卡爾曼濾波簡(jiǎn)介及其算法MATLAB實(shí)現(xiàn)代碼

為了能夠更加容易的理解卡爾曼濾波器，這里會(huì)應(yīng)用形象的描述辦法來(lái)解說(shuō)，而不是像大多數(shù)參考書那樣羅列一大堆的數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)符號(hào)。但是，他的5條公式是其核心內(nèi)容。結(jié)合當(dāng)代的計(jì)算機(jī)，其實(shí)卡爾曼的程序相稱的簡(jiǎn)樸，只要你理解了他的那5條公式。在介紹他的5條公式之前，先讓我們來(lái)根據(jù)下面的例子一步一步的探索。假設(shè)我們要研究的對(duì)象是一種房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)判斷，這個(gè)房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來(lái)做時(shí)間單位）。假設(shè)你對(duì)你的經(jīng)驗(yàn)不是100%的相信，可能會(huì)有上下偏差幾度。我們把這些偏差當(dāng)作是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise），也就是這些偏差跟前后時(shí)間是沒(méi)有關(guān)系的并且符合高斯分派（GaussianDistribution）。另外，我們?cè)诜块g里放一種溫度計(jì)，但是這個(gè)溫度計(jì)也不精確的，測(cè)量值會(huì)比實(shí)際值偏差。我們也把這些偏差當(dāng)作是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對(duì)于某一分鐘我們有兩個(gè)有有關(guān)該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗(yàn)的預(yù)測(cè)值（系統(tǒng)的預(yù)測(cè)值）和溫度計(jì)的值（測(cè)量值）。下面我們要用這兩個(gè)值結(jié)合他們各自的噪聲來(lái)估算出房間的實(shí)際溫度值。如果我們要估算k時(shí)刻的是實(shí)際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時(shí)刻的溫度值，來(lái)預(yù)測(cè)k時(shí)刻的溫度。由于你相信溫度是恒定的，因此你會(huì)得到k時(shí)刻的溫度預(yù)測(cè)值是跟k-1時(shí)刻同樣的，假設(shè)是23度，同時(shí)該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3，你對(duì)自己預(yù)測(cè)的不擬定度是4度，他們平方相加再開(kāi)方，就是5）。然后，你從溫度計(jì)那里得到了k時(shí)刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時(shí)該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時(shí)刻的實(shí)際溫度有兩個(gè)溫度值，分別是23度和25度。終究實(shí)際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計(jì)呢？終究相信誰(shuí)多一點(diǎn)，我們能夠用他們的covariance來(lái)判斷。由于Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，因此Kg=0.78，我們能夠估算出k時(shí)刻的實(shí)際溫度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。能夠看出，由于溫度計(jì)的covariance比較?。ū容^相信溫度計(jì)），因此估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計(jì)的值?，F(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時(shí)刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進(jìn)入k+1時(shí)刻，進(jìn)行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，仿佛還沒(méi)看到什么自回歸的東西出現(xiàn)。對(duì)了，在進(jìn)入k+1時(shí)刻之前，我們還要算出k時(shí)刻那個(gè)最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法以下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。這里的5就是上面的k時(shí)刻你預(yù)測(cè)的那個(gè)23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進(jìn)入k+1時(shí)刻后來(lái)k時(shí)刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對(duì)應(yīng)于上面的3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不停的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運(yùn)行的很快，并且它只保存了上一時(shí)刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（KalmanGain）。他能夠隨不同的時(shí)刻而變化他自己的值，是不是很神奇！下面就要言歸正傳，討論真正工程系統(tǒng)上的卡爾曼。3．

卡爾曼濾波器算法（TheKalmanFilterAlgorithm）在這一部分，我們就來(lái)描述源于DrKalman的卡爾曼濾波器。下面的描述，會(huì)涉及某些基本的概念知識(shí)，涉及概率（Probability），隨即變量（RandomVariable），高斯或正態(tài)分派（GaussianDistribution）尚有State-spaceModel等等。但對(duì)于卡爾曼濾波器的具體證明，這里不能一一描述。首先，我們先要引入一種離散控制過(guò)程的系統(tǒng)。該系統(tǒng)可用一種線性隨機(jī)微分方程（LinearStochasticDifferenceequation）來(lái)描述：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)再加上系統(tǒng)的測(cè)量值：Z(k)=HX(k)+V(k)上兩式子中，X(k)是k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)，U(k)是k時(shí)刻對(duì)系統(tǒng)的控制量。A和B是系統(tǒng)參數(shù)，對(duì)于多模型系統(tǒng)，他們?yōu)榫仃嚒(k)是k時(shí)刻的測(cè)量值，H是測(cè)量系統(tǒng)的參數(shù)，對(duì)于多測(cè)量系統(tǒng)，H為矩陣。W(k)和V(k)分別表達(dá)過(guò)程和測(cè)量的噪聲。他們被假設(shè)成高斯白噪聲(WhiteGaussianNoise)，他們的covariance分別是Q，R（這里我們假設(shè)他們不隨系統(tǒng)狀態(tài)變化而變化）。對(duì)于滿足上面的條件(線性隨機(jī)微分系統(tǒng)，過(guò)程和測(cè)量都是高斯白噪聲)，卡爾曼濾波器是最優(yōu)的信息解決器。下面我們來(lái)用他們結(jié)合他們的covariances來(lái)估算系統(tǒng)的最優(yōu)化輸出（類似上一節(jié)那個(gè)溫度的例子）。首先我們要運(yùn)用系統(tǒng)的過(guò)程模型，來(lái)預(yù)測(cè)下一狀態(tài)的系統(tǒng)。假設(shè)現(xiàn)在的系統(tǒng)狀態(tài)是k，根據(jù)系統(tǒng)的模型，能夠基于系統(tǒng)的上一狀態(tài)而預(yù)測(cè)出現(xiàn)在狀態(tài)：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)………..(1)式(1)中，X(k|k-1)是運(yùn)用上一狀態(tài)預(yù)測(cè)的成果，X(k-1|k-1)是上一狀態(tài)最優(yōu)的成果，U(k)為現(xiàn)在狀態(tài)的控制量，如果沒(méi)有控制量，它可覺(jué)得0。到現(xiàn)在為止，我們的系統(tǒng)成果已經(jīng)更新了，可是，對(duì)應(yīng)于X(k|k-1)的covariance還沒(méi)更新。我們用P表達(dá)covariance：P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q………(2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)對(duì)應(yīng)的covariance，P(k-1|k-1)是X(k-1|k-1)對(duì)應(yīng)的covariance，A’表達(dá)A的轉(zhuǎn)置矩陣，Q是系統(tǒng)過(guò)程的covariance。式子1，2就是卡爾曼濾波器5個(gè)公式當(dāng)中的前兩個(gè)，也就是對(duì)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)?，F(xiàn)在我們有了現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)測(cè)成果，然后我們?cè)偈占F(xiàn)在狀態(tài)的測(cè)量值。結(jié)合預(yù)測(cè)值和測(cè)量值，我們能夠得到現(xiàn)在狀態(tài)(k)的最優(yōu)化估算值X(k|k)：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))………(3)其中Kg為卡爾曼增益(KalmanGain)：Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)………(4)到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)得到了k狀態(tài)下最優(yōu)的估算值X(k|k)。但是為了要另卡爾曼濾波器不停的運(yùn)行下去直到系統(tǒng)過(guò)程結(jié)束，我們還要更新k狀態(tài)下X(k|k)的covariance：P(k|k)=（I-Kg(k)H）P(k|k-1)………(5)其中I為1的矩陣，對(duì)于單模型單測(cè)量，I=1。當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入k+1狀態(tài)時(shí)，P(k|k)就是式子(2)的P(k-1|k-1)。這樣，算法就能夠自回歸的運(yùn)算下去?？柭鼮V波器的原理基本描述了，式子1，2，3，4和5就是他的5個(gè)基本公式。根據(jù)這5個(gè)公式，能夠很容易的實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的程序。下面，我會(huì)用程序舉一種實(shí)際運(yùn)行的例子。。。4．

簡(jiǎn)樸例子（ASimpleExample）這里我們結(jié)合第二第三節(jié)，舉一種非常簡(jiǎn)樸的例子來(lái)闡明卡爾曼濾波器的工作過(guò)程。所舉的例子是進(jìn)一步描述第二節(jié)的例子，并且還會(huì)配以程序模擬成果。根據(jù)第二節(jié)的描述，把房間當(dāng)作一種系統(tǒng)，然后對(duì)這個(gè)系統(tǒng)建模。固然，我們見(jiàn)的模型不需要非常地精確。我們所懂得的這個(gè)房間的溫度是跟前一時(shí)刻的溫度相似的，因此A=1。沒(méi)有控制量，因此U(k)=0。因此得出：X(k|k-1)=X(k-1|k-1)………..(6)式子（2）能夠改成：P(k|k-1)=P(k-1|k-1)+Q………(7)由于測(cè)量的值是溫度計(jì)的，跟溫度直接對(duì)應(yīng)，因此H=1。式子3，4，5能夠改成下列：X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-X(k|k-1))………(8)Kg(k)=P(k|k-1)/(P(k|k-1)+R)………(9)P(k|k)=（1-Kg(k)）P(k|k-1)………(10)現(xiàn)在我們模擬一組測(cè)量值作為輸入。假設(shè)房間的真實(shí)溫度為25度，我模擬了200個(gè)測(cè)量值，這些測(cè)量值的平均值為25度，但是加入了原則偏差為幾度的高斯白噪聲（在圖中為藍(lán)線）。為了令卡爾曼濾波器開(kāi)始工作，我們需要告訴卡爾曼兩個(gè)零時(shí)刻的初始值，是X(0|0)和P(0|0)。他們的值不用太在乎，隨便給一種就能夠了，由于隨著卡爾曼的工作，X會(huì)逐步的收斂。但是對(duì)于P，普通不要取0，由于這樣可能會(huì)令卡爾曼完全相信你給定的X(0|0)是系統(tǒng)最優(yōu)的，從而使算法不能收斂。我選了X(0|0)=1度，P(0|0)=10。該系統(tǒng)的真實(shí)溫度為25度，圖中用黑線表達(dá)。圖中紅線是卡爾曼濾波器輸出的最優(yōu)化成果（該成果在算法中設(shè)立了Q=1e-6，R=1e-1）。最佳線性濾波理論來(lái)源于40年代美國(guó)科學(xué)家Wiener和前蘇聯(lián)科學(xué)家Ｋолмогоров等人的研究工作，后人統(tǒng)稱為維納濾波理論。從理論上說(shuō)，維納濾波的最大缺點(diǎn)是必須用到無(wú)限過(guò)去的數(shù)據(jù)，不合用于實(shí)時(shí)解決。為了克服這一缺點(diǎn)，60年代Kalman把狀態(tài)空間模型引入濾波理論，并導(dǎo)出了一套遞推預(yù)計(jì)算法，后人稱之為卡爾曼濾波理論?？柭鼮V波是以最小均方誤差為預(yù)計(jì)的最佳準(zhǔn)則，來(lái)謀求一套遞推預(yù)計(jì)的算法，其基本思想是：采用信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型，運(yùn)用前一時(shí)刻地預(yù)計(jì)值和現(xiàn)時(shí)刻的觀察值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的預(yù)計(jì)，求出現(xiàn)時(shí)刻的預(yù)計(jì)值。它適合于實(shí)時(shí)解決和計(jì)算機(jī)運(yùn)算?，F(xiàn)設(shè)線性時(shí)變系統(tǒng)的離散狀態(tài)防城和觀察方程為：X(k)=F(k,k-1)·X(k-1)+T(k,k-1)·U(k-1)Y(k)=H(k)·X(k)+N(k)其中X(k)和Y(k)分別是k時(shí)刻的狀態(tài)矢量和觀察矢量F(k,k-1)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣U(k)為k時(shí)刻動(dòng)態(tài)噪聲T(k,k-1)為系統(tǒng)控制矩陣H(k)為k時(shí)刻觀察矩陣N(k)為k時(shí)刻觀察噪聲則卡爾曼濾波的算法流程為：預(yù)預(yù)計(jì)X(k)^=F(k,k-1)·X(k-1)

計(jì)算預(yù)預(yù)計(jì)協(xié)方差矩陣C(k)^=F(k,k-1)×C(k)×F(k,k-1)'+T(k,k-1)×Q(k)×T(k,k-1)'Q(k)=U(k)×U(k)'

計(jì)算卡爾曼增益矩陣K(k)=C(k)^×H(k)'×[H(k)×C(k)^×H(k)'+R(k)]^(-1)R(k)=N(k)×N(k)'

更新預(yù)計(jì)X(k)~=X(k)^+K(k)×[Y(k)-H(k)×X(k)^]

計(jì)算更新后預(yù)計(jì)協(xié)防差矩陣C(k)~=[I-K(k)×H(k)]×C(k)^×[I-K(k)×H(k)]'+K(k)×R(k)×K(k)'

X(k+1)=X(k)~C(k+1)=C(k)~重復(fù)以上環(huán)節(jié)

■

1

應(yīng)用實(shí)例一種簡(jiǎn)樸的應(yīng)用是預(yù)計(jì)物體的位置和速度；簡(jiǎn)要描述以下：假設(shè)我們能夠獲取一種物體的包含噪聲的一系列位置觀察數(shù)據(jù)，我們能夠獲得此物體的精確速度和位置持續(xù)更新信息。例如，對(duì)于雷達(dá)來(lái)說(shuō)，我們關(guān)心的是跟蹤目的，而目的的位置，速度，加速度的測(cè)量值是時(shí)刻含有誤差的，卡爾曼濾波器運(yùn)用目的的動(dòng)態(tài)信息，去掉噪聲影響，獲取目的此刻好的位置預(yù)計(jì)(濾波)，將來(lái)位置預(yù)計(jì)(預(yù)測(cè))，也能夠是過(guò)去位置預(yù)計(jì)的(插值或平滑)■

2

命名和發(fā)展歷史這個(gè)濾波器以它的發(fā)明者Rudolf.E.Kalman而命名，但是在Kanlman之前，ThorvaldNicolaiThiele和PeterSwerling已經(jīng)提出了類似的算法。StanleySchmidt初次實(shí)現(xiàn)了Kalman濾波器。在一次對(duì)NASAAmesResearchCenter訪問(wèn)中，卡爾曼發(fā)現(xiàn)他的辦法對(duì)于解決阿波羅計(jì)劃的軌跡預(yù)測(cè)很有用，后來(lái)阿波羅飛船導(dǎo)航

電腦就使用了這種濾波器。這個(gè)濾波器能夠追溯到Swerling(1958),Kalman(1960),Kalman和Bucy(1961)發(fā)表的論文。這個(gè)濾波器有時(shí)叫做Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器。由于更為普通的非線性濾波器最初由RuslanL.Stratonovich發(fā)明，而Stratonovich-Kalman-Bucy濾波器只是非線性濾波器的一種特例。事實(shí)上，1960年夏季，Kalman和Stratonovich在一種Moscow召開(kāi)的會(huì)議中相遇，而作為非線性特例的線性濾波方程，早已經(jīng)由Stratonovich在此以前發(fā)表了。在控制領(lǐng)域，Kalman濾波被稱為線性二次型預(yù)計(jì)，現(xiàn)在,卡爾曼濾波已有諸多不同的實(shí)現(xiàn)，有施密特?cái)U(kuò)展濾波器、信息濾波器以及一系列的Bierman和Thornton發(fā)明的平方根濾波器等，而卡爾曼最初提出的形式現(xiàn)在稱為簡(jiǎn)樸卡爾曼濾波器?？赡茏畛Ｒ?jiàn)的卡爾曼濾波器應(yīng)用是鎖相環(huán)，它在收音機(jī)、計(jì)算機(jī)和幾乎全部視頻或通訊設(shè)備中廣泛存在?！?/p>

3

基本動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型Kalman濾波基于時(shí)域描述的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它的模型是MarkovChain，而MarkovChain建立在一種被高斯噪聲干擾的線性算子之上。系統(tǒng)的狀態(tài)能夠用一種元素為實(shí)數(shù)的向量表達(dá)。隨著離散時(shí)間的增加，這個(gè)線性算子就會(huì)作用到現(xiàn)在狀態(tài)之上，產(chǎn)生一種新的狀態(tài)，并且會(huì)帶入一定的噪聲，同時(shí)某些已知的控制信息也會(huì)加入。同時(shí)另外一種受噪聲干擾的線性算子將產(chǎn)生這些隱含狀態(tài)的可見(jiàn)輸出。Kalman濾波能夠被看作為類似隱馬爾科夫模型，它們的明顯不同點(diǎn)在于：隱狀態(tài)變量的取值空間是一種持續(xù)的空間，而離散狀態(tài)空間則不是；另為，隱馬爾科夫模型能夠描述下一種狀態(tài)的一種任意分布，這也與應(yīng)用于Kalman濾波器中的高斯噪聲模型相反。Kalman濾波器方程和隱馬爾科夫方程之間有很大的二重性，有關(guān)Kalman濾波方程和隱馬爾科夫方程之間二重性參看RoweisandGhahramani(1999)[4]。

為了從一系列的噪聲觀察中，應(yīng)用Kalman濾波預(yù)計(jì)觀察過(guò)程的內(nèi)部狀態(tài)。我們必須把這個(gè)過(guò)程在Kalman濾波器的框架下建立模型，這就意味著，對(duì)于每一步k

我們要定義矩陣、、、、以下：KalmanFilter假設(shè)k時(shí)刻的真實(shí)狀態(tài)是從k-1時(shí)刻演化而來(lái)，符合下式這里■

是作用在前一狀態(tài)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型(狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣)■

是作用在控制向量上的控制輸入模型(輸入輸出矩陣)■是過(guò)程噪聲，假設(shè)是均值為0的白噪聲，協(xié)方差為則：在k時(shí)刻，假設(shè)真實(shí)狀態(tài)的觀察，滿足以下公式：

其中是觀察模型(觀察矩陣)，它把真實(shí)狀態(tài)映射到觀察空間，是觀察噪聲，假設(shè)它是均值是0，方差是的高斯白噪聲：KalmanFilter基本動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型如圖(1)所示，圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號(hào)代表高斯噪聲，其協(xié)方差在右下方標(biāo)出。初始狀態(tài)以及每一時(shí)刻的噪聲向量{x0,w1,...,wk,v1...vk}都為認(rèn)為是互相獨(dú)立的。實(shí)際中，真實(shí)世界中動(dòng)態(tài)系統(tǒng)并不是嚴(yán)格的符合此模型。但是Kalman模型是設(shè)計(jì)在噪聲過(guò)程工作的，一種近似的符合已經(jīng)能夠使這個(gè)濾波器非常有用了，更多復(fù)雜模型有關(guān)KalmanFilter模型的變種，將在下述中討論：

圖(1)■

4

卡爾曼濾波器KalmanFilter是一種遞歸的預(yù)計(jì)，即只要獲知上一時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)計(jì)和現(xiàn)在狀態(tài)的觀察就能夠計(jì)算出現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)計(jì)，不同于其它的預(yù)計(jì)技術(shù)，Kalman濾波器不需要觀察或/和預(yù)計(jì)的歷史統(tǒng)計(jì)，KalmanFilter是一種純正的時(shí)域?yàn)V波器，而不像低通濾波器等頻域?yàn)V波器那樣，需要在頻域中設(shè)計(jì)，然后轉(zhuǎn)換屆時(shí)域中應(yīng)用。下面，代表已知從m到n-1涉及m時(shí)刻的觀察在n時(shí)刻的預(yù)計(jì)值卡爾曼濾波器的狀態(tài)由下列兩個(gè)變量表達(dá)：

■已知k時(shí)刻以前時(shí)刻觀察值，k時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)計(jì)值

■誤差協(xié)方差矩陣，度量狀態(tài)預(yù)計(jì)的精度程度Kalman濾波涉及兩個(gè)階段：預(yù)測(cè)和更新；在預(yù)計(jì)階段，濾波器應(yīng)用上一狀態(tài)的預(yù)計(jì)做出對(duì)現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)計(jì)。在更新階段，濾波器運(yùn)用在現(xiàn)在狀態(tài)的觀察值優(yōu)化預(yù)測(cè)階段的預(yù)測(cè)值，以獲的一種更精確的現(xiàn)在狀態(tài)的預(yù)計(jì)。4.1

預(yù)測(cè)狀態(tài)預(yù)測(cè)：■預(yù)計(jì)協(xié)方差預(yù)測(cè)：■4.2

更新新息或測(cè)量余量■新息協(xié)方差■Kalman增益■狀態(tài)預(yù)計(jì)更新■狀態(tài)協(xié)方差更新■使用上述公式計(jì)算僅在最優(yōu)卡爾曼增益的時(shí)候有效。使用其它增益公式要復(fù)雜某些，看見(jiàn)推導(dǎo)4.3

不變量如果模型精確，和值將精確反映最初狀態(tài)的分布，那么下面全部不變量保持不變，全部預(yù)計(jì)的誤差均值為0：■■這里表達(dá)的盼望，而協(xié)方差矩陣則反映的預(yù)計(jì)的協(xié)方差■■■■

5

實(shí)例考慮在一種無(wú)摩擦、無(wú)限長(zhǎng)的直軌道上的一輛小車，它的初始位置在0點(diǎn)，但是它會(huì)隨機(jī)的受到?jīng)_擊作用，我們每隔測(cè)量一次小車的位置，但是這些測(cè)量數(shù)據(jù)不是很精確。我們想建立一種有關(guān)小車位置和速度的模型，這里我們描述如何建立這個(gè)模型，以及從這個(gè)模型出發(fā)如何推導(dǎo)出Kalman濾波器。由于小車沒(méi)有控制輸入，我們能夠無(wú)視和。由于F，H，R和Q全是恒值，我們能夠無(wú)視時(shí)間下標(biāo)。小車的位置和速度用線性空間能夠描述以下：這里表達(dá)速度，也就是位置對(duì)時(shí)間的微分。我們假設(shè)在時(shí)間間隔k-1和k之間，小車受到一種恒定的沖擊，

服從均值為0，方差為的正態(tài)分布，根據(jù)Newton動(dòng)力學(xué)方程，可得到：

其中

，我們發(fā)現(xiàn)：在每一時(shí)刻,我們獲取真實(shí)位置的.我們假設(shè)噪聲服噪聲干擾測(cè)量，假設(shè)測(cè)量噪聲服從均值為0，原則差為正態(tài)分布。

其中H=[1

0]，我們能夠得到足夠精度的初始狀態(tài)數(shù)據(jù)，因此我們能夠初始化，

如果初始位置和速度不是精確的懂得，那么協(xié)方差矩陣應(yīng)當(dāng)時(shí)始化為一種對(duì)角線元素B為適宜大小的矩陣以下：這樣與模型中已有信息相比，濾波器更趨向于使用初次的測(cè)量數(shù)據(jù)信息?！?/p>

6

推導(dǎo)6.1

后驗(yàn)預(yù)計(jì)協(xié)方差矩陣推導(dǎo)首先開(kāi)始不變量后驗(yàn)預(yù)計(jì)協(xié)方差矩陣的推導(dǎo)：

帶入定義，可得，代入可得代入可得整頓誤差向量可得，由于誤差向量與其它不有關(guān)，因此由協(xié)方差矩陣性質(zhì)則：使用不變量Pk|k-1以及Rk的定義這一項(xiàng)能夠?qū)懽鳎斯?Josephform)對(duì)任意增益Kk的都成立，如果Kk最優(yōu)卡爾曼增益，則能夠進(jìn)一步簡(jiǎn)化，見(jiàn)下文。6.2

Kalman增益推導(dǎo)Kalman濾波器是一種最小均方誤差預(yù)計(jì)器，先驗(yàn)狀態(tài)誤差預(yù)計(jì)可表達(dá)為我們最小化這個(gè)矢量幅度平方的盼望值，這等價(jià)于最小化后驗(yàn)預(yù)計(jì)協(xié)方差矩陣的跡，通過(guò)展開(kāi)合并

公式，可得當(dāng)矩陣導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，矩陣的跡取最小值，從這個(gè)式子解出Kalman增益這個(gè)增益就是最優(yōu)Kalman增益，應(yīng)用它能夠得到最小均方誤差。6.3

后驗(yàn)誤差協(xié)方差矩陣簡(jiǎn)化當(dāng)應(yīng)用上述最優(yōu)Kalman增益時(shí)，后驗(yàn)誤差協(xié)方差能夠得到簡(jiǎn)化，在最優(yōu)Kalman增益兩邊同時(shí)乘以，可得，參見(jiàn)后驗(yàn)誤差協(xié)方差公式展開(kāi)，帶入上式，可得：這個(gè)公式的計(jì)算比較簡(jiǎn)樸，因此實(shí)際中總是使用這個(gè)公式，但是需注意這公式僅在最優(yōu)卡爾曼增益時(shí)它才成立。如果算術(shù)精度總是很低而造成數(shù)值穩(wěn)定性出現(xiàn)問(wèn)題，或者特意使用非最優(yōu)卡爾曼增益，那么就不能使用這個(gè)簡(jiǎn)化；必須使用上面導(dǎo)出的后驗(yàn)誤差協(xié)方差公式?！?/p>

7

信息濾波在信息濾波器(逆方差濾波器)中，協(xié)方差預(yù)計(jì)和狀態(tài)預(yù)計(jì)將會(huì)被信息矩陣和信息向量所取代，它們的定義以下：類似的預(yù)測(cè)協(xié)方差和預(yù)測(cè)狀態(tài)也有等價(jià)的信息形式，定義以下：同樣測(cè)量協(xié)方差和測(cè)量向量定義為：信息更新現(xiàn)在變成一種加和形式：信息濾波器的重要優(yōu)點(diǎn)在于N和測(cè)量數(shù)據(jù)都能夠用于濾波，簡(jiǎn)樸的通過(guò)信息矩陣和信息向量的加和。為了預(yù)測(cè)信息濾波器，信息矩陣和信息向量必須變換到它們的等價(jià)狀態(tài)空間，或者應(yīng)用下述信息空間更新：

這里F和Ｑ必須可逆?！?/p>

8

非線性濾波器8.1擴(kuò)展Kalman濾波預(yù)計(jì)過(guò)程如以上所述，卡爾曼濾波器預(yù)計(jì)一種線性隨機(jī)差分方程描述的離散時(shí)間過(guò)程的狀態(tài)變量，但是如果被預(yù)計(jì)的過(guò)程和(或)觀察變量與過(guò)程的關(guān)系不時(shí)線性關(guān)系。那該如何解決呢？某些很有趣和成功的Kalman濾波器應(yīng)用就是解決這些狀況的。將盼望和方差線性化的卡爾曼濾波器稱作擴(kuò)展卡爾曼濾波器（ExtendedKalmanFilter），簡(jiǎn)稱EKF。同泰勒級(jí)數(shù)類似，面對(duì)非線性關(guān)系時(shí)，我