二次函數(shù)之求利潤和規(guī)律探索(學(xué)生用)

...wd......wd......wd...DSE金牌數(shù)學(xué)專題系列經(jīng)典專題系列利潤最大(小)值問題和規(guī)律探索導(dǎo)入知識(shí)點(diǎn)回憶一〕、利潤大值問題1、眾所周知,對于一次函數(shù),具有以下性質(zhì):：當(dāng)時(shí),y隨的增大而增大；當(dāng)時(shí),y隨的增大而減?。@實(shí)際上就是一次函數(shù)的增減性．利用該增減性,我們可以解決實(shí)際問題中的一些最值問題．2、利潤濕潤函數(shù)式為()〔1〕假設(shè)為()形式化成配方得，如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值〔或最小值〕．即：<1>、當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，并且當(dāng)，；<2>、當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，并且當(dāng)，．<3>、如果自變量的取值范圍是，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍內(nèi)，則當(dāng)，，如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則需考慮函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)的增減性：如果在此范圍內(nèi)隨的增大而增大，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②如果在此范圍內(nèi)隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．3、商品定價(jià)一類利潤計(jì)算公式：總利潤〔W〕=單價(jià)商品利潤×總銷售量－其他本錢二〕規(guī)律探索1、根本方法——看增幅

〔1〕如增幅相等〔實(shí)為等差數(shù)列〕：對每個(gè)數(shù)和它的前一個(gè)數(shù)進(jìn)展比擬，如增幅相等，則第n個(gè)數(shù)可以表示為：a1+(n-1)b，其中a為數(shù)列的第一位數(shù)，b為增幅，(n-1)b為第一位數(shù)到第n位的總增幅。然后再簡化代數(shù)式a+(n-1)b。

例：4、10、16、22、28……，求第n位數(shù)。

分析：第二位數(shù)起，每位數(shù)都比前一位數(shù)增加6，增幅都是6，所以，第n位數(shù)是：4+(n-1)6＝6n－2

〔2〕如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加〔即增幅的增幅相等，也即增幅為等差數(shù)列〕。如增幅分別為3、5、7、9，說明增幅以同等幅度增加。此種數(shù)列第n位的數(shù)也有一種通用求法。

根本思路是：1、求出數(shù)列的第n-1位到第n位的增幅；

2、求出第1位到第第n位的總增幅；

3、數(shù)列的第1位數(shù)加上總增幅即是第n位數(shù)。此解法雖然較煩，但是此類題的通用解法，當(dāng)然此題也可用其它技巧，或用分析觀察的方法求出，方法就簡單的多了。

〔3〕增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅為等比數(shù)列，如：2、3、5、9,17增幅為1、2、4、8.

〔4〕增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加〔即增幅的增幅也不相等〕。此類題大概沒有通用解法，只用分析觀察的方法，但是，此類題包括第二類的題，如用分析觀察法，也有一些技巧。2、根本公式〔1〕1＋2＋3＋…＋n＝；〔2〕1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝.(3)eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－；(4)eq\f(1,2n－12n＋1)＝；(5)eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝.專題講解【例1】某市的A縣和B縣春季育苗，急需化肥分別為90噸和60噸，該市的C縣和D縣分別儲(chǔ)存化肥100噸和50噸，全部調(diào)配給A縣和B縣，C，D兩縣的化肥到A，B兩縣的運(yùn)費(fèi)〔元/噸〕如下表所示．出發(fā)地運(yùn)費(fèi)目的地CDA3540B3045〔1〕設(shè)C縣運(yùn)到A縣的化肥為噸，求總運(yùn)費(fèi)(元〕與〔噸〕的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．〔2〕求最低總運(yùn)費(fèi)，并說明總運(yùn)費(fèi)最低時(shí)的運(yùn)送方案．光華農(nóng)機(jī)租賃公司共有50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)，其中甲型20臺(tái)，乙型30臺(tái).現(xiàn)將這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)派往A，B兩地區(qū)收割小麥，其中30臺(tái)派往A地區(qū)，20臺(tái)派往B地區(qū).兩地區(qū)與該農(nóng)機(jī)租賃公司商定的每天的租賃價(jià)格見下表：每臺(tái)甲型收割機(jī)的租金每臺(tái)乙型收割機(jī)的租金A地區(qū)1800元1600元B地區(qū)1600元1200元〔1〕設(shè)派往A地區(qū)臺(tái)乙型聯(lián)合收割機(jī)，租賃公司這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)一天獲得的租金為y〔元〕，求與間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍；〔2〕如果要使這50臺(tái)聯(lián)合收割機(jī)每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機(jī)租賃公司提出一條合理建議.【例2】某商場試銷一種本錢為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于本錢單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量〔件〕與銷售單價(jià)〔元〕符合一次函數(shù)，且時(shí)，；時(shí)，．〔1〕求一次函數(shù)的表達(dá)式；〔2〕假設(shè)該商場獲得利潤為元，試寫出利潤與銷售單價(jià)之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元〔3〕假設(shè)該商場獲得利潤不低于500元，試確定銷售單價(jià)的范圍．1、某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤最大2．某商店購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品，如果以單價(jià)30元銷售，那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件．根據(jù)銷售經(jīng)歷，提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價(jià)每提高1元，銷售量相應(yīng)減少20件．如何提高售價(jià)，才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤【例3】〔2006十堰市〕市“健益〞超市購進(jìn)一批20元/千克的綠色食品，如果以30元/千克銷售，那么每天可售出400千克．由銷售經(jīng)歷知，每天銷售量(千克)與銷售單價(jià)(元)(〕存在如以以下圖所示的一次函數(shù)關(guān)系式．〔1〕試求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕設(shè)“健益〞超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當(dāng)銷售單價(jià)為何值時(shí)，每天可獲得最大利潤最大利潤是多少〔3〕根據(jù)市場調(diào)查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現(xiàn)該超市經(jīng)理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價(jià)x的范圍〔直接寫出答案〕．〔青島市〕在2006年青島嶗山北宅櫻桃節(jié)前夕，某果品批發(fā)公司為指導(dǎo)今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進(jìn)展了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：銷售價(jià)x〔元/千克〕…25242322…銷售量y〔千克〕…2000250030003500…〔1〕在如圖的直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出各組有序數(shù)對〔x，y〕所對應(yīng)的點(diǎn)．連接各點(diǎn)并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)櫻桃進(jìn)價(jià)為13元/千克，試求銷售利潤P〔元〕與銷售價(jià)x〔元/千克〕之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，P的值最大【例4】如以下圖，把同樣大小的黑色棋子擺放在正多邊形的邊上，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第〔是大于0的整數(shù)〕個(gè)圖形需要黑色棋子的個(gè)數(shù)是▲．1、〔2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，18，4分〕將一些半徑一樣的小圓按如以下圖的規(guī)律擺放，請仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形有個(gè)小圓.〔用含n的代數(shù)式表示〕第1個(gè)圖形第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形第18題圖2、觀察以下等式：；；；…………則第〔是正整數(shù)〕個(gè)等式為________.【例5】觀察下面的變形規(guī)律：＝1－；＝－；＝－；……解答下面的問題：〔1〕假設(shè)n為正整數(shù)，請你猜測＝；〔2〕證明你猜測的結(jié)論；〔3〕求和：＋＋＋…＋.1、公式an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，則a2011＝______，eq\r(10)－3是第_____項(xiàng)．2、〔2011四川成都，23,4分〕設(shè),,,…,設(shè)，則S=_________(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正整數(shù))．穩(wěn)固練習(xí)：〔一〕填空題1、圖6是一組有規(guī)律的圖案，第1個(gè)圖案由4個(gè)根基圖形組成，第2個(gè)圖案由7個(gè)根基圖形組成，……，第(n是正整數(shù))個(gè)圖案中由個(gè)根基圖形組成．圖6(1)圖6(1)(2)(3)……〔二〕解答題2．某旅行社組團(tuán)去外地旅游，30人起組團(tuán)，每人單價(jià)800元．旅行社對超過30人的團(tuán)給予優(yōu)惠，即旅行團(tuán)每增加一人，每人的單價(jià)就降低10元．你能幫助分析一下，當(dāng)旅行團(tuán)的人數(shù)是多少時(shí)，旅行社可以獲得最大營業(yè)額3．有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養(yǎng)，最多只能存活兩天．如果放養(yǎng)在塘內(nèi)，可以延長存活時(shí)間，但每天也有一定數(shù)量的蟹死去．假設(shè)放養(yǎng)期內(nèi)蟹的個(gè)體質(zhì)量根本保持不變，現(xiàn)有一經(jīng)銷商，按市場價(jià)收購這種活蟹1000kg放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時(shí)市場價(jià)為每千克30元，據(jù)測算，此后每千克活蟹的市場價(jià)每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需支出各種費(fèi)用為400元，且平均每天還有10kg蟹死去，假定死蟹均于當(dāng)天全部銷售出，售價(jià)都是每千克20元．(1)設(shè)x天后每千克活蟹的市場價(jià)為p元，寫出p關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果放養(yǎng)x天后將活蟹一次性出售，并記1000kg蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(3)該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤(利潤=Q－收購總額)4、某商場購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，假設(shè)按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件，假設(shè)按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，假定每月銷售件數(shù)y(件)是價(jià)格x(元/件)的一次函數(shù)．

(1)試求y與x之間的關(guān)系式；

(2)在商品不積壓，且不考慮其他因素的條件下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能使每月獲得最大利潤每月的最大利潤是多少

．拓展訓(xùn)練5、〔南京市〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10．在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EMNH的面積S有最大值最大值是多少六、反思總結(jié)當(dāng)堂過手訓(xùn)練〔快練5分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功〕1、(湖北襄樊)襄樊市認(rèn)真落實(shí)國家關(guān)于減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),增加農(nóng)民收入的政策,從2003年開場減征農(nóng)業(yè)稅,2002年至2004年征收農(nóng)業(yè)稅變化情況見表(1)．2004年市政府為了鼓勵(lì)農(nóng)民多種糧食,實(shí)行保護(hù)收購,并對種植優(yōu)質(zhì)水稻(如中秈稻)另給予每畝15元的補(bǔ)貼(摘自《襄樊日報(bào)》2004年5月5日)．我市農(nóng)民李江家有4個(gè)勞動(dòng)力,承包20畝土地,今年春季全部種植中秈稻和棉花,種植中秈稻和棉花每畝所需勞動(dòng)力和預(yù)計(jì)每年平均產(chǎn)值見表(2)．設(shè)2004年李江家種植中秈稻和棉花的預(yù)計(jì)總收入為P元,種植中秈稻的土地為畝．表(1)年份200220032004農(nóng)業(yè)稅(元╱畝)117．2470．4438．26表(2)農(nóng)作物產(chǎn)值(元∕畝)勞力(人∕畝)中秈稻7850．15棉花12000．35李江家從國家開場減征農(nóng)業(yè)稅后兩年可少交農(nóng)業(yè)稅多少元?假設(shè)不考慮上繳農(nóng)業(yè)稅,請寫出P(元)與(畝)的函數(shù)關(guān)系式．李江家在不考慮他人和工等其他因素的前提下,怎樣安排中秈稻和棉花的種植面積才能保證P最大?最大值是多少?2、某產(chǎn)品每件本錢10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)(元)與產(chǎn)品的日銷售量(件)之間的關(guān)系如下表：假設(shè)日銷售量是銷售價(jià)的一次函數(shù)．⑴求出日銷售量(件)與銷售價(jià)(元)的函數(shù)關(guān)系式；⑵要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元此時(shí)每日銷售利潤是多少元x〔元〕152030…y〔件〕252010…3、〔2011四川綿陽18，4〕觀察上面的圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第_____個(gè)圖形共有120個(gè)。4、觀察以下計(jì)算：EQ\F(1,EQ\R(2)＋1)·(EQ\R(2)＋1)＝(EQ\R(2)－1)(EQ\R(2)＋1)＝1，(EQ\F(1,EQ\R(2)＋1)＋EQ\F(1,EQ\R(3)＋EQ\R(2)))(EQ\R(3)＋1)＝[(EQ\R(2)－1)＋(EQ\R(3)－EQ\R(2))](EQ\R(3)＋1)＝2，(EQ\F(1,EQ\R(2)＋1)＋EQ\F(1,EQ\R(3)＋EQ\R(2))＋EQ\F(1,EQ\R(4)＋EQ\R(3)))(EQ\R(4)＋1)＝[(EQ\R(2)－1)＋(EQ\R(3)－EQ\R(2))＋(EQ\R(4)－EQ\R(3))](EQ\R(4)＋1)＝3，……從以上計(jì)算過程中找出規(guī)律，并