2023學(xué)年完整公開(kāi)課版等差數(shù)列(二)

第二章數(shù)列§2.2

等差數(shù)列(二)1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).2.能運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)目標(biāo)欄目索引知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)題型探究重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)二推廣的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知a1求an，則an＝a1＋(n－1)d.(n≥1)已知am求an，則an＝am＋(n－m)d.(m≤n)思考已知等差數(shù)列{an}中的am和an，如何求d?答案

知識(shí)點(diǎn)三等差數(shù)列的性質(zhì)1.若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數(shù)列，則有數(shù)列結(jié)論{c＋an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an＋an＋k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù)，k∈N*){pan＋qbn}公差為pd＋qd′的等差數(shù)列(p，q為常數(shù))2.等差數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱性在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和.即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…….3.下標(biāo)性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則

.特別的，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有

.思考等差數(shù)列{an}中，若a5＝7，a9＝19，則a2＋a12＝___，a7＝____.返回am＋an＝ap＋aq答案am＋an＝2ap2613題型探究重點(diǎn)突破題型一等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例1

(1)已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.解析答案

(2)設(shè){an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值.解析答案反思與感悟解{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，設(shè)公差為d(d>0)，∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，∴a2＝5，又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16?d＝3或d＝－3(舍去)，∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.解決本類問(wèn)題一般有兩種方法：一是運(yùn)用等差數(shù)列{an}的性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2w，則am＋an＝ap＋aq＝2aw(m，n，p，q，w都是正整數(shù))；二是利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)與公差的結(jié)構(gòu)完成運(yùn)算，屬于通性通法，兩種方法都運(yùn)用了整體代換與方程的思想.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練1

在等差數(shù)列{an}中：(1)若a3＝5，則a1＋2a4＝____；解析答案(2)a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，則此數(shù)列a1＋a20等于______.解析a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝15.15解析由已知可得(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20)＝－24＋78?(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54?a1＋a20＝18.18題型二等差數(shù)列項(xiàng)的設(shè)法及運(yùn)算例2

已知四個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，四個(gè)數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列.解析答案反思與感悟解設(shè)四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則又因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以d>0，此等差數(shù)列為－1,2,5,8或－8，－5，－2,1.三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法.當(dāng)三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí)，可設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d列方程組求解，也可采用對(duì)稱的設(shè)法，三個(gè)數(shù)時(shí)，設(shè)a－d，a，a＋d；四個(gè)數(shù)時(shí)，設(shè)a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，利用和為定值，先求出其中某個(gè)未知量.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練2

已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的，它們的和為18，平方和為116，求這三個(gè)數(shù).解方法一設(shè)這三個(gè)數(shù)為a，b，c，則由題意得這三個(gè)數(shù)為4,6,8.方法二設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，由已知可得由①得a＝6，代入②得d＝±2，∵該數(shù)列是遞增的，∴d＝－2舍去，∴這三個(gè)數(shù)為4,6,8.題型三等差數(shù)列的綜合問(wèn)題解析答案(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并寫(xiě)出{bn}的通項(xiàng)公式；解析答案(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng).解析答案反思與感悟解決數(shù)列綜合問(wèn)題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項(xiàng).(2)利用通項(xiàng)公式，得到一個(gè)以首項(xiàng)a1和公差d為未知數(shù)的方程(組)或不等式(組).(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練3

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{}為遞減數(shù)列，則(

)A.d<0 B.d>0C.a1d<0 D.a1d>0解析設(shè)bn＝

，則bn＋1＝

，由于{}是遞減數(shù)列，則bn>bn＋1，即>.∵y＝2x是單調(diào)增函數(shù)，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.C題型四等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例4

某公司2009年經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，獲利200萬(wàn)元，從2010年起，預(yù)計(jì)其利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律，如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解析答案反思與感悟解記2009年為第一年，由題設(shè)可知第1年獲利200萬(wàn)元，第2年獲利180萬(wàn)元，第3年獲利160萬(wàn)元，…，則每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且當(dāng)an<0時(shí)，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.設(shè)第n年的利潤(rùn)為an，因?yàn)閍1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.由題意知數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，令an<0，即an＝220－20n<0，得n>11，即從第12年起，也就是從2020年開(kāi)始，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損.解決等差數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟及注意點(diǎn)(1)解答數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟：①審題，即仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意；②建模，即將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語(yǔ)言，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；③判型，即判斷該數(shù)列是否為等差數(shù)列；④求解，即求出該問(wèn)題的數(shù)學(xué)解；⑤還原，即將所求結(jié)果還原到實(shí)際問(wèn)題中.(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一定要弄清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問(wèn)題.反思與感悟解析答案跟蹤訓(xùn)練4

《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為(

)解析設(shè)自上而下9節(jié)竹子各節(jié)的容積構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其首項(xiàng)為a1，公差為d，B解析答案審題不仔細(xì)致誤易錯(cuò)點(diǎn)例5

首項(xiàng)為－24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)，則公差d的取值范圍為_(kāi)_______.返回錯(cuò)因分析解答本題，應(yīng)注意理解“從第10項(xiàng)開(kāi)始為正數(shù)”的含義，它表明“a10>0”的同時(shí)還表明“a9≤0”這一條件.解析答案誤區(qū)警示解答此類問(wèn)題，應(yīng)注意仔細(xì)審題，認(rèn)真挖掘題目中的隱含條件，并注意應(yīng)用.誤區(qū)警示返回當(dāng)堂檢測(cè)123451.在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7等于(

)A.5 B.8C.10 D.14解析方法一設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.方法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.B解析答案12345

解析由a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，C解析答案123453.已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(

)A.a1＋a101>0 B.a2＋a101<0C.a3＋a99＝0 D.a51＝51C解析∵a1＋a2＋…＋a101＝0，又∵a1＋a101＝a2＋a100＝a3＋a99＝…＝2a51，∴a51＝0＝a3＋a99.解析答案12345解析答案4.下列是關(guān)于公差d＞0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；

p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列；其中的真命題為(

)A.p1，p2 B.p3，p4 C.p2，p3 D.p1，p4解析an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因?yàn)閐＞0