陳殿友《大學(xué)數(shù)學(xué)》系列教材：5.1 方陣的特征值 特征向量與相似化簡-第一講

第五章方陣的特征值特征向量與相似化簡

本章將討論的內(nèi)容包括數(shù)域、多項(xiàng)式的根、方陣的特征值與特征向量，相似矩陣及其性質(zhì)以及在相似條件下把矩陣化簡為對角矩陣和Jordan形矩陣的相關(guān)問題.§1

數(shù)域多項(xiàng)式的根

數(shù)，是數(shù)學(xué)的一個最基本的概念.對于反映數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，其結(jié)果往往和所考慮的數(shù)的范圍有關(guān).例如多項(xiàng)式x4-2的因式分解問題，它在有理數(shù)范圍內(nèi)已經(jīng)不能再分解了，而在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)就可以分解為進(jìn)而在復(fù)系數(shù)范圍內(nèi)就可分解為

1.1

數(shù)域整理ppt可見對于同一個問題，當(dāng)所考慮的數(shù)的范圍不同時(shí)，結(jié)果就可能是不同的.因此，我們常常需要事先指明所涉及數(shù)的范圍.數(shù)域就是描述數(shù)的范圍的一個概念.

定義1.1

設(shè)F是一個數(shù)集，其中至少包括兩個不同的數(shù).如果F中任意兩個數(shù)的和、差、積、商（當(dāng)除數(shù)不為零時(shí)）仍是F中的數(shù)，則稱F為一個數(shù)域.

由定義1.1可知，任何數(shù)域F至少包含0和1.這是因?yàn)?，若α∈F，則α-

α=0∈F，由于F

中必有非零數(shù)b，于是

如果集合F中的任意兩個元素做某種運(yùn)算其結(jié)果仍在F

中，我們就說F對這種運(yùn)算封閉.于是，數(shù)域就是含有不同元素并且對四則運(yùn)算（除數(shù)不為0）封閉的數(shù)集.整理ppt

實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域和有理數(shù)域是最常用的數(shù)域.但數(shù)域決不止這三個.不難驗(yàn)證數(shù)集

有理數(shù)域是最小的數(shù)域；復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域.

以下討論問題時(shí)，凡涉及到數(shù)的，我們總假設(shè)是在復(fù)數(shù)域上進(jìn)行的.

容易驗(yàn)證，全體有理數(shù)的集合是一個數(shù)域，稱為有理數(shù)域，記為Q.全體實(shí)數(shù)的集合、全體復(fù)數(shù)的集合也都是數(shù)域，分別稱為實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域，記為R和C.整理ppt1.2

多項(xiàng)式的根與標(biāo)準(zhǔn)分解式

定義1.2

對于非負(fù)整數(shù)n及數(shù)域F上的數(shù)ai(i=1,2,…,n),變量x的形式表達(dá)式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(1)稱為數(shù)域F上的一個多項(xiàng)式.當(dāng)an≠0時(shí)，則稱（1）為一個一元n次多項(xiàng)式，非零數(shù)an稱為該多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)，a0稱為常數(shù)項(xiàng).

所有系數(shù)都是0的多項(xiàng)式0稱為零多項(xiàng)式.零多項(xiàng)式不定義次數(shù).如果為了方便，也可以認(rèn)為它的次數(shù)為-∞.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

按照根與一次因式的關(guān)系，多項(xiàng)式f(x)的每一個根xi都對應(yīng)著f(x)的一個一次因式x-xi，如果n次多項(xiàng)式(1)的全部互異的根為x1,x2,…,xt，它們的重?cái)?shù)分別為n1,n2,…,nt，則有(2)并且n1+n2+…+nt=n.(2)式右端稱為多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.例如對于多項(xiàng)式f(x)=x3+2x2+x，分解式f(x)=x(x+1)2，f(x)=(x+1)2x都是標(biāo)準(zhǔn)分解式機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.1

在復(fù)數(shù)域上，n次代數(shù)方程恰有n個根(n≥1).整理ppt

§2方陣的特征值與特征向量

一.特征值與特征向量的概念

定義2.1

對于n

階方陣A=(aij),其主對角線上n個元素之和a11+a22+…+ann稱為A的跡，記為trA.(3)

定義2.2

對于n

階方陣A=(aij),把含有字母λ的矩陣稱為A的特征矩陣.行列式|λE-

A|的值表達(dá)式是一個多項(xiàng)式，稱為A的特征多項(xiàng)式.特征多項(xiàng)式的根稱為的特征值，亦稱為特征根.

如果是特征多項(xiàng)式的單根，則稱為單特征值，否則稱為重特征值.第五章機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

例1

矩陣的特征矩陣為特征多項(xiàng)式為

Ψ(λ)=|λE-A|=λ(λ-1)(λ+2);

特征值為

λ1=0,

λ2=1,

λ3=-2.

顯然，上（下）三角形矩陣的特征值就是其主對角線上諸元素.整理ppt則有cn-1=-trA，c0=(-1)n|A|.

定理2.1

n階方陣A的特征多項(xiàng)式ψ(λ)是一個首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式；若設(shè)ψ(λ)=λn+cn-1λn-1+…

+c1λ+c0(4)

證明設(shè)n階方陣A=(aij)，則A的特征多項(xiàng)式為由行列式值的定義可知，ψ(λ)的最高次項(xiàng)必取自均布項(xiàng)(5)(λ-a11)(λ-a22)…(λ-ann).(6)

二、特征值與特征向量的性質(zhì)整理ppt

ψ(λ)的n-1次項(xiàng)也只來源于均布項(xiàng)(6).這是因?yàn)?5)式的右端行列式中任何一個異于(6)式的均布項(xiàng)至少有一個因子為某常數(shù)-aij,于是λ-aii及λ-ajj都不是該均布項(xiàng)的因子，該均布項(xiàng)最多只能是關(guān)于λ的n-2次多項(xiàng)式.而(6)式乘開后合并同類項(xiàng)，其λn-1項(xiàng)的系數(shù)為-(a11+a22+…+ann)=-trA即cn-1=-trA.

對于ψ(λ)的常數(shù)項(xiàng)c0，顯然有

c0=ψ(0)=|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|.由上面的討論，可知︱λE－A︱

整理ppt

定理2.2

設(shè)n階方陣A的全部特征值為λ1,λ2,…,λn,則trA=λ1+λ2+…+

λn.又根據(jù)根與一次因式的關(guān)系，ψ(λ)必可表示為

證明設(shè)A的特征多項(xiàng)式為ψ(λ)=λn+cn-1λn-1+…

+c1λ+c0.ψ(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn).其n-1次項(xiàng)的系數(shù)cn-1=-(λ1+λ2+…+

λn),可得trA=-cn-1=λ1+λ2+…+

λn

.整理ppt

定理2.3

設(shè)n階矩陣A的全部特征值為λ1,λ2,…,λn,則|A|=λ1

λ2…λn.

證明

由根與一次因式的關(guān)系，ψ(λ)必可表示為由定理2.1知,其常數(shù)項(xiàng)c0=(-1)n|A|.于是可知ψ(λ)的常數(shù)項(xiàng)為ψ(λ)=(λ-λ1)(λ-λ2)…(λ-λn).c0=(-1)n|A|=ψ(0)=(-λ1)(-

λ2)…(-λn)=(-1)nλ1

λ2

…λn.故|A|=λ1λ2

…λn.

推論2.1

方陣A可逆的充要條件是A的所有特征值都不為0.整理ppt

定義2.3

設(shè)λ0是n階矩陣A的一個特征值.若有n

維非零列向量α使Aα

=λ0α,則稱α為矩陣A的對應(yīng)于特征值λ0的特征向量.

由上面的定義可知，矩陣A的任一特征值λ0所對應(yīng)的特征向量都是方程組(A－λE)x=0的全部非零解向量,顯然A的關(guān)于特征值λ0所對應(yīng)的特征向量有無窮多個.

可以證明：方陣A的每一個特征向量只能對應(yīng)于某一個確定的特征值.

若向量α同時(shí)是A的對應(yīng)于不同的特征值λ1，λ2的特征向量，則有Aα=λ1α，Aα=λ2α，于是便有

(λ1-λ2)α=0，

由于α

≠0，所以λ1-λ2=0，這與λ1、λ2是不同特征值矛盾.故方陣A的每一個特征向量只能對應(yīng)于某一個確定的特征值.

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

定理2.4

對于方陣A，只要有數(shù)λ0及非零列向量α使Aα=λ0α成立，則λ0必是A的特征值,α必是A的關(guān)于特征值λ0的特征向量.

證明

由Aα=λ0α知非零向量α滿足線性方程組(λ0E-A)x=0,而該方程組有非零解，因而其系數(shù)矩陣λ0E-A必然是降秩的,于是應(yīng)有|λ0E-A|=0,可見λ0是A的特征值.再由α滿足Aα=λ0α,由定義2.3知α是A的關(guān)于特征值λ0的特征向量.整理ppt

對于方陣A，求其特征值與特征向量的方法步驟如下：1)寫出A的特征矩陣λ

E-A，并計(jì)算A的特征多項(xiàng)式ψ(λ)=|λE-A|.2）在指明的數(shù)域上，求出ψ(λ)=0的全部根，即A的全部特征值.記互異的特征值為λ1，λ2，…，λt

.3)

對于每一個λi(i=1,2,…，t)求出齊次線性方程組(λi

E-A)x=0的全部非零解，也就是A對應(yīng)于特征值λi的全部特征向量.

整理ppt三、特征值與特征向量的求法1、由︱A－λE︱=0,求A的n個特征值.2、由Ax=λx,求抽象矩陣的特征值.3、由(A－λE)x=0,求A

的特征向量.例2

在實(shí)數(shù)域上，求矩陣的特征值與特征向量.

解A的特征多項(xiàng)式為整理ppt=(λ-2)(λ2+2λ-8)=(λ-2)(λ-2)(λ+4)=0.得A的特征值為λ1=λ2=2，λ3=-4.

對于λ1=λ2=2，求解齊次線性方程組(A–λ1E)x=0，即

得基礎(chǔ)解系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt于是，矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=λ2=2的全部特征向量為k1

1+k2

2，k1,k2是不同時(shí)為零的任意實(shí)數(shù).對于λ3=-4，求解齊次線性方程組(A–λ3E)x=0，即

得基礎(chǔ)解系于是，矩陣A對應(yīng)于特征值λ3=-4的全部特征向量為k3

3，k3是不為零的任意實(shí)數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束整理ppt

例3

求矩陣的特征值和特征向量.

解:①由︱A－λE︱=0，求A的全部特征值，由得A特征值為

②由(A－λE)x=0，求A的特征向量.當(dāng)λ1=2時(shí)，由方程(A－2E)x=0得整理ppt得基礎(chǔ)解系于是，矩陣A對應(yīng)于特征值λ1=2的全部特征向量為k1

p1，k1是不為零的任意實(shí)數(shù).得基礎(chǔ)