（大學(xué)課件）隨機(jī)變量及其分布：隨機(jī)變量的分布函數(shù)

§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)

問題的提出：對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可用其概率分布來刻劃其統(tǒng)計(jì)規(guī)律性．對(duì)于非離散型的隨機(jī)變量，如何刻劃其分布？x

由于討論非離散型隨機(jī)變量X取單個(gè)值的概率沒有意義(將在后面論述)，故討論其落入某一個(gè)區(qū)間的概率。

盡管區(qū)間的類型有(a,b),(a,b],[a,b),[a,b],(-∞,b),(-∞,b],(a,+∞),[a,+∞)等8類，但區(qū)間(-∞,b]是有代表意義的，故考慮概率P{X≤x}

對(duì)于x∈R，概率P{X≤x}存在且為x的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)一、定義設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，稱函數(shù)

F(x)=P{X≤x}(-∞<x<+∞)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。利用分布函數(shù)可計(jì)算隨機(jī)變量取值于某區(qū)間的概率

P{X≤b}=F(b)

P{X>a}=1-

P{X≤a}=1-F(a)§2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、性質(zhì)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),則（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，0≤F(x)≤1，且（2）F(x)是單調(diào)不減函數(shù)，即對(duì)于任意x1

≤

x2

，有

F(x1)≤F(x2)．（3）F(x)是右連續(xù)函數(shù)，即F(x)=F(x+0)．

例1

有一批產(chǎn)品共40件，其中有3件次品.從中隨機(jī)抽取5件，以表示取到的次品件數(shù)，求X的概率分布及分布函數(shù).

解隨機(jī)變量X可能取到的值為0，1，2，3，按古典概率計(jì)算事件{X=k}（k=0,1,2,3）的概率，得的概率分布為或?qū)憺椋?/p>

X0123

P0.66240.30110.03540.0011當(dāng)x<0時(shí)，當(dāng)0≤x<1時(shí)，當(dāng)2≤x<3時(shí)，當(dāng)1≤x<2時(shí)，當(dāng)x≥3時(shí)，=0.6624+0.3011=0.9635;于是得的分布函數(shù)為:

函數(shù)F(x)是階梯形右連續(xù)函數(shù)，其圖像如右圖，在處有跳躍點(diǎn).

課堂練習(xí)設(shè)X的分布函數(shù)為求(1)常數(shù)A,B；(2)解(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)知故有

解得(2)三、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)特點(diǎn)

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為

pi=P{X=xi}(i=1,2,…)則其分布函數(shù)為這里和式是