系．連接（見右上圖），可以看出，三角形與三角形的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等．因為三角形是三角形與三角形的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個部分，即三角形與三角形面積仍然相等．根據(jù)等量代換，求三角形的面積等于求三角形的面積，等于．［拓展］（小學(xué)數(shù)學(xué)夏令營五年級組試題）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，已知三角形的面積為平方厘米，求三角形的面積．通常求三角形的面積，都是先求它的底和高．題目中沒有一條線段的長度是已知的，所以我們只能通過創(chuàng)造等積的方法來求．直接找三角形與三角形的關(guān)系還很難，而且也沒有利用“四邊形和四邊形是正方形”這一條件．我們不妨將它們都補上梯形這一塊．尋找新得到大三角形和大直角梯形之間的關(guān)系．經(jīng)過驗算，可以知道它們的面積是相等的．從而得到三角形與三角形面積相等，也是平方厘米．如右圖，在平行四邊形中，直線交于，交延長線于，若，求的面積．本題主要是讓學(xué)生并會運用等底等高的兩個三角形面積相等（或夾在一組平行線之間的三角形面積相等）和等量代換的思想.連接．∵∥，∴．同理∥，∴．又，，∴，即．直接求出三角形與三角形的面積之差，不太容易做到．如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出，那么問題就解決了．法：連結(jié)（見右圖）．三角形與三角形都加上三角形，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形與三角形的面積之差．所求為．法：連結(jié)（見右圖）．三角形與三角形都加上三角形，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形與三角形的面積之差．所求為．法：延長交于（見右圖）．三角形與三角形都加上梯形，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形與矩形的面積之差．所求為．法：延長，交于（見右圖）．三角形與三角形都加上梯形，則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形與直角三角形的面積之差．所求為．如右圖所示，在長方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是，，．那么圖中陰影部分的面積是多少？三角形的面積三角形的面積長方形面積陰影部分面積；又因為三角形的面積三角形的面積長方形面積，所以可得：陰影部分面積．如圖，在長方形中，是的中點，是的中點，如果厘米，厘米，求三角形的面積．∵是的中點，是的中點，∴，，又∵是長方形，∴(平方厘米)．如圖，三角形中，是的倍，是的倍，如果三角形的面積等于，那么三角形的面積是多少？連接.∵∴.又∵∴，∴.兩個正方形組成右圖所示的組合圖形．已知組合圖形的周長是厘米，厘米，求陰影部分的面積．組合圖形的周長并不等于兩個正方形的周長之和，因為部分重合了．用組合圖形的周長減去，就得到大、小正方形邊長之和的三倍，所以兩個正方形的邊長之和等于（厘米）．又由兩個正方形的邊長之差是厘米，可求出大正方形邊長（厘米），小正方形邊長（厘米）．陰影部分面積（平方厘米）．在右圖中，平行四邊形的邊長厘米，直角三角形的直角邊長厘米．已知陰影部分的總面積比三角形的面積大平方厘米，求平行四邊形的面積．因為陰影部分比三角形的面積大平方厘米，都加上梯形后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個新圖形的面積差不變，即平行四邊行比直角三角形的面積大平方厘米，所以平行四邊形的面積等于平方厘米．右圖中，厘米，三角形比三角形的面積大平方厘米，求的長．連結(jié)．三角形的面積為平方厘米，厘米．直線型面積計算（2）在小學(xué)的學(xué)習(xí)中幾何是一個很重要的部分，每一個幾何圖形都非常美妙，幾何圖形的美妙不僅來源于它的外形，更重要的是在幾何模型上出現(xiàn)的那些美妙的規(guī)律，下面我們就一起來看看幾個美妙的幾何模型：模型一：任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系．模型二：梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的對應(yīng)份數(shù)為．梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性質(zhì)：①；②．所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半．相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知，求：⑴三角形的面積；⑵？⑴根據(jù)蝴蝶定理，，那么；⑵根據(jù)蝴蝶定理，．(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營)如下圖，梯形的∥，對角線，交于，已知與的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形的面積是________平方厘米．根據(jù)梯形蝴蝶定理，，可得，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以(平方厘米)．那么梯形的面積為(平方厘米)．［鋪墊］梯形的對角線與交于點，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比．根據(jù)梯形蝴蝶定理，，可以求出，再根據(jù)梯形蝴蝶定理，．通過利用已有幾何模型，我們輕松解決了這個問題，而沒有像以前一樣，為了某個條件的缺乏而千辛萬苦進行構(gòu)造假設(shè)，所以，請同學(xué)們一定要牢記幾何模型的結(jié)論．四邊形的對角線與交于點(如圖所示)．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長度是的長度的_________倍．在本題中，四邊形為任意四邊形，對于這種“不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形．看到題目中給出條件，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于是得出一種解法．又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個“不良四邊形”，于是可以作垂直于，垂直于，面積比轉(zhuǎn)化為高之比．再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果．請老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會到蝴蝶定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題．解法一：∵，∴，∴．解法二：作于，于．∵，∴，∴，∴，∴，∴．在邊長為1的正方形中，，．求四邊形的面積．題目要求四邊形的面積，可以發(fā)現(xiàn)這個四邊形是個“不良四邊形”，需要對它進行改造．通常在一個四邊形中畫輔助線，會想到畫對角線，又注意到、都是三等分點，如果連接，因為∥，則可以構(gòu)造一個梯形，從而應(yīng)用梯形蝴蝶定理快速求解．因為，，所以．根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形四部分面積比為；而等腰梯形的面積為：，所以，得．如圖，正方形面積為1，是邊上的中點．求圖中陰影部分的面積．因為是邊上的中點，所以，可得，由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道，所以陰影部分面積占梯形面積的，所以．如圖，在長方形中，，，，求陰影部分的面積．如圖，連接，將陰影部分的面積分為兩個部分，其中三角形的面積為．由于，根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以，而，所以，陰影部分的面積為．相似三角形性質(zhì)在圖中的正方形中，，，分別是所在邊的中點，的面積是面積的幾倍？連接，易知∥，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知，且，所以的面積等于的面積；由可得，所以，即的面積是面積的3倍．如圖，線段與垂直，已知，，那么圖中陰影部分面積是多少？解法一：這個圖是個對稱圖形，且各邊長度已經(jīng)給出，不妨連接這個圖形的對稱軸看看．作輔助線，則圖形關(guān)于對稱，有，，且．設(shè)的面積為2份，則的面積為3份，直角三角形的面積為8份．因為，而陰影部分的面積為4份，所以陰影部分的面積為．解法二：連接、．由于，，所以∥，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，可知，根據(jù)梯形蝴蝶定理，，所以，即；又，所以．右圖中正方形的面積為1，、分別為、的中點，．求陰影部分的面積．題中條件給出的都是比例關(guān)系，由此可以初步推斷陰影部分的面積要通過比例求解，而圖中出現(xiàn)最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性質(zhì)．陰影部分為三角形，已知底邊為正方形邊長的一半，只要求出高，便可求出面積．可以作垂直于，垂直于．根據(jù)相似三角形性質(zhì)，，又因為，所以，即，所以．如圖，長方形中，為的中點，與、分別交于、，垂直于，交于，已知，，求．由于∥，利用相似三角形性質(zhì)可以得到，又因為為中點，那么有，所以，利用相似三角形性質(zhì)可以得到，而，所以．是平行四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點，則圖中陰影部分的面積為＿＿＿＿平方厘米．注意引導(dǎo)學(xué)生利用三角形的中位線定理以及平行線的相關(guān)性質(zhì)．設(shè)、分別為、的中點，連接、、．可得，對角線被、、平均分成四段，又∥，所以，，所以(平方厘米)，(平方厘米)．同理可得平方厘米，平方厘米．所以(平方厘米)，于是，陰影部分的面積為(平方厘米)．練習(xí)(第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對角線和交于點，已知，并且，那么的長是多