鏈?zhǔn)椒峭暾刂葡到y(tǒng)的魯棒狀態(tài)反饋控制

鏈?zhǔn)椒峭暾刂葡到y(tǒng)的魯棒狀態(tài)反饋控制

近年來，非完全系統(tǒng)的控制引起了人們的興趣并進(jìn)行了廣泛的研究。非完全系統(tǒng)不滿足布局局長要求的高維鏈反演率，即高維鏈反演率的低維鏈反演率無法確定為平衡。因此，人們發(fā)現(xiàn)了許多其他的解釋方法。目前，非完全系統(tǒng)的反擊法一般分為三種類型：連續(xù)時(shí)間變化反饋法、非連續(xù)反饋控制法和混合反饋控制法。更詳細(xì)的數(shù)據(jù)和參考文獻(xiàn)可以參考相關(guān)調(diào)查報(bào)告。消噪分析通?；诰€性運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)理論和barbalat’s理論。高維鏈系統(tǒng)的非連續(xù)性變化通常采用反演反演法來解決。一般非完整系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)是通過合適的狀態(tài)和輸入轉(zhuǎn)換,將其轉(zhuǎn)變成控制器易于設(shè)計(jì)的規(guī)范形式.利用規(guī)范形式的特殊代數(shù)結(jié)構(gòu),在非完整系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題中,人們提出了各種各樣的反饋策略.近幾年,在建模和參數(shù)不確定的動(dòng)態(tài)非完整系統(tǒng)的鎮(zhèn)定中,Ge提出了自適應(yīng)控制策略.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制已應(yīng)用于具有非完整約束的移動(dòng)機(jī)器人的鎮(zhèn)定控制中.在輪式移動(dòng)機(jī)器人的全局漸進(jìn)鎮(zhèn)定中,Hespanha提出了基于監(jiān)督自適應(yīng)控制的混合控制.筆者利用Input-statescaling變換方式和Backstepping反推法相結(jié)合的設(shè)計(jì)策略,討論了一類具有很強(qiáng)的非線性干擾和很強(qiáng)漂移項(xiàng)的鏈?zhǔn)椒峭暾刂葡到y(tǒng)的鎮(zhèn)定問題,設(shè)計(jì)出魯棒狀態(tài)反饋控制律.本文的主要貢獻(xiàn)如下:(1)利用Input-statescaling變換方式解決了在x0子系統(tǒng)中,參數(shù)更新和很強(qiáng)的非線性漂移引起的u0=0的問題,并對系統(tǒng)的維數(shù)在沒有任何限制的情況下,把Backstepping反推法的技術(shù)應(yīng)用于不確定鏈?zhǔn)椒峭暾刂葡到y(tǒng)中.(2)設(shè)計(jì)的控制器使得系統(tǒng)具有很好的動(dòng)態(tài)和靜態(tài)的性能,并有很好的魯棒性.1相關(guān)控制考慮如下的鏈?zhǔn)椒峭暾刂葡到y(tǒng):˙x0=d0(t)u0+?0,d(t,x0)˙xi=di(t)u0xi+1+?i,d(t,x0,x,u0)˙xn=dn(t)u1+?n,d(t,x0,x,u0)1≤i<n}(1)其中:u0和u1是控制輸入;x=(x0,…,xn)∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài);函數(shù)di(t)和?i(t)表示模型誤差和系統(tǒng)忽略的動(dòng)態(tài)不確定性.當(dāng)di(t)=0和?i(t)=0(0≤i<n)時(shí),系統(tǒng)(1)為一般的鏈?zhǔn)椒峭暾到y(tǒng).對于系統(tǒng)(1),作下述兩項(xiàng)假設(shè):假設(shè)1對任意的0≤i≤n,存在已知的正實(shí)數(shù)ci1和ci2,使得ci1≤di(t)≤ci2,?t≥0(2)假設(shè)2對任意的1≤i≤n,存在已知的正實(shí)數(shù)c03和連續(xù)可微非負(fù)函數(shù)?i,滿足以下的不等式:|?0,d(t,x0)|≤c03|x0|,c03>0|?i?d(t,x0,x,u0|≤|(x1,?,xi)|?i?(x0,?,xi,u0)}(3)其中,(t,x0,x,u0)在R+×R×Rn×R中.由假設(shè)1,選擇如下的控制:u0=-k0x0(4)其中,k0>c03/c01>0.考慮Lyapunov函數(shù)V0=x20/2.對V0求導(dǎo),得˙V0=x0(-d0k0x0+?0)≤(-d0k0+c03)x20≤0(5)從上面的分析可以看出,在系統(tǒng)(1)中,當(dāng)t→∞時(shí),x0的狀態(tài)可以通過式(4)中設(shè)計(jì)的u0達(dá)到全局鎮(zhèn)定.當(dāng)u0=0時(shí),采用了全局Input-to-statescaling變換方式zi=x0/un-i0,0≤i≤n(6)在z坐標(biāo)下,x系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)化成˙x0=d0u0+?0,d˙zi=di(t)zi+1+—?i,d(t,x0,x)˙zn=dn(t)u1+—?n,d(t,x0,x)1≤i≤n-1}(7)對任意的1≤i≤n-1,—?i?d=?i,d(t,x0,x,-k0x0)/un-i0-(n-i)zi?[-k0d0x0+?0,d(t,x0)]/x0(8)引理1對任意的1≤i≤n-1,存在連續(xù)可微非負(fù)函數(shù),滿足如下的不等式:|—?i,d(t,x0,x)|≤|(z1,?,zi)|—?i(x0,z1,?,zi)(9)證明在假設(shè)1,2下,結(jié)論可由式(6)直接給出.2虛擬控制輸入基于Backstepping的方法,將系統(tǒng)(7)轉(zhuǎn)化成˙zi=di(t)zi+1+—?i,d(t,x0,x)˙zn=dn(t)u1+—?n,d(t,x0,x)1≤i≤n-1}(10)控制u1的設(shè)計(jì)步驟可以分為n步.第1步:定義ξ1=z1,ξ2=z2-α1(11)α1可看作是虛擬的控制輸入,則z1子系統(tǒng)變?yōu)楱Bz1=d1z2+—?1,d(t,x0,x)選擇如下的Lyapunov函數(shù)為:V1=ξ21/2(12)由引理1,對式(12)求導(dǎo)可得˙V1≤d1(t)ξ1z2+ξ21—?1(x0,z1)(13)由假設(shè)1,選擇虛擬控制函數(shù)α1,即α1(x0,z1)=-k1ξ1-?—1(x0,z1)ξ1/c11其中,k1>0.可以看出α1是連續(xù)可微函數(shù),并且滿足α1=0(x0∈R).則不等式(13)變?yōu)閂˙1≤-k1d1(t)ξ12+d1(t)ξ1ξ2(14)其中,d1ξ1ξ2在下一步的設(shè)計(jì)中可以消掉.第i(0≤i≤n-1)步:設(shè)在i-1步中,ξi=zi-αi-1,設(shè)計(jì)的虛擬控制函數(shù)αi-1連續(xù)可微,且滿足αi-1(x0,0,?,0)=0,?αi-1(x0,0,?,0)?x0=0,?x0∈R(15)對ξi求導(dǎo),得ξ˙i=di(t)ξi+1+di(t)αi+?—i,d-?αi-1?x0[d0(t)u0+?0d]-∑j=1i-1?αi-1?zj[dj(t)zj+1+?—j,d](16)其中,ξi=zi+1-αi(x0,z1,…,zi).考慮如下的Lyapunov函數(shù):Vi=Vi-1(ξ1,?,ξi-1)+ξi2/2(17)對Vi求導(dǎo)可得V˙i≤-∑j=1i-1(kjdj(t)-i+1+j)ξj2+di-1ξi-1ξi+ξi{di(t)ξi+1+di(t)αi+Φ—i,d-?αi-1?x0[d0(t)u0+Φ0,d]-∑j=1i-1?αi-1?zj[dj(t)zj+1+Φj,d]}(18)根據(jù)假設(shè)和均值定理,必定存在連續(xù)非負(fù)函數(shù)pi(x0,z1,…,zi),滿足di-1ξi-1ξi+ξi{?—i?d-??i-1?x0[d0(t)u0+?0,d]-∑j=1i-1??i-1?zj[dj(t)zj+1+?—j,d]}≤∑j=1i-1ξj2+ξj2pi(x0,z1,?,zi)(19)則不等式(18)可以寫為V˙i≤-∑j=1i-1(kjdj(t)-i+j)ξj2+di(t)ξiξi+1+ξi2pi.選擇虛擬控制輸入αi為αi=-kiξi-ξipi(x0,z1,?,zi)/ci1(20)其中,ki>0.可以得出V˙i≤-∑j=1i-1(kjdj(t)-i+j)ξj2+di(t)ξiξi+1(21)其中,di(t)ξiξi+1可以在下一步設(shè)計(jì)中消掉.可以得出虛擬控制輸入αi是連續(xù)可微函數(shù),并且滿足αi=0(x0∈R).第n步:考慮整個(gè)z子系統(tǒng),假設(shè)Vn-1和αn-1已經(jīng)設(shè)計(jì)完畢,選擇如下的Lyapunov函數(shù):Vn=Vn-1(ξ1,?,ξn-1)+ξn2/2(22)其中,ξn=zn-αn-1.則式(10)的最后方程可寫成ξ˙n=dn(t)u1+?—n,d-?αn-1?x0(d0(t)u0+?0?d)-∑j=1n-1?αn-1?zj(dj(t)zj+1+?—j,d)(23)對Vn求導(dǎo),得到V˙n≤-∑j=1n-1(kjdj(t)-n+1+j)ξj2+dn-1(t)ξn-1ξn+ξn{dn(t)u1+?—n,d-?αn-1?x0[d0(t)u0+?0,d]-∑j=1n-1?αn-1?zj[dj(t)zj+1+?—j,d]}(24)與第2到第n-1步類似,存在的連續(xù)可微非負(fù)函數(shù)pi,使得dn-1ξn-1ξn+ξn{?—n,d-?αn-1?x0[d0(t)u0+?0,d]-∑j=1n-1?αn-1?zj[dj(t)zj+1+?—j,d]}≤∑j=1n-1ξj2+ξn2pn(x0,z1,?,zn)(25)選擇控制輸入u1,得u1=-knξn-ξnpn(x0,z1,…,zn)/cn1(26)結(jié)合假設(shè)1,可以得到V˙n≤-∑j=1n[kjdj(t)-n+j]ξj2(27)因V˙n≤0,ki滿足ki≥(n-i/ci1)(2≤i≤n).定理1在假設(shè)1情況下,對不確定非完整控制系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)u0和u1控制u0={-k0x0?x(0)≠0u*?x(0)=0(28)u1={-knξn-ξnpn(x0,z1,?,zn)/cn1?x(0)≠0u1*?x(0)=0(29)其中:u*0,u*1為不等于0的常量;k1≥c13/c11,并且ki≥(n-i)/ci1,2≤i<nξi=zi-αi-1(x0,z1,…,zi-1),2≤i≤nαi=-kiξi-ξipi(x0,z1,…,zi)/ci12≤i≤n-1則控制(28)和(29)可使系統(tǒng)(1)全局鎮(zhèn)定.證明選擇Lyapunov函數(shù)V=V0+∑i=1n(ζi2/2),對其時(shí)間求導(dǎo)得出V˙≤-(d0k0-c03)x02-∑j=1n[kj?dj(t)-n+j]ξj2.令E=(x0,ζ1,…,ζn)∈Ln+1∞.按LaSalle不變定理,可得出當(dāng)t→∞時(shí),E(t)→0.由上面推導(dǎo)可知,虛擬控制輸入αi(0,…,0)=0,1≤i≤n-1和實(shí)際控制u1(0,…,0)=0,且當(dāng)t→∞時(shí),E(t)→0.由此得當(dāng)t→∞時(shí),(x0(t),z(t))→0.進(jìn)一步可得,當(dāng)t→∞時(shí),(x0(t),x(t))→0.3控制律的生成為驗(yàn)證所提出控制律的有效性,考慮如下受非完整約束的輪式機(jī)器人為仿真對象:x˙=p1vcosθy˙=p1vsinθθ˙=p2ω}(30)其中,p1和p2為已知參數(shù),且滿足pmin≤p1,p2≤pmax,0<pmin<pmax<∞.可以看出,系統(tǒng)(30)不屬于系統(tǒng)(1),但通過以下的轉(zhuǎn)變——x0=θ,x1=xsinθ-ycosθ,x2=xcosθ+ysinθ,u0=ω,u1=v系統(tǒng)(30)可以轉(zhuǎn)為如下屬于系統(tǒng)(1)的形式:x˙0=p2u0x˙1=p2x2u0x˙2=p1u1-p2x1u0}(31)在此,假設(shè)x(0)≠0.根據(jù)上面的設(shè)計(jì)步驟,可以得到如下的控制律:u0=-k0x0(32)u1=-k2ξ2-[(1+k1)pmax/pmin]ξ2-(pmax/4pmin)(k0+k0k1-k02x02-2k1-k12)2ξ2(33)其中,k0>0,k1>1,k2>0.并且z1=x1/u0,z2=x2,ξ1=z1,ξ2=z2-α1=z2+(1+k1)ξ1.選擇p1=p2=1,pmin=1,pmax=2,k0=0.5,k1=2,k2=1.選擇初始狀態(tài)(x(0),y(0