2022-2023學(xué)年陜西省西安市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第3次月考數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安市高二下學(xué)期第3次月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解絕對(duì)值不等式求出集合A，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】，又，所以.故選：B.2．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意首先計(jì)算復(fù)數(shù)的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由題意可得，則.故選：B.3．如圖是某三棱錐的三視圖，已知網(wǎng)格紙的小正方形邊長(zhǎng)是1，則這個(gè)三棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．7【答案】C【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，求出棱長(zhǎng)，即可判斷.【詳解】由三視圖可得幾何體的直觀圖如下所示：其中，，，且平面，，所以，，，所以三棱錐中最長(zhǎng)棱為.故選：C4．給出下列四個(gè)選項(xiàng)中，其中正確的選項(xiàng)有（

）A．“”是方程“表示橢圓的充要條件”，B．已知表示直線(xiàn)，，表示兩個(gè)不同的平面，若，，則，C．命題“，使得”的否定是：“，均有”，D．函數(shù)的圖像必過(guò)．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的定義可判斷A,根據(jù)空間中兩平面的關(guān)系可判斷B,由特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題可判斷C，由對(duì)數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)問(wèn)題可判斷D.【詳解】若表示橢圓，則需要滿(mǎn)足，解得且，故“”不是方程“表示橢圓的充要條件”，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,若，，則，可能相交也可能平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,命題“，使得”的否定是：“，均有”，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,函數(shù)的圖像必過(guò),故D正確，故選：D5．已知向量，且實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（

）A． B． C． D．6【答案】D【分析】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合即可求出.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，化為，觀察圖形可得，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值為6.故選：6.6．已知的圖象如圖，則的解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖象確定函數(shù)的定義域，奇偶性，以及函數(shù)值的大小即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的定義域?yàn)椋x項(xiàng)B，的定義域?yàn)?，由此即可排除選項(xiàng)；函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即為奇函數(shù)，而選項(xiàng)A,，，所以為偶函數(shù)，由此可排除選項(xiàng)A；根據(jù)圖象可知，而選項(xiàng)D,，,由此可排除D，選項(xiàng)C滿(mǎn)足圖象特征.故選：C.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意轉(zhuǎn)化為，即在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】，依題意可得在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.故.故選：D8．如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)直線(xiàn)截這個(gè)三角形可得位于此直線(xiàn)左方的圖象的面積為，則函數(shù)的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)條件列出分段函數(shù)的解析式，再判斷函數(shù)的圖象.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此段為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的一部分，當(dāng)時(shí)，，此段為開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的一部分，對(duì)稱(chēng)軸為，滿(mǎn)足條件的只有C.故選：C9．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)是偶函數(shù)和得到是的一個(gè)周期，然后利用周期性求函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，因?yàn)椋?，則是的一個(gè)周期，因?yàn)椋?，?故選：C.10．米斗是稱(chēng)量糧食的量器，是古代官倉(cāng)?糧棧?米行及地主家里必備的用具?如圖為一倒正四棱臺(tái)型米斗，高為40cm.已知該正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為50cm的球O的球面上，且一個(gè)底面的中心與球O的球心重合，則該正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意作出正四棱臺(tái)的對(duì)角面，為外接球球心，為線(xiàn)段中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則即為所求角.【詳解】由題意，作出正四棱臺(tái)的對(duì)角面，如圖為正四棱臺(tái)上底面正方形對(duì)角線(xiàn)，為正四棱臺(tái)下底面正方形對(duì)角線(xiàn)，為外接球球心，為線(xiàn)段中點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則即為所求角.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以正四棱臺(tái)的側(cè)棱與底面所成角的正弦值為.

故選:D.11．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，那么關(guān)于的方程的不同實(shí)根的個(gè)數(shù)是（

）A．6個(gè) B．4個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，再作出圖象，而由方程可知，再利用圖象即可得到根的個(gè)數(shù).【詳解】，令得，不妨令，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，方程可得，而，，由的單調(diào)性并作出圖象可知直線(xiàn)分別過(guò)點(diǎn)，與函數(shù)圖象均有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程的根的個(gè)數(shù)是4個(gè).

故選：B.12．已知過(guò)拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)C于P，Q兩點(diǎn)，交圓于M，N兩點(diǎn)，其中P，M位于第一象限，則的值不可能為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】設(shè)出直線(xiàn)PQ方程并與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線(xiàn)定義結(jié)合均值不等式即可求出的范圍．【詳解】拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，圓的圓心，半徑1，設(shè)，依題意，設(shè)直線(xiàn)PQ方程為：，由，消去x并整理得：，則有，，，同理，于是得，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）所以的值只要不小于4即可取到，則選項(xiàng)A不可能取到，選項(xiàng)B、C，D均可能取到．故選：A二、填空題13．記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，即，即，即，解?故答案為：14．若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且與函數(shù)的圖像相切，則該直線(xiàn)的斜率為.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程，然后將原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出，再將代入導(dǎo)函數(shù)中可求出切線(xiàn)的斜率.【詳解】因?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)為，所以，所以切線(xiàn)方程為，又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線(xiàn)方程的斜率為.故答案為：15．設(shè)、為正數(shù)，若直線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)為，則的最小值為.【答案】【分析】分析可知，直線(xiàn)過(guò)圓心，可得出，再將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由可得，故圓的直徑是，所以直線(xiàn)過(guò)圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故答案為：.16．南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問(wèn)題”，在他的專(zhuān)著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3個(gè)，第三層放6個(gè)，第四層放10個(gè)第n層放個(gè)物體堆成的堆垛，則．

【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的遞推關(guān)系，利用累加法求出通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.【詳解】依題意，在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，因此，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.故答案為：三、解答題17．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由底面可得，又，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．?）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因?yàn)椋?，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．因?yàn)?，所以，，，．從而．所以，即．下同方法?[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法

由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線(xiàn)垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線(xiàn)上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且___________.(1)求角的大小；(2)已知，，點(diǎn)在邊上，且，求線(xiàn)段的長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡(jiǎn)，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡(jiǎn)可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【詳解】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而，故；若選③，則，即，則，而，故；（2）如圖示：,故，故,在中，設(shè)，則，則，即，解得，或（舍去）故.19．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．(1)確定的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由和可求得，驗(yàn)證可知滿(mǎn)足題意，由此可得解析式；（2）任取，由可得結(jié)論；（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)定義域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）為定義在上的奇函數(shù)，，解得：，，解得：；當(dāng)，時(shí)，，，滿(mǎn)足為奇函數(shù)；綜上所述：.（2）在上單調(diào)遞增；證明如下：任取，；，，，，，在上單調(diào)遞增.（3）為定義在上的奇函數(shù)，由得：，又在上單調(diào)遞增，，解得：，不等式的解集為.20．某村為提高村民收益，種植了一批蜜柚，現(xiàn)為了更好地銷(xiāo)售，從該村的蜜柚樹(shù)上隨機(jī)摘下了100個(gè)蜜柚進(jìn)行測(cè)重，測(cè)得其質(zhì)量(單位：克)均分布在區(qū)間內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)按分層隨機(jī)抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間的蜜柚中隨機(jī)抽取5個(gè)，再?gòu)倪@5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)，求這2個(gè)蜜柚質(zhì)量均小于2000克的概率；(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹(shù)上大約還有5000個(gè)蜜柚待出售，某電商提出兩種收購(gòu)方案：.所有蜜柚均以40元/千克收購(gòu)；.低于2250克的蜜柚以60元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu)，高于或等于2250克的蜜柚以80元/個(gè)的價(jià)格收購(gòu).請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為該村選擇收益最好的方案.【答案】(1)(2)選擇方案【分析】（1）由題知，應(yīng)在質(zhì)量為的蜜柚中抽取2個(gè)和3個(gè).記抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，列舉解決即可.（2）由頻率分布直方圖計(jì)算得，按方案收購(gòu)總收益為(元)，按方案收購(gòu)總收益為(元)，由于，即可解決.【詳解】（1）由題圖可得蜜柚質(zhì)量在區(qū)間和的比為2∶3，所以應(yīng)分別在質(zhì)量為的蜜柚中抽取2個(gè)和3個(gè).記抽取的質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，質(zhì)量在區(qū)間的蜜柚分別為，則從這5個(gè)蜜柚中隨機(jī)抽取2個(gè)的情況共有10種：其中質(zhì)量均小于2000克的僅有這1種情況，所以所求概率為.（2）方案好，理由：由題中頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在區(qū)間的頻率為，同理，蜜柚質(zhì)量在區(qū)間的頻率依次為，若按方案收購(gòu)：由題意知各區(qū)間的蜜柚個(gè)數(shù)依次為，于是總收益為(元).若按方案收購(gòu)：由題意知蜜柚質(zhì)量低于2250克的個(gè)數(shù)為，蜜柚質(zhì)量高于或等于2250克的個(gè)數(shù)為，所以總收益為(元).因?yàn)椋苑桨傅氖找姹确桨傅氖找娓?，?yīng)該選擇方案.21．已知等軸雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，焦距為.(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩支分別交于、兩點(diǎn)，①求的取值范圍；②若是關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】(1)(2)①；②證明見(jiàn)解析，【分析】（1）依題意可得，解得、，即可求出方程；（2）設(shè)直線(xiàn)，，聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，消元、得到、及；①根據(jù)且得到方程組，解得即可；②表示出的方程，令求出，即可得解.【詳解】（1）由題意可得，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線(xiàn)，聯(lián)立消去整理可得，則，又，，①因直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩支，所以且，即；②設(shè)，令，則，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).22．已知函數(shù)．(1)若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)且．若，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)含參不等式，孤立參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，即可求得參數(shù)a的取值范圍；（2）根據(jù)函數(shù)的