概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第十四講

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第十四講主講教師：郭念國河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科。所以，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求統(tǒng)計(jì)規(guī)律,就應(yīng)該對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量的觀測(cè)。第五章極限定理隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性只有在相同條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)才能呈現(xiàn)出來。

研究隨機(jī)現(xiàn)象的大量觀測(cè)，常采用極限形式，由此導(dǎo)致了極限定理的研究。極限定理的內(nèi)容很廣泛,最重要的有兩種:

“大數(shù)定律”和“中心極限定理”。對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行大量重復(fù)觀測(cè)，各種結(jié)果的出現(xiàn)頻率具有穩(wěn)定性。

§5.1大數(shù)定律大量地?cái)S硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中廢品率5.1.1切比雪夫不等式定理1:設(shè)隨機(jī)變量X有期望μ和方差σ2，則對(duì)任給的ε>0,有或證明：只對(duì)X

是連續(xù)型情況加以證明。設(shè)X

的概率密度函數(shù)為

f(x)，則有放大被積函數(shù)放大積分域5.1.2大數(shù)定律首先引入隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立的概念。定義1：設(shè)X1,X2,…是一隨機(jī)變量序列。如果對(duì)任意的n>1，X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,則稱X1,X2,…相互獨(dú)立。幾個(gè)常見的大數(shù)定律定理2(切比雪夫大數(shù)定律):

設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…相互獨(dú)立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2，i=1,2,…。則對(duì)任意的ε>0，有證明：令n→∞，并注意到概率小于等于1，得(1)式。定理證畢。

該大數(shù)定律表明：無論正數(shù)ε怎樣小,只要n充分大，事件發(fā)生的概率均可任意地接近于1。即當(dāng)

n充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)變量，取值接近于其數(shù)學(xué)期望μ

的概率接近于1。在概率論中，將(1)式所表示的收斂性稱為隨機(jī)變量序列依概率收斂于μ，記為。下面再給出定理2的一種特例——貝努里大數(shù)定律。設(shè)nA是

n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，p是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率。引入于是,有下面定理。設(shè)nA是

n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻數(shù)，p是A發(fā)生的概率，對(duì)任給的ε>0，有定理3(貝努里大數(shù)定律):或貝努里大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率nA

/

n與事件A發(fā)生的概率p有一定偏差的概率很小。下面給出獨(dú)立同分布條件下的大數(shù)定律,它不要求隨機(jī)變量的方差存在。設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2,…獨(dú)立同分布，有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ,i=1,2,…，則對(duì)任給ε

>

0，有定理4(辛欽大數(shù)定律):

中心極限定理是棣莫弗(DeMoivre)在18世紀(jì)首先提出的，到現(xiàn)在內(nèi)容已十分豐富。在這里，我們只介紹其中兩個(gè)最基本的結(jié)論?！?.2中心極限定理當(dāng)

n

無限增大時(shí)，獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和的極限分布是正態(tài)分布；2.當(dāng)

n很大時(shí)，二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似。由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身，而只考慮其標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的極限分布。的極限分布?？梢宰C明：當(dāng){Xn}滿足一定條件時(shí),Zn的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布?？紤]概率論中，常把隨機(jī)變量之和標(biāo)準(zhǔn)化后的分布收斂于正態(tài)分布的定理稱為中心極限定理。中心極限定理的幾種簡單情形。下面給出獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列和的中心極限定理，稱作列維——林德伯格(Levy——Lindberg)定理。定理1(列維——林德伯格定理)：設(shè)X1,X2,…是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且E(X1)=μ,Var(X1)=σ2，對(duì)任給x∈(-∞,∞),均有其中Φ(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的分布函數(shù)。還有另一記法:定理2(棣莫佛——拉普拉斯定理):

定理

2

表明:當(dāng)

n

很大時(shí)，二項(xiàng)分布

Yn

標(biāo)準(zhǔn)化后的分布近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)。設(shè)隨機(jī)變量Yn服從參數(shù)為(n,p)

的二項(xiàng)分布(0<p<1)

，則對(duì)任意x∈(-∞,∞)，均有例1：設(shè)一批產(chǎn)品的強(qiáng)度服從期望為14,方差為4的分布。每箱中裝有這種產(chǎn)品100件。求(1).每箱產(chǎn)品的平均強(qiáng)度超過14.5的概