新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第六章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.1導(dǎo)數(shù)6.1.3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6.1.4求導(dǎo)法則及其應(yīng)用課件新人教B版選擇性必修第三冊

第六章6.1.3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6.1.4求導(dǎo)法則及其應(yīng)用課程標(biāo)準(zhǔn)1.熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,并能運(yùn)用這些公式求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);2.掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,并能運(yùn)用法則求復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù);3.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式C'=

,(xα)'=

,(ax)'=

,(logax)'=

,(sinx)'=

,(cosx)'=

.

名師點睛特殊函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(ex)'=ex.0αxα-1

axlnacosx-sinxC2.已知f(x)=x2,則f'(3)=(

)A.0 B.2x

C.6

D.9C解析

f'(x)=2x,∴f'(3)=6.知識點2求導(dǎo)法則1.函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則設(shè)f(x),g(x)是可導(dǎo)的,則[f(x)±g(x)]'=

.即兩個函數(shù)之和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的

.

2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則設(shè)f(x),g(x)是可導(dǎo)的,則[f(x)g(x)]'=

.即兩個函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

由上述法則立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常數(shù)與函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù),等于常數(shù)乘以

.

f'(x)±g'(x)導(dǎo)數(shù)之和(或差)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3.函數(shù)的商的求導(dǎo)法則

=名師點睛正確理解函數(shù)的求導(dǎo)法則應(yīng)注意以下幾點:(1)兩個函數(shù)和(差)的求導(dǎo)法則可以推廣到若干個函數(shù)和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).(2)準(zhǔn)確記憶公式形式,應(yīng)注意:[f(x)g(x)]'≠f'(x)·g'(x)≠f'(x)g(x)-f(x)g'(x);過關(guān)自診1.[2023河南三門峽靈寶校級月考]已知函數(shù)f(x)=3x+,則f'(1)=(

)A.1 B.2

C.3

D.4B2.[人教A版教材習(xí)題]已知函數(shù)f(x)=xlnx.(1)求這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù);(2)求這個函數(shù)的圖象在點(1,0)處的切線方程.解(1)f'(x)=(xln

x)'=x'·ln

x+x(ln

x)'=ln

x+1.(2)因為k=f'(1)=ln

1+1=1,所以切線方程為y=x-1,即x-y-1=0.知識點3簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地,如果函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復(fù)合函數(shù)為y=h(x)=f(g(x)),則可以證明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h'(x)與f'(u),g'(x)之間的關(guān)系為h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)·g'(x)=f'(g(x))g'(x).這一結(jié)論也可以表示為y'x=y'uu'x.名師點睛復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的主要步驟是:(1)分解復(fù)合函數(shù)為基本初等函數(shù),適當(dāng)選取中間變量.(2)求每一層基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(3)每層函數(shù)求導(dǎo)后,需把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).過關(guān)自診[北師大版教材例題]求函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù).u=φ(x)=3x+1復(fù)合而成的.由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)【例1】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(4)∵y=5x,∴y'=5xln5.規(guī)律方法

簡單函數(shù)求導(dǎo)的解題策略(1)若所求函數(shù)符合導(dǎo)數(shù)公式,則直接利用公式求解.(2)對于不能直接利用公式的類型,一般遵循“先化簡,再求導(dǎo)”的基本原則,避免不必要的運(yùn)算失誤.(3)要特別注意“與ln

x”“ax與logax”“sin

x與cos

x”的導(dǎo)數(shù)區(qū)別.其中正確的有(

)A.0個

B.1個

C.2個

D.3個C(2)[人教A版教材習(xí)題]求下列函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù):①f(x)=x5在x=3處的導(dǎo)數(shù);②f(x)=lnx在x=處的導(dǎo)數(shù);③f(x)=sinx在x=2π處的導(dǎo)數(shù);④f(x)=ex在x=0處的導(dǎo)數(shù).解①因為f'(x)=5x4,所以f'(3)=5×34=405;③因為f'(x)=cos

x,所以f'(2π)=cos

2π=1;④因為f'(x)=ex,所以f'(0)=e0=1.探究點二利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)【例2】

[人教A版教材習(xí)題]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=2x3-3x2-4;(2)y=3cosx+2x;(3)y=exlnx;解

y'=(2x3)'-(3x2)'-4'=6x2-6x;解

y'=(3cos

x)'+(2x)'=-3sin

x+2xln

2;(6)y=tanx.規(guī)律方法

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)的解題策略(1)對于函數(shù)求導(dǎo)問題,一般要遵循先化簡再求導(dǎo)的基本原則.求導(dǎo)時,不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用,而且要特別注意求導(dǎo)法則對求導(dǎo)的制約作用.在實施化簡時,必須注意變換的等價性,避免不必要的運(yùn)算錯誤.(2)若要求導(dǎo)的函數(shù)解析式與三角函數(shù)有關(guān),往往需要先運(yùn)用相關(guān)的三角公式對解析式進(jìn)行化簡與整理,然后套用公式求導(dǎo).變式訓(xùn)練2[2023河南模擬]已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且f(x)=x2f'(1)+x+2,則f'(1)=

.

-1解析

因為f(x)=x2f'(1)+x+2,則f'(x)=2xf'(1)+1,故f'(1)=2f'(1)+1,解得f'(1)=-1.探究點三復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)【例3】

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(3x-1)2;(2)y=ln(5x+2);解

設(shè)y=u2,u=3x-1.則y'=y'u·u'x=2u·3=6(3x-1)=18x-6.解

設(shè)y=ln

u,u=5x+2,(5)y=cos2x.解

設(shè)y=u2,u=cos

x,則y'=y'u·u'x=2u·(-sin

x)=-sin

2x.規(guī)律方法

1.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則如下:復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y對x的導(dǎo)數(shù)).即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)應(yīng)注意以下幾點:(1)分清復(fù)合函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的,適當(dāng)選定中間變量.(2)分步計算的每一步都要明確是對哪個變量進(jìn)行求導(dǎo),而其中要特別注意的是中間變量的導(dǎo)數(shù).(3)根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).(4)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程熟練后,中間步驟可以省略不寫.變式訓(xùn)練3(1)[北師大版教材習(xí)題]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):①y=e-x+2(2x+1)5;②y=cos(3x-1)-ln(-2x-1);③y=sin2x+cos2x;解①y'=-e-x+2×(2x+1)5+e-x+2×5(2x+1)4×2=(9-2x)(2x+1)4e-x+2;③y'=2cos

2x-2cos

xsin

x;(2)[北師大版教材習(xí)題]求曲線y=ln(3x-2)在x=1處的切線的方程.所以切線方程為y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.探究點四導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例4】

(1)[2023山西晉城期末]有一機(jī)器人的運(yùn)動方程為s(t)=t2+6t,t是時間,單位是秒,s是位移,單位是米,則該機(jī)器人在時刻t=2秒的瞬時速度為(

)A.5 B.7

C.10

D.13C解析

∵s(t)=t2+6t,∴s'(t)=2t+6,∴s'(2)=2×2+6=10,故選C.(2)已知函數(shù)f(x)=eax,設(shè)曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.

2解析

曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線的斜率為f'(0),又切線與直線x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因為f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.(3)[北師大版教材例題]求曲線f(x)=+2xlnx在點(1,0)處的切線的方程.解根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式表及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,可得

規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可快速求解f'(x0),分兩步完成:(1)根據(jù)y=f(x)求y=f'(x);(2)代入x0.這就給我們求瞬時變化率和切線的斜率帶來了方便.變式訓(xùn)練4[北師大版教材習(xí)題]求曲線f(x)=x3+x-2與直線y=4x-1平行的切線的方程.因為切線斜率k=4,所以當(dāng)切點為(1,0)時,切線方程為y-0=4(x-1),即4x-y-4=0;當(dāng)切點為(-1,-4)時,切線方程為y-(-4)=4[x-(-1)],即4x-y=0.成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測123451.下列各式正確的是(

)C.(3x)'=3x

D.(3x)'=3x·ln3D123452.已知函數(shù)f(x)=x+sinx+1,其導(dǎo)函數(shù)記為f'(x),則f(2022)+f'(2022)+f(-2022)-f'(-2022)=(

)A.2022 B.2

C.1

D.0B解析

因為f'(x)=1+cos

x,所以f'