人教高中數(shù)學A版必修一 （三角函數(shù)的應用）三角函數(shù)教學課件(第1課時)

三角函數(shù)的應用第1課時

整體感知問題1你能列舉一些生活中具有周期性現(xiàn)象的例子嗎？前面已經(jīng)用三角函數(shù)模型刻畫過哪些周期性現(xiàn)象？答案：生活中周期性現(xiàn)象的例子大致有三種類型：（1）勻速圓周運動．如水流量穩(wěn)定條件下的筒車運動，鐘表指針的轉動，摩天輪的運動等；（2）物理學中的周期性現(xiàn)象．如彈簧振子運動，交變電流等；（3）生活中的周期性現(xiàn)象．如潮汐變化，一天當中的氣溫變化，四季變化，生物鐘，波浪，音樂等．已經(jīng)用三角函數(shù)模型刻畫過勻速圓周運動．例如筒車運動、摩天輪的運動、鐘表指針的轉動等．新知探究1．問題研究1——簡諧運動問題2

觀看彈簧振子的運動視頻，振子運動過程中有哪些周期性現(xiàn)象？可以利用哪些變量之間的函數(shù)關系來刻畫振子運動過程中的周期性現(xiàn)象？彈簧振子的運動（如圖）．新知探究1．問題研究1——簡諧運動答案：振子離開中心位置的位移隨著時間呈周期性變化；振子所受的回復力隨著時間呈周期性變化．所以可以用振子離開中心位置的位移s與時間t之間的函數(shù)關系，也可以用振子所受的回復力F與時間t之間的函數(shù)關系來刻畫其運動過程中周期性現(xiàn)象．1．問題研究1——簡諧運動

例1

某個彈簧振子在完成一次全振動的過程中，時間t（單位：s）與位移y（單位：mm）之間的對應數(shù)據(jù)如表所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個振子的位移關于時間的函數(shù)解析式．新知探究2．建模解模新知探究問題3例1中沒有給出振子的位移關于時間的函數(shù)模型，根據(jù)以往的數(shù)學建模經(jīng)驗，我們應該按照什么樣的流程完成這個建模過程？

答案：

搜集數(shù)據(jù)，畫散點圖——觀察散點圖并進行函數(shù)擬合，選擇函數(shù)模型——利用數(shù)據(jù)信息，求解函數(shù)模型．

活動：

教師或者學生畫出散點圖．2．建模解模新知探究問題4觀察畫出的散點圖，你認為可以用怎樣的函數(shù)模型進行刻畫位移y隨時間t的變化規(guī)律？

答案：

根據(jù)散點圖，分析得出可以用y=Asin(ωt+φ)這個函數(shù)模型進行刻畫．問題5由數(shù)據(jù)表和散點圖，你將如何求出函數(shù)的解析式？

答案：

依據(jù)數(shù)據(jù)表和散點圖，可得A=20，T=60s，求得ω=

，然后將點（0，－20）的坐標代入解析式y(tǒng)=20sin(

t+φ)，解得φ=－

+2kπ，k∈Z，所以函數(shù)的解析式為y=20sin(

t－

)，t∈[0，+∞)．2．建模解模新知探究

教師補充：現(xiàn)實生活中存在大量類似彈簧振子的運動，如鐘擺的擺動，水中浮標的上下浮動，琴弦的震動，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復的運動．在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”．可以證明，在適當?shù)淖鴺讼迪?，簡諧運動可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個解析式中的常數(shù)有關：A就是這個簡諧運動的振幅，它是作簡諧運動的物體離開平衡位置的最大距離；2．建模解模新知探究ωx+φ稱為相位；x=0時的相位φ稱為初相.簡諧運動的周期是

，它是作簡諧運動的物體往復運動一次所需要的時間；

簡諧運動的頻率是

，它是作簡諧運動的物體在單位時間內(nèi)往復運動的次數(shù)；2．建模解模新知探究

問題6例1中簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？相位、初相分別是什么？

答案：振幅A＝20mm，周期T＝

s，頻率f＝

次，相位為

t－

，

初相為－

．3．問題研究2——交變電流新知探究例2如圖3（1）所示的是某次實驗測得的交變電流i（單位：A）隨時間t（單位：s）變化的圖象．將測得的圖象放大，得到圖3（2）．（1）求電流i隨時間t變化的函數(shù)解析式；（2）當

時，求電流i．圖3（1）圖3（2）新知探究問題7觀察圖象，交變電流i隨時間t的變化滿足怎樣的函數(shù)模型？其中每個參數(shù)的物理意義是什么？問題8

根據(jù)圖象3（2），你能說出電流的的最大值A，周期T，初始狀態(tài)（t=0）的電流嗎？由這些值，你能進一步完成例2的解答嗎？4．建模解模

答案：由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時間t的變化規(guī)律可以用i=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)來刻畫．其中A為振幅，

為周期，ωt+φ為相位，φ為初相．

答案：

由圖可知，A=5，T=

s，初始狀態(tài)的電流為4.33A．新知探究解：由圖3（2）可知，電流最大為5A，因此A=5；4．建模解模

所以電流i隨時間t變化的函數(shù)解析式是

電流變化的周期T=

s，即

=

s，解得ω=100π；再由初始狀態(tài)（t=0）的電流約為4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ約為

．

．

當

時，

；

當

時，

；

當

時，

；

當

時，

；

當

時，

．新知探究4．建模解模練習1如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下鉛錘面內(nèi)做周期擺動．若線長lcm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移為s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系是（1）當l=25時，求沙漏的最大偏角（精確到0.0001rad）；（2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏擺動的周期是1s，線的長度應當是多少（精確到0.1cm）?新知探究4．建模解模答：當l=25時，沙漏的最大偏角為0.1203rad．解：（1）∵

，∴可得s的最大值為3．設偏角為θ，可得最大偏角滿足sinθ=

．利用計算器計算可得θ=0.1203rad．（2）沙漏擺動的周期為

，解得

，故

．答：要使沙漏擺動的周期是1s，線的長度l應當為24.8cm．新知探究4．應用性質(zhì)練習2一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流是正弦式電流，電壓和時間之間的關系如圖所示．由圖象說出它的周期、頻率和電壓的最大值，并求出電壓U（單位：V）關于時間t（單位：s）的函數(shù)解析式．解：設電壓U關于時間t的函數(shù)是U=Asin(ωt+φ)，t∈[0，+∞)，根據(jù)圖象可得振幅A=311，周期T=0.02s，根據(jù)T=

，解得ω=100π．根據(jù)圖象過點（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z．所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．歸納小結問題9對于一個周期性現(xiàn)象，你該如何利用三角函數(shù)來刻畫？在本節(jié)課中，涉及哪些數(shù)學思想？答案：利用三角函數(shù)刻畫周期性現(xiàn)象，就是要找出這一現(xiàn)象中哪兩個變量滿足“當其中一個變量增加相同的常數(shù)時，另一個變量的值重復出現(xiàn)”，然后通過數(shù)學建模，求出這兩個變量之間滿足的三角函數(shù)關系．在本節(jié)課的學習中，涉及到數(shù)形結合思想和數(shù)學建模思想．三角函數(shù)的應用第2課時

整體感知問題1勻速圓周運動、簡諧運動和交變電流都是理想化的運動變化現(xiàn)象，可以用三角函數(shù)模型準確地描述它們的運動變化規(guī)律，其中分別是通過什么方法構建得到其中的函數(shù)模型？答案：勻速圓周運動是依據(jù)三角函數(shù)定義，直接推理得出變量之間的關系，得到函數(shù)模型；簡諧運動和交變電流是通過收集數(shù)據(jù)——畫散點圖——選擇函數(shù)模型——求解函數(shù)模型的方法建立函數(shù)模型．在現(xiàn)實生活中還有大量運動變化現(xiàn)象，僅在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)出近似于周期變化的特點，這些現(xiàn)象也可以借助三角函數(shù)近似的描述．1．問題研究1——氣溫變化新知探究例1

如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b.（1）求這一天6～14時的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．問題2如何根據(jù)溫度變化曲線得到這一天6～14時的最大溫差？答案：曲線在自變量為6～14時，圖形中的最高點的縱坐標減去最低點的縱坐標就是這一天6～14時的最大溫差,觀察圖形得出這段時間的最大溫差為20°C.新知探究2．求解模型問題3如何根據(jù)圖象求溫度隨時間的變化滿足的函數(shù)關系y=Asin(ωx+φ)+b中A，ω，φ，b的值？為什么？答案：若A>0時，可得ymax=A+b，ymin=－A+b，A=

(ymax－ymin)，b=

(ymax+ymin)；若A<0時，可得ymax=－A+b，ymin=A+b，A=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin).總之，|A|=

(ymin－ymax)，b=

(ymax+ymin)；ω可以利用周期公式

求得結果；φ可以利用代入特殊點的坐標求得．新知探究2．求解模型追問例1中A與ω的正負未知，那么所求的函數(shù)解析式是不是不唯一？（經(jīng)過分類討論，完成例1解答后回答這個問題）解：由圖可以看出，從6～14時的圖象是函數(shù)的半個周期的圖象，所以|A|=

(30－10)=10，b=

(30+10)=20．因為

，所以|ω|=

．當A>0，ω>0時，將A=10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ+

，k∈Z．新知探究2．求解模型則所求解析式為y=10sin(

x+

)+20，x∈[6，14]．當A<0，ω>0時，所以A=

(10－30)=－10，b=

(30+10)=20．因為

，所以ω=

．將A=－10，b=20，ω=

，x=6，y=10代入y=Asin(ωx+φ)+b，可得φ=2kπ－

，k∈Z．則所求解析式為y=－10sin(

x－

)+20，x∈[6，14]．新知探究2．求解模型而y=－10sin(

x－

)+20=－10sin(

x+

－π)+20=10sin(

x+

)+20．同理，其他兩種情況的解析式也相同．答案：無論A與ω取正還是取負，求得函數(shù)的解析式都是相同的，所以只需選擇其一進行求解即可．新知探究3．問題研究2——港口水深例2海水受日月的引力，在一定時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時返回海洋．下表是某港口某天的時刻與水深關系的預報．（1）選用一個函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系，給出整點時的水深的近似值（精確到0.001m）.新知探究3．問題研究2——港口水深（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時能進入港口？在港口能呆多久？（3）若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在兩點開始卸貨，吃水深度以0.3m/h的速度減少，那么該船在什么時間必修停止卸貨，將船駛向較深的水域？新知探究4．建模解模問題4我們知道數(shù)學建模的過程是：畫散點圖——選擇函數(shù)模型——求解函數(shù)模型，你能依據(jù)這個過程求出水深與時間符合的函數(shù)解析式嗎？請寫出解答過程并進而完成例2（1）的解答.解：（1）以時間x（單位：h）為橫坐標，水深y（單位：m）為縱坐標，在直角坐標系中畫出散點圖（如圖）．根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h刻畫水深與時間之間的對應關系．從數(shù)據(jù)和圖象可以得出：A=2.5，h=5，T=12.4，φ=0；由T=

=A=12.4，得ω=

．新知探究4．建模解模由上述關系式易得在整點時水深的近似值（表）：所以，這個港口的水深y與時間x的關系可以用函數(shù)

近似描述．新知探究5．模型應用問題5例2（2）中，貨船需要的安全深度是多少？轉化為數(shù)學問題，就是在函數(shù)的解析式中，哪個變量需要滿足什么條件，該船就可以進入港口？從圖象上看呢？答案：貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5m．從函數(shù)的解析式來看，滿足y≥5.5，該船可以進入港口；從圖象上看，就是函數(shù)

的圖象在直線y=5.5上方時，該船可以進入港口．新知探究5．模型應用解：（2）貨船需要的安全水深為4+1.5=5.5m，所以當y≥5.5就可以進港．令

，

．由計算器可得sin0.2014≈0.2．畫出兩個函數(shù)的圖象如圖．新知探究5．模型應用解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．由函數(shù)的周期性易得：在區(qū)間[0，12]內(nèi)，函數(shù)

的圖象與直線y=5.5有兩個交點A，B，因此

，或

．xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025．因此，貨船可以在零時30分左右進港，早晨5時45分左右進港；或在下午13時左右進港，下午18時左右出港．每次可以在港口停留5小時左右．新知探究5．模型應用問題6可以將上述求得的點A，B，C，D的橫坐標作為進出港時間嗎？為什么？答案：事實上為了安全，進港時間要比算出的時間推后一些，出港時間要比算出的時間提前一些，這樣才能保證貨船始終在安全水域．例如，由模型解出的凌晨進港時間約等于0.3975時，如果考慮到安全因素，在稍后的0.5時，即0時30分進港是合適的.新知探究5．模型應用問題7

例2（3）中，如果設在xh時貨船的安全水深為ym，那么y與時間x滿足怎樣的函數(shù)關系？從解析式來看，兩個函數(shù)滿足什么條件時，該船必須停止卸貨？從圖象上看呢？答案：設在xh時貨船的安全水深為ym，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2)．從函數(shù)的解析式來看，兩個函數(shù)需滿足

時，該船能夠進入港口；從圖象上看，就是函數(shù)

的圖象在直線

上方時，該船能夠進入港口．新知探究5．模型應用解：（3）設在xh時貨船的安全水深為ym，那么y