在勾股定理的教學中滲透數(shù)學思想方法

在勾股定理的教學中滲透數(shù)學思想方法東莞東華初級中學陳佩弟《全日制義務教育數(shù)學課程標準》指出:“通過數(shù)學學習,學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法.”數(shù)學思想方法是數(shù)學的生命和靈魂,是數(shù)學知識的精髓,是把知識轉化為能力的橋梁.因此,在數(shù)學教學活動中,教師應重視數(shù)學思想方法的滲透,注重對學生進行數(shù)學思想方法的培養(yǎng),為學生的持續(xù)學習和發(fā)展作好奠基.勾股定理是平面幾何有關度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考點之一,其中蘊涵著多種數(shù)學思想,現(xiàn)小結如下:勾股定理與數(shù)形結合思想所謂數(shù)形結合思想,就是抓住數(shù)與形之間本質上的聯(lián)系,將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”,使復雜問題簡單化、抽象問題具體化,從而達到迅速解題的目的.勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關系,它是把三角形有一個直角的“形”的特征,轉化為三邊“數(shù)”的關系,因此它是數(shù)形結合的一個典范.例1:（課本P76習題18.2T5）△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm.求AC思考與分析:解答本題一定要先根據(jù)題意畫出相應的圖形，求出BD=CD=5cm,再將題目所給的數(shù)據(jù)標在圖上,得到如圖,因此很容易就想到本題的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理說明ZADB=90°，從而ZADC=90°，再用勾股定理即可求得AC解：TAD是BC邊上的中線11.??BD=CD二2BC=2X10=5cm（由形到數(shù)）BD2+AD2=52+122=25+144=169AB2=132=169BD2+BD2+AD2=AB2???△ADB為直角三角形，且ZADB=90°（由數(shù)到形）.\ZADC=180°-ZADB=90°???△ADC為直角三角形（由數(shù)到形）AC=丫AD2+CD2=、；122+52=v169=13cm（由形到數(shù)）

反思:此題綜合運用了勾股定理及逆定理,充分體現(xiàn)了由形到數(shù),再由數(shù)到形的數(shù)形結合的思想,從中你可以體會到數(shù)形結合的奧妙.勾股定理與分類討論思想分類討論思想是指在解題過程中,當條件或結論不確定或不唯一時,往往會產(chǎn)生幾種可能的情況,這就需要依據(jù)一定的標準對問題進行分類,再針對各種不同的情況分別予以解決,最后綜合各類結果得到整個問題的結論.分類討論實質上是一種“化整為零,各個擊破,再積零為整”的數(shù)學方法.例2:（課本P76習題18.2T3）小明向東走80m后,沿另一方向又走了60m,再沿第三個方向走100m回到原地.小明向東走80m后又向哪個方向走的?思考與分析:觀察數(shù)據(jù)80、60、100,根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷出小明所走的路線形成了一個直角三角形,即小明向東走的80m是一直角邊,轉了90°角后走的60m是另一直角邊,最后走的100m是斜邊.因此得到本題的關鍵是弄清楚轉的90°是往哪個方向轉的.情況不確定,故須分類討論:如果往右轉90°,則向南走;如果往左轉90°,則向北走.從而得到答案是向南或北走.本題若利用數(shù)形結合的思想,根據(jù)題意畫出如圖,思考起來會更直觀.教師在講解本題時也可以先讓學生做課本P76練習T3:A、B、C三地的兩兩距離如圖所示,A地在B地的正東方向,C地在B地的什么方向？這樣設計的目的是讓學生經(jīng)歷由易到難的過程,通過類比學習,明白這兩題的本質是:一題是明確給12km出圖形,情況唯一;另一題沒有給圖,情況不唯一,須B12km分類討論.還有一道常考題:直角三角形的兩條邊長分別為3和4,則第三邊長為學生審題不清,或容易受到定勢思維的影響而漏掉一種情況.教師也可以讓學生先做:直角三角形的兩條直角邊長分別為3和4,則第三邊長為.對比學習，學生印象更深刻反思:當已知條件中沒有給出圖形時,應認真讀句畫圖,避免遺漏情況;另在直角三角形中,已知兩邊長但不明確是直角邊還是斜邊時,應分類討論.勾股定理與方程思想方程思想就是指在解決數(shù)學問題時,從分析問題的數(shù)量關系入手,通過設未知數(shù),把問題中的已知量與未知量之間的數(shù)量關系聯(lián)系起來,從而建立方程或方程組的數(shù)學模型,然后求解方程或方程組使問題得以解決.用方程思想分析、處理問題,思路清晰,解題靈活、簡便.例3:（課本P81復習題18T7）—根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處.為x尺則AC為（10-x）尺，利用勾股定理可列出方程x2+32=（10-x）2,解得x=4.55反思:勾股定理說到底是一個等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程，所以，在利用勾股定理求線段的長時常常利用列方程來解決.勾股定理表達式中有三個量，當無法已知兩個量求第三個量時，應采用間接求法，靈活地尋找題中的數(shù)量關系，利用勾股定理列方程.勾股定理與轉化思想轉化思想是指將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將特殊的問題轉化為一般的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，將綜合的問題轉化為基本的問題等一種解題的手段.如解方程（組）問題中，高次轉化為一次，多元轉化為一元;在幾何問題中，將多邊形轉化為三角形，將空間圖形轉化為平面圖形等都是轉化思想的具體體現(xiàn).例4:（課本P81復習題18T8）已知圓柱的底面半徑為6cm,高為10cm,螞蟻從A點爬到BAB=\.102+(6兀》=v100+36兀2?21.3m反思:在立體圖形的表面討論最短距離,應先將立體圖形轉化為平面圖形,再利用“兩點

之間,線段最短”及勾股定理求解.本題還可以拓廣到在正方體、圓錐、長方體中求最短距離.還應明確的是圓柱、正方體、圓錐的展開方式只有一種,而長方體的展開方式不只一種,須分類討論,再通過比較得出最后的答案.五?勾股定理與整體思想整體思想是指對于某些數(shù)學問題,如果拘泥常規(guī)，從局部著手,則難以求解;如果把問題的某個部分或幾個部分看成一個整體進行思考,就能開闊思路，較快解答題目.例5?在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖）?已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是S、S、S、S，求S+S+S+STOC\o"1-5"\h\z12341234BCD思考與分析:本題不可能具體求出S、S、S、S的值,但我們可以利用三角形全等1234和勾股定理分別求出S+S、S+S、S+S122334解：易證RtAABC9RtACDE???AB=CD?/CD2+DE2=CE2AB2+DE2=CE2*.*AB2=S,DE2=S,CE2=3TOC\o"1-5"\h\z34???S+S=334同理可得S+S=112???S+S+S+S=1+3=41234反思:化分散為集中的整體策略是數(shù)學解題的重要方法，利用整體思想，不僅會使問題化繁為簡、化難為易,而且有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力.六.勾股定理與類比思想類比思想是數(shù)學學習的一種重要發(fā)現(xiàn)式和創(chuàng)造性思維.它是通過兩個已知事物在某些方面所具有的共同屬性,去推測這兩個事物在其他方面也有相同或類似的屬性,從而大膽猜想

得到結論.例6.(1)如圖①，分別以RtAABC的三邊為邊向外作三個正方形,其面積分別用S、S、12S表示,請說明S+S—S3231(2)如圖②，分別以RtAABC的三邊為直徑向外作三個半圓,其面積分別用S、S、S123表示，S+S二S仍然成立嗎?請說明理由.231⑶如圖③,分別以ZABC的三邊為邊向外作三個等邊三角形其面積分別用氣、S2、S3之間的關系并加以證明.ABS3之間的關系并加以證明.AB思考與分析:圖中有直角三角形，因此從我們熟悉的勾股定理入手，解決本題的關鍵是能正確地用直角三角形的三邊長分別表示出S「/、S3.解：?.?ZACB=90°.?.BC2+AC2=AB2(1)很容易得證(2)S2+S3-Si仍然成立.S=一兀22S=一兀221=—兀BC2S=—兀83???S+S=-兀BC2+-kAC2=-兀2388821—c1(AB)=—kaC2,S=—?！?1^BC2+AC2)=1kAB2=S81=—^AB28⑶S2+S3二S「證明如下:設這三個等邊三角形中BC、AC、AB邊上的高分別為h、h、h3，則123h1二#BC，h2二#AC，h3二宅AB???S2二2?BC?h-吟BC2,S3二FAC2，S1二I3AB2.?.s+S二3BC2+3AC2二3Gc2+AC2)=1!AB2二S234444i反思:本題從特殊到一般,從已知到未知,運用類比方法進行探究,其關鍵就在于充分理解勾股定理和準確找到所作圖形的面積與直角三角形三邊長的關系?當然，等到學習了相似三角形的知識后,還可以繼續(xù)探究:若分別以RtAABC的三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S、S、S表示，為使S、S、S之間仍具有以上相同的關系，則所作的三角123123形應滿足什么條件?本題也可以將條