遼寧省遼陽市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題

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一、單選題

1.已知集合，則（）

A．

B．

C．

D．

2.復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（）

A．3，2

B．3，2i

C．1，2

D．1，2i

3.已知拋物線的焦點(diǎn)為在拋物線上，且，則（）

A．2

B．4

C．8

D．12

4.若，，，則（）

A．

B．

C．

D．

5.已知是等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列的公比為3”的（）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

6.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（）

A．

B．

C．

D．

7.如圖，在正三棱柱，中，，在上，是的中點(diǎn)，則的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

8.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，直線與橢圓另交于點(diǎn)，且，若，，則橢圓的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

二、多選題

9.若過作的垂線，垂足為，則稱向量在上的投影向量為．如圖，已知四邊形均為正方形，則下列結(jié)論正確的是（）

A．在上的投影向量為

B．在上的投影向量為

C．在上的投影向量為

D．在上的投影向量為

10.某商場開業(yè)期間舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，已知抽獎(jiǎng)箱中有30張獎(jiǎng)券，其中有5張寫有“中獎(jiǎng)”字樣．假設(shè)抽完的獎(jiǎng)券不放回，甲抽完之后乙再抽，記表示甲中獎(jiǎng)，表示乙中獎(jiǎng)，則（）

A．

B．

C．

D．

11.正三棱錐的底面邊長為3，高為，則下列結(jié)論正確的是（）

A．

B．三棱錐的表面積為

C．三棱錐的外接球的表面積為

D．三棱錐的內(nèi)切球的表面積為

12.已知函數(shù)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）

A．若，則恰有2個(gè)零點(diǎn)

B．若，則恰有4個(gè)零點(diǎn)

C．若恰有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

D．若恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

三、填空題

13.幸福指數(shù)是衡量人們對自身生存和發(fā)展?fàn)顩r的感受和體驗(yàn)，即人們的幸福感的一種指數(shù)．某機(jī)構(gòu)從某社區(qū)隨機(jī)調(diào)查了10人，得到他們的幸福指數(shù)（滿分：10分）分別是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是______

14.若，則的值可以是__________．

15.已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是__________．

16.已知函數(shù)，，且的最小值是．若關(guān)于x的方程在上有2023個(gè)零點(diǎn)，則的最小值是______

四、解答題

17.某雜志社對投稿的稿件要進(jìn)行評審，評審的程序如下：先由兩位專家進(jìn)行初審．若兩位專家的初審都通過，則予以錄用；若兩位專家的初審都不通過，則不予錄用；若恰能通過一位專家的初審，則再由另外的兩位專家進(jìn)行復(fù)審，若兩位專家的復(fù)審都通過，則予以錄用，否則不予錄用．假設(shè)投稿的稿件能通過各位專家初審的概率均為，復(fù)審的稿件能通過各位專家復(fù)審的概率均為，且每位專家的評審結(jié)果相互獨(dú)立．

(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(2)記X表示投到該雜志的3篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及期望．

18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．

(1)證明：

(2)若，，求△ABC的面積．

19.在①2，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答．問題：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________．

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

20.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為棱上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），為棱上任意一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且．

(1)證明：異面直線與所成角為定值．

(2)已知，當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求與平面所成角的正弦值．

21.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

(1)當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

22.設(shè)雙曲線的焦距為6，點(diǎn)在