五年級(jí)奧數(shù)幾何五大模型（C級(jí)）學(xué)生版

五大模型（二）五大模型（二）知識(shí)框架知識(shí)框架等積模型①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；③夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖；反之，如果，則可知直線平行于．④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、共角定理（鳥頭定理）兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．三、蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系．梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的對(duì)應(yīng)份數(shù)為．四、相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型①；②．所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長的一半．相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形．五、共邊定理（燕尾定理）有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。共邊定理：設(shè)直線AB與PQ交于點(diǎn)M，則特殊情況：當(dāng)PQ∥AB時(shí)，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB例題精講例題精講一、三角形相似模型圖30-10是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米．問：陰影部分的面積是多少平方厘米?如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，，則四邊形的面積________．已知三角形的面積為，，是的中點(diǎn)，且∥，交于，求陰影部分的面積．圖中是邊長為的正方形，從到正方形頂點(diǎn)、連成一個(gè)三角形，已知這個(gè)三角形在上截得的長度為，那么三角形的面積是多少？如圖，是矩形一條對(duì)角線的中點(diǎn)，圖中已經(jīng)標(biāo)出兩個(gè)三角形的面積為和，那么陰影部分的一塊直角三角形的面積是多少？是平行四邊形，面積為72平方厘米，、分別為、的中點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為平方厘米．二、蝴蝶模型如圖所示，長方形內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB=8,AD=15四邊形的面積為______．如圖5所示，矩形ABCD的面積是24平方厘米，、三角形ADM與三角形BCN的面積之和是平方厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米。如圖，是等腰直角三角形，是正方形，線段與相交于點(diǎn)．已知正方形的面積48，，則的面積是多少？如圖所示，是梯形，面積是，的面積是9，的面積是27．那么陰影面積是多少？如圖，在一個(gè)邊長為6的正方形中，放入一個(gè)邊長為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分的面積為．下圖中，四邊形都是邊長為1的正方形，、、、分別是，，，的中點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)，那么，的值等于．三、共角定理（燕尾定理）如圖所示，在四邊形中，，，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為________．已知四邊形，為正方形，，與是兩個(gè)正方形的邊長，求如圖，三角形的面積是，，，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少?如右圖，面積為的中，，，，求陰影部分面積．如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn),求陰影部分面積.如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn),求中心六邊形面積.課堂檢測課堂檢測如圖，在正方形中，、分別在與上，且，，連接、，相交于點(diǎn)，過作、得到兩個(gè)正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則___________．如圖所示，三角形AEF，三角形BDF,三角形BCD，都是正三角形，其中AE:BD=1:3,三角形AEF的面積是1.求陰影部分的面積。家庭作業(yè)家庭作業(yè)如圖，正六邊形面積為，那么陰影部分面積為多少？如圖，已知是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．三角形由①～⑥這6部分組成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形的面積是多少平方厘米？如下圖，在梯形中，與平行，且，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形的面積是平方厘米．一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)正方形如圖擺放，①、②、③這三塊的面積比依次為．那么，④、⑤這兩塊的面積比是______．下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的重點(diǎn)，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)，那么，m＋n的值等于__________。（A）5（B）7（C）8（D）12