中值定理證明題

中值定理證明題1.設(shè)f(x)在［0,2a］上連續(xù)，f(0)=f(2a)，證明在［0,a］上存在g使得f(a+g)=f(g).【分析】f(x)在［0,2a］上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到f(a+g)=f(g)Tf(a+g)-f(g)=0Tf(a+x)-f(x)=0【證明】令G(x)=f(a+x)一f(x)，xe［0,a］.G(x)在［0,a］上連續(xù)，且G(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)G(0)=f(a)-f(0)當f(a)=f(0)時，取g=0，即有f(a+g)=f(g);當f(a)=f(0)時，G(0)G(a)<0，由根的存在性定理知存在ge(0,a)使得,G(g)=0，即f(a+g)=f(g).2.試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)f(t)=2.試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)f(t)=12sin-St山0在［0,x］上應(yīng)用拉t=0格朗日中值定理得：f(x)-f(0)=x2sin|一0x-0x-0f(x)-f(0)=x2sin|一0x-0x-0=xsin1=f，(g)=x2gsin1-cos1gg(0<g<x)即：1=2gsin1-xsin1ggx(0<g<x)因0<g<x，故當xT0時，gT0，由lim2gsin丄=0gT0+ glimxsin1=0xT0+得：limcos1=0，即limcos1=0xT0+ g gT0+ g解：我們已經(jīng)知道，limcos1=0不存在，故以上推理過程錯誤。gT0+ g端點而定的，具體地說，g與x有關(guān)系，是依賴于x的，當xT0時，g不—定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使limcosg=0成TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"xt0+ g立，而limcos1=0中要求g是連續(xù)地趨于零。故由limcos1=0推不出立，gT0+\o"CurrentDocument"g xt0+ ggT0+limcos1=0gT0+ g3?設(shè)f(x)在［a,b］上可微，且f(a)>0,f'(b)>0，/(a)=f(b)=A,試證明f/(x)在+-(a,b)內(nèi)至少有兩個零點。知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。思路:要證明在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)函數(shù)至少存在兩個零點，只要證該函數(shù)在［a,b］上有三個零點，即可以利用羅爾中值定理，得出結(jié)論。證明：???f(a)=limf(x)-f⑷>0,由極限的保號性知，TOC\o"1-5"\h\z+ xw+ x―a3Y(a。)(不妨設(shè)3<b-a)，對于VxgY(a。)，均有f(衛(wèi)二f(a)>0，+ 1 1 2 + 1 x-a特別地，3xgY(a,3)，使得于(％)—于(a)>0，二得f(x)>f(a)=A；+ 1 x-a 11同理，由f'(b)>0,得3xgY(b,3)(3^<b-a)，使得/(*2)-/(b)>0，- 2 - 2 2 2 x-b2從而得f(x)<f(b)=A；2又???f(x)在［x,x］上連續(xù)，???由介值定理知，至少有一點fg(x,x)使得1212f(f)=A；???f(x)在［a,f］、疋b］上連續(xù)，在(a,f)、(f,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(f)=f(b)=A,???由羅爾中值定理知，至少有一點fg(a,f)、fg(f,b)，使得廣(f)=廣(f)=0,1212結(jié)論成立。4?設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=0的某個鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)，且f(0)二f'(0)二L二f(n-1)(0)二0,試用柯西中值定理證明：型=f(”)(如(°<&<1)。xn n!知識點：柯西中值定理。思路：對f(x)、g(x)=xn在［0,x］上連續(xù)使用n次柯西中值定理便可得結(jié)論。證明：Tf(x)、g(x)二xn及其各階導(dǎo)數(shù)在［0,x］上連續(xù)，在(0,x)上可導(dǎo)，且在(0,x)每一點處,g(n-1)(x)二n!x豐0，又f(0)二f'(0)二L二f(n-1)(0)二0,,???連續(xù)使用n次柯西中值定理得，f(x)f(x)-f(0)f