培優(yōu)專題-三角形及其有關(guān)概念

...wd......wd......wd...1三角形及其有關(guān)概念【知識(shí)精讀】1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2.三角形中的幾條重要線段：〔1〕三角形的角平分線〔三條角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心〕〔2〕三角形的中線〔三條中線的交點(diǎn)叫重心〕〔3〕三角形的高〔三條高線的交點(diǎn)叫垂心〕3.三角形的主要性質(zhì)〔1〕三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊；〔2〕三角形的內(nèi)角之和等于180°〔3〕三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；〔4〕三角形中，等角對等邊，等邊對等角，大角對大邊，大邊對大角；〔5〕三角形具有穩(wěn)定性。4.補(bǔ)充性質(zhì)：在中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則。三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用。三角形又是多邊形的一種，而且是最簡單的多邊形，在幾何里，常常把多邊形分割成假設(shè)干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形。實(shí)際上對于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們。因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的根基。5.三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用【分類解析】例1.銳角三角形ABC中，∠C＝2∠B，則∠B的范圍是〔〕A. B.C. D.分析：因?yàn)闉殇J角三角形，所以又∠C＝2∠B，又∵∠A為銳角，為銳角，即，應(yīng)選擇C。例2.選擇題：三角形的一個(gè)外角等于160°，另兩個(gè)外角的比為2:3，則這個(gè)三角形的形狀是〔〕A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定分析：由于三角形的外角和等于360°，其中一個(gè)角，另兩個(gè)角的比也知道，因此三個(gè)外角的度數(shù)就可以求出，進(jìn)而可求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。解：∵三角形的一個(gè)外角等于160°∴另兩個(gè)外角的和等于200°設(shè)這兩個(gè)外角的度數(shù)為2x，3x解得：與80°相鄰的內(nèi)角為100°∴這個(gè)三角形為鈍角三角形應(yīng)選C例3.如圖，：在中，，求證：。分析：欲證，可作∠ABC的平分線BE交AC于E，只要證即可。為與題設(shè)聯(lián)系，又作AF//BE交CB的延長線于F。顯然∠EBC＝∠F，只要證即可。由可得證。證明：作∠ABC的角平分線BE交AC于E，過點(diǎn)A作AF//BE交CB的延長線于F又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE∴∠F＝∠FAB，∴AB＝BF又∵AB＋FB＞AF，即2AB＞AF又∵，又∵例4.：三角形的一邊是另一邊的兩倍。求證：它的最小邊在它的周長的與之間。分析：首先應(yīng)根據(jù)條件，運(yùn)用邊的不等關(guān)系，找出最小邊，然后由周長與邊的關(guān)系加以證明。證明：如圖，設(shè)的三邊為a、b、c，其中，因此，c是最小邊，因此，，即故最小邊在周長的與之間。中考點(diǎn)撥：例1.選擇題：如圖是一個(gè)任意的五角星，它的五個(gè)頂角的和是〔〕A.50 B.100 C.180 D.200分析：由于我們學(xué)習(xí)了三角形的內(nèi)角、外角的知識(shí)，所以需要我們把問題轉(zhuǎn)化為三角形角的問題。解：所以選擇C例2.選擇題：三角形的兩邊分別為5和7，則第三邊x的范圍是〔〕A.大于2 B.小于12 C.大于2小于12 D.不能確定分析：根據(jù)三角形三邊關(guān)系應(yīng)有，即所以應(yīng)選C例3.：P為邊長為1的等邊內(nèi)任一點(diǎn)。求證：證明：過P點(diǎn)作EF//BC，分別交AB于E，交AC于F，則∠AEP＝∠ABC＝60°在中，是等邊三角形題型展示：例1.：如圖，在中，D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)。求證：〔1〕∠BEC＞∠BAC；〔2〕AB＋AC＞BE＋EC。分析：在〔1〕中，利用三角形內(nèi)角和定理的推論即可證出在〔2〕中，添加一條輔助線，轉(zhuǎn)化到另一個(gè)三角形中，利用邊的關(guān)系定理即可證出。證明：〔1〕∵∠BED是的一個(gè)外角，同理，即〔2〕延長BE交AC于F點(diǎn)即例2.求證：直角三角形的兩個(gè)銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。：如圖，在中，是的外角，AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD。求證：∠AFB＝45°分析：欲證，須證∵AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD∴要轉(zhuǎn)證∠EAB＋∠ABD＝270°又∵∠C＝90°，三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和∴問題得證證明：∵∠EAB＝∠ABC＋∠C∠ABD＝∠CAB＋∠C∠ABC＋∠C＋∠CAB＝180°，∠C＝90°∵AF、BF分別平分∠EAB及∠ABD在中，【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.：三角形的三邊長為3，8，，求x的取值范圍。2.：中，，D點(diǎn)在BC的延長線上，使，，，求α和β間的關(guān)系為3.如圖，中，的平分線交于P點(diǎn)，，則〔〕A.68° B.80° C.88° D.46°4.：如圖，AD是的BC邊上高，AE平分。求證：5.求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半?！驹囶}答案】1.分析：此題是三邊關(guān)系的應(yīng)用問題，只需用三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍即可。解：∵三邊長分別為3，8