【研究生應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】3.度量空間

第一章集合上的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

3.度量空間1整理ppt3.度量空間一、度量空間的定義和例度量空間的定義;lp空間,C[a,b]空間二、度量空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度量拓?fù)?、開集、閉集、閉包、稠密三、連續(xù)映射一致連續(xù)、Lipschitz連續(xù)、序列收斂四、完備性2整理ppt

一、度量空間的定義和例定義3.1設(shè)V是一非空集合,其中元素稱為點,:V×VR是非負(fù)泛函,滿足:(1)

x,yV,(x,y)≥0;(x,y)=0x=y(x,yV).(2)(x,y)=(y,x)(x,yV).(3)(x,z)≤(x,y)+(y,z)(x,y,zV).則稱是V上的距離函數(shù)或度量,{V,}稱為度量空間.3整理ppt設(shè){V,}是度量空間,AV.點x到A的距離以(x,A)表示,定義為

(x,A)=Inf{(x,y)|yA}.V的子集A的直徑dia(A)定義為當(dāng)A=

時,dia(A)=0;

當(dāng)A時,dia(A)=Sup{(x,y)|x,yA}.V中子集A稱為有界集,如果存在常數(shù)M>0,使

dia(A)<M.設(shè)SV,|S:S×SR是在S上的限制,它仍滿足度量三公理,因而{S,|S}是度量量空間,稱之為V的子度量空間.4整理ppt例3.1

x,yR,x與y的距離定義為

(x,y)=|x-y|,它滿足度量三條公理.實際上,(1)x,yR,(x,y)=|x-y|≥0;(x,y)=|x-y|=0x=y.(2)x,yR,(x,y)=|x-y|=|y-x|=(y,x).(3)x,y,zR,(x,z)=|x-z|≤|x-y|+|y-z|=(x,y)+(y,z).例3.2設(shè)V是R上線性空間,在V上定義內(nèi)積

(,):VVR,滿足:5整理ppt(1)

xV,(x,x)≥0;(x,x)=0x=.(2)x,yV,(x,y)=(y,x).(3)kR,x,yV,(kx,y)=k(x,y).(4)x,y,zV.(x+y,z)=(x,z)+(y,z).則稱V是歐氏空間。xV的長度定義為‖x‖=x,y∈V兩點間的距離定義為d(x,y)=‖x-y‖=可以證明：d滿足度量三公理，從而{V,d}是度量空間。6整理ppt首先證明:

x,yV,有Cauchy不等式

|(x,y)|≤‖x‖‖y‖.當(dāng)y=時,上式顯然成立.設(shè)y,t為實數(shù),置

z=x+ty則不論tR取何值,都有

(x+ty,x+ty)≥0,即(x,x)+2(x,y)t+(y,y)t2≥0.特別取則有7整理ppt由于

(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)≤(x,x)+2‖x‖‖y‖+(y,y)=(‖x‖+‖y‖)2從而有

‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.設(shè)

=x-y,=y-z(x,y,zV),則有

‖+‖≤‖‖+‖‖即

‖x-z‖≤‖x-y‖+‖y-z‖從而有

d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)8整理ppt例3.3

實數(shù)域R上的n維向量空間

Rn={(x1,x2,,xn)T|xiR,1≤i≤n},取x=(x1,x2,,xn)T,y=(y1,y2,,yn)TRnx與y的內(nèi)積為

(x,y)=yTx=x1y1+x2y2++xnyn度量為此外，在Rn上還可以定義其它度量，例如

9整理ppt顯然它們都滿足度量公理(1)和(2).只要驗證公理（3）。而=d1(x,y)+d1(y,z).由于因此10整理ppt即d

(x,z)≤d

(x,y)+d

(y,z).例3.4C[a,b]是R上的線性空間。f,gC[a,b]，f與g的內(nèi)積定義為則C[a,b]是歐氏空間，其度量為例3.5考慮lp空間(1≤p<)。11整理pptx=(x1,x2,),y=(y1,y2,)lp，它們之間距離為顯然它滿足度量公理（1）和（2）。下面將證明，它也滿足度量公理（3），從而{lp,}是度量空間。設(shè)p,qR(1<p<),先證H?lder不等式：這里，(x1,x2,,xn)T,(y1,y2,,yn)TRn.12整理ppt先證不等式考慮0<<1,則函數(shù)（x)=x

–x(0<x<)的導(dǎo)數(shù)為

′（x)=(x1–1)它在0<x<1為正，在x>1為負(fù)。因此，(x)在x=1取最大值。13整理ppt所以（x)(1)=1–(0<x<)于是，xR+，有x

≤x+(1)下面證明H?lder不等式。14整理ppt取則有于是有15整理ppt即得H?lder不等式由H?lder不等式可推出Minkowski不等式：若1≤p<,有實際上(|xi|+|yi|)p=(|xi|+|yi|)p-1(|xi|+|yi|)=(|xi|+|yi|)p-1|xi|+(|xi|+|yi|)p-1|yi|16整理ppt令zi=(|xi|+|yi|)p-1,并運用H?lder不等式，得到于是17整理ppt由此即得Minkowski不等式18整理ppt由此得三角不等式：設(shè)

I=xi-zi,=zi-yi,得讓n,得到(x,y)≤(x,z)+(z,y)(x,y,zlp)。

由上例可知，Rn上定義度量則{Rn,}是度量空間。19整理ppt例3.6

f,gC[a,b],定義度量：它滿足度量三公理，從而{C[a,b],d}是度量空間。20整理ppt定義3.2設(shè){xn}是度量空間{V，d}中序列，若存在x∈V,如果>0,自然數(shù)N,當(dāng)n>N時有d(xn,x)<則稱序列{xn}收斂于x,記作21整理ppt定理3.1設(shè){xn}是度量空間{V，d}中收斂于x序列，則（1）{xn}是有界的；（2）{xn}的極限是唯一的。證明:(1)已知取=1，則存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時有

(xn,x)<1令M=1+max{(x1,x),,(xN,x),1},則對一切n∈N,有22整理ppt設(shè)由于所以，23整理ppt二、度量空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)度量空間中開球的定義度量空間中集合的內(nèi)點、內(nèi)部等概念度量空間中開集、閉集、極限點、導(dǎo)集閉包等概念度量空間中閉集的充要條件度量空間中開集的特征；閉集的特征度量空間中序列收斂的條件24整理ppt定義3.2

設(shè){V，}是度量空間，xV,rR+.集合Br(x)={yV|(x,y)<r}稱為V中以x為中心r為半徑的開球，它稱為x點的一個鄰域。子集AV，a∈A,如果存在a的一個鄰域Br(a)A,則稱a為集合A的內(nèi)點，A的內(nèi)點的集合記作?，稱為A的內(nèi)部。二、度量空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)25整理ppt設(shè)AV，如果A=?，則稱A為開集。集合FV稱為閉集，如果V-F是開集。顯然，AV是開集～A=V-A是閉集。例3.8空集是度量空間V中開集,V是V中開集.這是顯然的.例3.9度量空間V是開球Br(x)是開集；閉球

實際上，26整理pptB=[a,b)的閉包是證明：）設(shè)A是閉集。要證：考慮xA’。來證：xA.若不然，xA.則xV-A,由于V-A是開集，27整理ppt只要證：V-A是開集。xV-A，則xA.所以x不是A的極限點。于是，存在x的一個鄰域U（x,),它不包含A的點，即U（x,)V-A.于是x是V-A的內(nèi)點，從而V-A是開集。最后，A是閉集。所以存在x的一個鄰域U（x,）V-A。即U（x,)中不包含A的點，與xA’矛盾。28整理ppt定理3.1設(shè)（V，）是度量空間，A,BV,則有當(dāng)U(x,)包含異于x的A中之點時,命題成立;當(dāng)U(x,)包含A的極限點a時,可取a的鄰域U(a,)U(x,).U(a,)中必包含有異于x的中之點.從而,U(x,)必包含有異于x的A中之點.29整理ppt因此,x是A的極限點,當(dāng)x(AB)′時,則x不是A的極限點,就是B的極限點.若不對,即x既不是A的極限點,也不是B的極限點,于是,有x的鄰域U(x,),它不包含A的點,又有x的鄰域U(x,)U(x,),它既不包含A的點,也不包含B的點,這與x是AB的極限點矛盾.30整理ppt當(dāng)xA′時,x的任一鄰域U(x,)必包含A中異于x的點.由于AB,因此,U(x,)中必包含B中異于x的點.因而,xB′.31整理ppt定理3.2設(shè)（V，）是度量空間(1),V是V中開集;(2)V中任意兩個開集之交仍是V中開集;(3)V中任意多個開集之并仍是開集.證明:(1)例3.7。(2)任取V中兩個開集U和V.當(dāng)U∩V=

時,由(1),U∩V是開集.當(dāng)U∩V時,xUV,則xU且xV.于是有x的鄰域U(x,1)U及U(x,2)V.取=min{1,2},則U(x,)UV.這表明UV是開集.(3)設(shè)U

(I)是一族開集.32整理ppt定理3.3設(shè)（V，）是度量空間(1)和V是V中閉集;(2)V任意兩個閉集之并仍是閉集;(3)V中任意多個閉集之交仍是閉集.證明:只要注意到:(1)V-V=,V-=V;(2)任取V中閉集U和V,33整理ppt定理3.4設(shè){V,}是度量空間,V中序列{xn}收斂到xV對于x的任上鄰域B

(x),存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時xn∈B

(x).證明:)>0,B

(x)={yV|(x,y)<}是V中鄰域.于是存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時有，xn∈B

(x),即(xn,x)<.所以)顯然.34整理ppt定理3.5設(shè){V,}是度量空間.集合AV是閉集

A中每個在V中收斂的序列{xn}其極限xV

必在A中。證明：）設(shè)A是閉集，{xn}A,則x是A的極限點，所以xA。）設(shè)x是A的極限點，則有{xn}A,則xA,所以A是閉集。35整理ppt定理3.6設(shè)(V,)是度量空間,AV.證明:)設(shè))顯然.36整理ppt

三、連續(xù)映射定義3.3設(shè){X,d}和{Y,}是兩個度量空間.映射F:XY在x0∈X處連續(xù)，如果>0,存在=(x0,)>0,使當(dāng)d(x,x0)<時有(F(x),F(x0))<(xX).如果F在X的每一點連續(xù)，則稱F在X上連續(xù)。映射F在點x0∈X處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)>0,存在=(x0,)>0,使F（B

(x0))B

(F(x0)).定理3.6設(shè)(V,)是度量空間，A,BV.f:AB是映射.則下列命題相互等價：37整理ppt(1)f:AB連續(xù).(2)開集OB,f-1(O)是A中開集.(3)閉集FB,f-1(F)是A中閉集.證明：（1）（2）任取開集OB，xf–1(O),f(x)O,所以有f(x)的鄰域U（f(x),)O,于是f–1(O)包含x的一個鄰域U（x,)f–1(O),即x是f–1(O)的內(nèi)點，從而f–1(O)是開集。38整理ppt（2）（3）設(shè)FB是任一閉集，B–F=BF′是B中開集，則f–1(B–F)是A中開集。而f–1(F)=f–1(B–(B–F))=f–1(B)–f–1(B–F)所以，f–1(F)是閉集（A作為R的子拓?fù)淇臻g為開集）。（3）（1）x∈X,>0,B

(F(x))是Y中開集，從而Y-B

(F(x))是Y中閉集。因此，39整理ppt定義3.7設(shè)(X,d),(Y,)是度量空間，映射f:XY稱為在X上一致連續(xù),如果>0,>0,只與有關(guān),當(dāng)|x-y|<(x,yX)時,有|f(x)-f(y)|<.映射F：X→Y稱為在X上Lipschitz連續(xù)的，如果存在C>0,使Lipschitz連續(xù)的映射必一致連續(xù).40整理ppt例3.8設(shè)X=Rn,Y=Rm都是歐氏空間,因而是度量空間,歐氏度量為其中x=(x1,x2,,xn)T,y=(y1,y2,,yn)TRn

u=(u1,u2,,um)T,v=(v1,v2,,vm)TRm.41整理ppt映射F:XY為它是Lipschitz連續(xù)的.這里,FijR(1≤i≤m,1≤j≤n).此映射的分量表達(dá)式為若取x0X,v0=F(x0),則42整理ppt于是有

(v,v0)≤Cd(x,x0)這里因此F是Lipschitz連續(xù)的.43整理ppt定理3.4

設(shè){X,d}和{Y,}是度量空間,F:XY是映射.則F在X上連續(xù)對于X中任一收斂序列{xn},有

證明:)設(shè)F在X上連續(xù)，xn→x(n→∞),任取Y中開集B，F(xiàn)(x)∈B,所以，x∈F-1(B),于是存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時，xn∈F-1(B),F(xn)∈B,因此44整理ppt)對于X中任一收斂序列{xn},設(shè)要證:F在X上連續(xù).若不對,即F在x*不連續(xù),則存在

0>0.>0,存在xX,使d(x,x*)<,而(F(x),F(x*)≥0.45整理ppt特別取

1=1,得x1X,使d(x1,x*)<1,(F(x1),F(x*))≥0;

46整理ppt即得矛盾.47整理ppt

四、完備性

定義4.1設(shè){V,}是度量空間,V中序列{xn}稱為Cauchy列(或基本列),如果

>0,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,n>N時有

(xm,xn)<.顯然,V中收斂序列{xn}必為Cauchy列.實際上,設(shè)48整理ppt則>0,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,n>N時有于是(xm,xn)≤(xm,x)+

(xn,x)<

我們知道,R中Cauchy列一定收斂.但在度量空間中這一結(jié)論一般不成立.例如,X={xR|0<x≤1},d(x,y)=|x–y|,是Cauchy列,但如果度量空間{V,}中每一Cauchy列均在V中收斂,則稱V是完備的,稱為完備度量.49整理ppt例3.9（1）度量空間(V,)中Cauchy列{xn}必有界；（2）若{xn}是度量空間(V,)中Cauchy列，且存在收斂子列證明:(1)設(shè){xn}V為Cauchy列，取=1,存在自然數(shù)n0,使當(dāng)m,n>n0時有(xm,xn)<1,則有(xm,xn)≤M+1(m,n=1,2,…)50整理ppt(2)由于{xn}為Cauchy列，所以取n2=max{n0,n1},當(dāng)n,nk>n2時有

51整理ppt例3.10R是完備的.證明：先證：任何實數(shù)列{xn}必有單調(diào)子列。記Ep={xp,xp+1,…}(p=1,2,…)當(dāng)每個集合Ep都有最大值時，選取當(dāng)存在某個Ep={xp,xp+1,…}無最大值時，則對任意n1>p,52整理ppt于是{xp+1,xp+2,…}中必有大于xp的，取為得到再證：R中的任何Ccauchy列{xn}是收斂的。由于{xn}是有界的，所以{xn}有一個單調(diào)有界的子列從而，{xn}收斂。53整理ppt例3.11lp(1≤p<∞)是完備的。證明：任取lp中一Cauchy列{xn},設(shè)xn=(

1(n),2(n),,

I(n),)lp則>0,存在自然數(shù)N,當(dāng)m,n>N時有于是當(dāng)m,n>N時有|

i(m)

i(n)|<(i=1,2,)因此,對每個i(i=1,2,),{

i(1),i(2),,

i(n),}中R中Cauchy列.54整理ppt從而因此讓k,對n>N,有這里x*=(

1,2,)lp.實際上,取=1,存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時有(xn,x*)<155整理ppt而因此.lp是完備的.由此可見,Rn是完備的.例4.2{C[a,b],d}是完備的,其中實際上.任取Cauchy列{fn(x)}C[a,b],56整理ppt>0,存在自然數(shù)N,當(dāng)n>N時有|fn(x)–fn(x)|≤d(fn,fm)<(x[a,b])于是,對每一個固定x[a,b]fn(x)f(x)(n),而{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x),所以,f(x)C[a,b].從而,C[a,b]是完備的.下面討論度量空間的幾個完備性定理.定理4.1完備度量空間{V,}完備A是閉集.57整理ppt對于每一個開球即(a,yn)<{yn}是A中Cauchy列由于A是完備的，所以aA,即A是閉集。）設(shè)A是閉集。任取A中Cauchy列{yn},由于{yn}V,且是完備，所以，但y*是怕極限點，而A是閉集，所以，y*A,從而，A是完備的。證明:)設(shè)A是完備的。任取aA′.58整理ppt)類似.不完備的度量空間是否可在某種意義下成為完備的度量空間?這不僅是必要的而且是可能的.定義4.2度量空間{X,d}稱為可完備化的,如果存在度量空間{X*,d*},滿足:(1)存在{X*,d*}的子度量空間{Z,d*},它在X*中稠密,且Z與X是等度的;(2)X*是完備的.稱X*是X的完備化空間.59整理ppt可以證明:每一個度量空間都可完備化.(二)壓縮映射與不動點原理定義4.3設(shè){X,d}是度量空間,映射F:XY稱為壓縮映射,如果存在常數(shù)k,滿足0≤k<1,使

x,yX,有d(F(x),F(y))≤kd(x,y).其中k稱為壓縮系數(shù).顯然,壓縮映射必是Lipschitz的,從而是致連續(xù)的.定義4.4設(shè)X是拓?fù)淇臻g,xX稱為映射F:XY60整理ppt的不動點,如果x=F(x).顯然,線性變換F:RnRn有不動點零向量,這是因