北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊 2.2用配方法求解一元二次方程

2.2

用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程第1課時直接開平方法與配方法(1)1.

如果

x2=a，那么

x叫做

a的

.復(fù)習(xí)引入平方根2.

如果

x2=a(a≥0)，那么

x=

.3.

如果

x2=64，那么

x=

.±84.

任何數(shù)都可以作為被開方數(shù)嗎？負(fù)數(shù)不可以作為被開方數(shù).直接開平方法

問題：一桶油漆可以刷

1500dm2，小林用這桶油漆恰好刷完

10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？解：設(shè)盒子的棱長為

xdm，則一個正方體盒子的表面積為6x2dm2．由此可列方程10×6x2=1500，即

x2=25．根據(jù)平方根的意義得

x=±5，即

x1=5，x2=－5．∵棱長不能為負(fù)值，∴盒子的棱長為5dm．試一試：

解下列方程，并與同伴交流，說明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2

=0；(3)x2

+1=0.解：根據(jù)平方根的意義，得

x1=2，x2=-2.解：移項，得

x2=-1．∵負(fù)數(shù)沒有平方根，∴原方程無解.解：根據(jù)平方根的意義，得

x1=x2=0.(2)當(dāng)

n

=0

時，方程

(I)有兩個相等的實數(shù)根

x1

=x2=

0；(3)當(dāng)

n

＜0

時，因為對任意實數(shù)

x，都有

x2≥0

，所以方程

(I)無實數(shù)根.探究歸納一般的，對于可化為x2=n

(I)的方程，

(1)當(dāng)

n

＞0

時，根據(jù)平方根的意義，方程

(I)有兩個不相等的實數(shù)根

x1

=

，x2

=

；利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.歸納例1

利用直接開平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)

x2

-

900=0.解：直接開平方，得解：移項，得x2=900.直接開平方，得x=±

30，∴

x1=30，x2=-30.典例精析方法點撥：通過移項把方程化為

x2=n

的形式，然后直接開平方即可求解．在解方程(I)時，由方程

x2

=

25

得

x

=

±5.由此想到:(x

+

3)2

=

5，

②得對照上面方法，你認(rèn)為怎樣解方程(x

+

3)2

=

5探究交流于是，方程

(x

+

3)2

=

5

的兩個根為上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.解題歸納例2

解下列方程：（1）(x＋1)2=2；

解析：第

1

小題中只要將

(x＋1)看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.即

x1

=

?1+，x2

=

?1

?

解： ∵x+1是

2的平方根，∴x

+

1

=解析：第

2

小題先將－4

移到方程的右邊，再同第

1

小題一樣地解.（2）(x?

1)2

?

4=0；即

x1

=

3，x2

=?1.解：

移項，得

(x?1)2

=

4.∵x?1

是

4

的平方根，∴x?1

=

±2，1.能用直接開平方法解的一元二次方程有什么特點？

如果一個一元二次方程具有

x2

=n

或(x＋m)2

=

n

(n≥0)的形式，那么就可以用直接開平方法求解.2.任意一個一元二次方程都能用直接開平方法求解嗎？請舉例說明.探討交流不是所有的一元二次方程都能用直接開平方法求解，如：x2+2x-3=0.配方的方法問題1.下列完全平方公式你還記得嗎？試著填一填.(1)a2+

2ab

+

b2

=

(

)2；(2)a2

-

2ab

+

b2

=

(

)2.a

+

ba

-

b探究交流

填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2；（2）x2?

6x

+

=(x?

)2；（3）x2

+

8x

+

=(x+

)2；（4）x2?

x

+

=(x?

)2.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？222323424填一填

對于二次項系數(shù)為

1的單字母二次三項式，將常數(shù)項配成一次項系數(shù)一半的平方時，可得完全平方公式.二次項系數(shù)為

1的完全平方式：

常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方.歸納總結(jié)填一填：x2

+px

+

(

)2

=

(x+

)2配方的方法用配方法解二次項系數(shù)為1的一元二次方程探究交流解方程：x2

+6x+4=0.(1)問題1

方程

(1)怎樣變成(x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移項x2+6x+9=-4+9兩邊都加上

9二次項系數(shù)為

1的完全平方式，常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方方法歸納在方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方

——注意是在二次項系數(shù)為

1的前提下進(jìn)行的.問題2

為什么在方程

x2+6x=-4的兩邊加上

9？加其他數(shù)行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，方程左邊才能變成完全平方式

x2

+2mx+m2的形式.一元二次方程配方的方法：要點歸納

通過配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法.配方法的定義配方法解方程的基本思路

把一元二次方程化為(x+m)2=n的形式，通過開平方將方程降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．例3解方程x2

+8x-9=0

解：可以把常數(shù)項移到方程的右邊，得x2

+8x=9，兩邊都加

42（一次項系數(shù)

8

的一半的平方），得x2

+8x+42

=9+42，即

(x

+

4)2

=25.兩邊開平方，得x+4=±5

，即x+4=5

或

x+4=-5.所以 x1=1，

x2=-9.試一試：解方程

x2

+12x-

15=0

.解：可以把常數(shù)項移到方程的右邊，得x2

+12x=15，兩邊都加

62（一次項系數(shù)

12

的一半的平方），得x2

+12x+62

=15+62，即

(x

+

6)2

=51.兩邊開平方，得x+6=，即x+6=或

x+6=.所以x1=，

x2=.C.解方程

4(x

-

1)2

=

9，得

4(x

-

1)

=±3，x1

=，x2

=D.解方程

(2x

+

3)2

=

25，得

2x

+

3

=±5，x1

=1，

x2

=

-4

1.下列解方程的過程中，正確的是（

）A.解方程

x2

=

-2，得

x

=±B.解方程

(x

-

2)2

=

4，得

x

-

2

=

2，x

=

4

D(1)方程

x2

=0.25的根是

.(2)方程

2x2

=18的根是

.(3)方程

(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2

-

81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2＝4.

x1＝0.5，x2＝-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝-12.填空:x1＝9，x2＝-9.x1＝5，x2＝-5.x1＝1，x2＝-3.4.(請你當(dāng)小老師)下面是小李同學(xué)解答的一道一元二次方程的具體過程，你認(rèn)為他解的對嗎？如果有錯，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對，從②開始錯，應(yīng)改為解：方程的兩根為5.解下列方程：解：

移項，得x2

-

8x=

-

1，配方，得x2

-

8x

+

42=

-

1

+

42，(x

-

4)2

=15.由此可得即解方程：挑戰(zhàn)自我解：∴方程的兩根為或用配方法解一元二次方程直接開平方法：基本思路：解二次項系數(shù)為

1

的一元二次方程步驟形如

(x+m)2=n(n≥0)將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2

=n

(n≥0)的形式，在用直接開平方法，直接求根.1.移項3.直接開平方求解2.配方2.2

用配方法求解一元二次方程第二章一元二次方程第2課時

配方法(2)復(fù)習(xí)引入(1)9x2=1；(2)(x-

2)2

=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2

+

6x

+

9=5；(2)

x2

+

3x

-

4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x

+

m)2

=

n(n≥0)的形式，再利用開平方用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程問題1：觀察下面兩個一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：①x2+6x+8=0；

②3x2

+

8x

-

3=0.問題2：用配方法來解x2

+6x+8=0.

解：移項，得x2

+6x=-8，

配方，得

(x+3)2

=1.

開平方，得x+3=±1.

解得

x1

=-2，

x2

=

-4.想一想怎么來解3x2

+

8x

-

3=0.試一試：解方程：3x2+8x-

3=0.

解：兩邊同除以3，得

配方，得

開方，得

即

所以x1

=，x2

=-3.可以先將二次項系數(shù)化為

1.配方，得由此可得二次項系數(shù)化為

1，得解：移項，得2x2

-3x=-1.即移項和二次項系數(shù)化為

1這兩個步驟能不能交換呢?例1

解下列方程：配方，得∵實數(shù)的平方不會是負(fù)數(shù)，∴x取任何實數(shù)時，上式都不成立．∴原方程無實數(shù)根．解：移項，得二次項系數(shù)化為

1，得為什么方程兩邊都加

12？即思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方式；④降次；⑤解一次方程.一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x

+

m)2

=n.①當(dāng)

n＞0

時，則

，方程的兩個根為②當(dāng)

n=0

時，則(x+m)2=0，x

+

m=0，開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-m.③當(dāng)

n＜0

時，則方程

(x

+

m)2

=n

無實數(shù)根.規(guī)律總結(jié)引例：一個小球從地面上以

15m/s

的速度豎直向上彈出，它在空中的高度

h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-

5t2.小球何時能達(dá)到

10m

高？解：將h=10

代入方程中

15t-

5t2

=10.

兩邊同時除以

-5，得

t2

-

3t=

-2.配方，得t2

-

3t+=

-2.配方法的應(yīng)用即移項，得=即

t-=

或

t-=.所以t1=2，

t2

=

1.即在1s或2s時，小球可達(dá)10m高.例2試用配方法說明：不論

k取何實數(shù)，多項式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1因為(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.所以

k2－4k＋5的值必定大于零.例3

若

a，b，c為△ABC

的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：將原式配方，得所以，△ABC為直角三角形.

由非負(fù)式的性質(zhì)可知

即所以

1.關(guān)于

x的方程

2x2-3m-

x+m2+2=0

有一根為

x=0，則

m的值為（）A.1B.1C.1或

2D.1

或

-22.利用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5

的最小值；(2)-3x2

+5x+1

的最大值.練一練C解：(1)

2x2-

4x+

5=2(x-

1)2+3，當(dāng)

x=1時有最小值3.(2)

-3x2+5x+1=-3+，當(dāng)

x=時有最大值

.歸納總結(jié)配方法的應(yīng)用類別解題策略1.求最值或證代數(shù)式的值恒正（或負(fù)）將關(guān)于

x

的二次多項式通過配方成

a(x+m)2+n的形式后，由于

(x+m)2≥0，故當(dāng)

a＞0時，可得其最小值為

n；當(dāng)

a＜0時，可得其最大值為

n.2.完全平方式中的配方如：已知

x2

-

2mx+16是一個完全平方式，所以一次項系數(shù)一半的平方等于

16，即

m2

=

16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)式的和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式等式，求未知數(shù)的值，可考慮配方成多個完全平方式的和為0，再根據(jù)非負(fù)式大于等于0，則各式均為

0，進(jìn)而求解.如：a2＋b2－4b＋4

=

0，即

a2＋(b－2)2

=

0，則a=

0，b=

2.例4讀詩詞解題：（通過列方程，算出周瑜去世時的年齡.）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物。

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。十位恰小個位三，個位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個位數(shù)字為

x，則十位數(shù)字為

(x-

3).x1=6，x2=5x2

-

11x=-30x2

-

11x

+

5.52

=-30

+

5.52(x

-

5.5)2

=0.25x

-

5.5=0.5

或

x

-

5.5=-0.5依題列方程

x2

=10(x

-

3)+x∴這個兩位數(shù)為

36

或

25.∴周瑜去世的年齡為

36

歲.∵周瑜

30

歲還攻打過東吳，1.解下列方程：（1）x2

+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2

=-1.∴此方程無解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2

=16.∴x1=6，x2

=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2

=4.∴x1=-3，x2

=1.2.利用配方法證明：不論

x取何值，代數(shù)式

?x2?x?1的值總是負(fù)數(shù)，并求出它的最大值.解：?x2?x?1=?