二面角及其度量

3.2.4二面角及其度量一、 兩個(gè)平面的位置關(guān)系1、 平面與平面平行如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則稱這兩個(gè)平面互相平行，a//卩，讀作：平面a和平面卩互相平行①和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段。兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等把公垂線段的長度叫做兩個(gè)平行平面的距離。2、 相交平面如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則稱這兩個(gè)平面相交。這條公共直線叫做這兩個(gè)平面的交線。平面a與平面卩相交，記作an卩=l，讀作：平面a和平面卩的交線是a①兩個(gè)平面互相垂直一般地，兩個(gè)平面相交，如果他們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。平面a與平面P垂直，記作a丄卩，讀作：平面a和平面P互相垂直二、 二面角及其度量1、 二面角平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。棱為l，兩個(gè)面分別為a，P的二面角，記作a-1一卩，如果Aea，B ，二面角也可以記作A—1—B。2、 二面角的平面角(二面角的度量方法)在二面角a-1-卩的棱上任取一點(diǎn)0，在兩半平面內(nèi)分別作射線OA丄1，0B丄1，則ZAOB叫做二面角a-1—卩的平面角。注意：這個(gè)平面角與點(diǎn)0在1上的位置無關(guān)，因?yàn)椋旱冉嵌ɡ砣绻粋€(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。二面角的大小可以用它的平面角來度量。二面角的平面角是幾度，就說這個(gè)二面角是幾度。二面角的大小，也就是二面角的平面角的范圍是［0。,180。］平面角是直角的二面角叫做直二面角。互相垂直的平面也就是相交成直二面角的兩個(gè)平面。三、 二面角的平面角的計(jì)算公式cos<u,v〉平面a,卩的法向量分別為u,v，二面角a-cos<u,v〉二面角a-1-卩的大小為0(°兄兀)，C0S0F必須記住這個(gè)公式 b- h-特例、n,n分別是平面a,卩的法向量12一_a//P或a與B重合on//n12 卜 1> ba丄Bon丄non-n=01212

例題1、已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，并且都垂直于棱AB,且AB=4cm,AC=660604?已知兩平面的法向量分別為加=(0,1,0),“=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為A.45°B.135°A.45°B.135°C.45?；?35°D.90°mn1解析：cos〈m，n〉=miln|—1?翻即〈m，n〉=45°.mn1???兩平面所成二面角為45°或180°-45°=135°.答案：C13、(2011遼寧理科)如圖，四邊形ABCD為正方形，PD丄平面ABCD,PD〃QA,QA=AB=PD。證明：平面PQC證明：平面PQC丄平面DCQ求二面角Q-BP-C的余弦值。4、(2012遼寧理科)(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABC-A/B/C/,ZBAC=90,AB—AC—九AA/,點(diǎn)M,N分別為A/B和B/C/的中點(diǎn)。證明：MN〃平面AACC/；若二面角A-MN-C為直二面角，求九的值。5、(2013遼寧理科)(本小題滿分12分)如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平