2022-2023學(xué)年山東省青島市平度市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年山東省青島市平度市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)定義域求法可求得集合；根據(jù)指數(shù)函數(shù)值域求法可求得集合；根據(jù)交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得，則；當(dāng)時(shí)，，所以；所以.故選：.2．已知a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．充要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證必要性與充分性即可得到結(jié)果.【詳解】若，則，可得，反之，若，則可能為負(fù)數(shù)，推不出，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：C3．將五本不同的書全部分給甲，乙，丙三人，要求每人至少分得一本，則不同的分法有（

）A．90種 B．150種 C．180種 D．250種【答案】B【分析】由題意可知將書可以分成1，2，2和1，1，3兩種，然后分配給3人，再利用分類加法原理可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知將5本書可以分成1，2，2和1，1，3兩種，①若將書分成1，2，2三組，再分配給3人，則有種分法，②若將書分成1，1，3三組，再分配給3人，則有種分法，所以由分類加法原理可知共有種分法，故選：B4．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．4【答案】D【分析】先求出，再求的值即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D5．若的展開式中常數(shù)項(xiàng)是10，則m＝（

）A．－2 B．－1 C．1 D．2【答案】D【分析】由，利用的展開式的通項(xiàng)公式，分別求得和的常數(shù)項(xiàng)求解.【詳解】解：，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為；令，解得，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為，因?yàn)榈恼归_式中常數(shù)項(xiàng)是10，所以，解得，故選：D6．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)，且在是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在是增函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)【答案】A【分析】由奇偶性定義可知為奇函數(shù)；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定在是增函數(shù).【詳解】由得：或，的定義域?yàn)?；，是奇函?shù)；，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上是增函數(shù).故選：A.7．已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B．16 C． D．8【答案】B【分析】根據(jù)題意，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】正實(shí)數(shù)滿足，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，解得，所以的最小值為.故選：B.8．定義在R上的函數(shù)滿足，且時(shí)，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以在上遞增，所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤；，因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，故A正確；，即，B錯(cuò)誤；，，D錯(cuò)誤，故選：A二、多選題9．已知實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A，令即可判斷B，由不等式的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由函?shù)在上單調(diào)遞減可知，，故正確；對(duì)于B，令，滿足，則，所以不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，所以，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，即，所以，故錯(cuò)誤；故選：AC10．已知函數(shù)，則（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．在處取得極大值C．在點(diǎn)處的切線方程為D．若，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，可判斷選項(xiàng)A、B的正誤；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求在點(diǎn)處的切線方程，可判斷選項(xiàng)C;由方程的交點(diǎn)，可判斷選項(xiàng)D的正誤.【詳解】由題意，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，取得極大值；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；在點(diǎn)處的切線斜率，所以切線方程為：，即，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)，方程有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC11．已知連續(xù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為偶函數(shù) B．C．為極大值點(diǎn) D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)是以項(xiàng)為周期的周期函數(shù)，且關(guān)于中心對(duì)稱和對(duì)稱，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，即，又由為偶函數(shù)，可得關(guān)于對(duì)稱，即，所以A不正確；因?yàn)榍遥?，可得，所以B正確；由時(shí)，，可得函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱，可得函數(shù)在單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)，所以C正確；由函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，可得，所以，因?yàn)榍遥傻?，所以，所以函?shù)是以項(xiàng)為周期的周期函數(shù)，可得，所以，所以，所以D正確.故選：BCD.12．設(shè)A，B為同一隨機(jī)試驗(yàn)的兩個(gè)隨機(jī)事件，若，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)條件概率和全概率公式求解.【詳解】對(duì)A，,A正確；對(duì)B，根據(jù)全概率公式可得，,B錯(cuò)誤；對(duì)C，,C正確；對(duì)D，,,D正確；故選:ACD.三、填空題13．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．【答案】0.68【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，.故答案為：0.6814．有3臺(tái)機(jī)床加工統(tǒng)一型號(hào)的零件，加工的次品率分別為0.1，0.2，0.15，加工出來(lái)的零件混放在一起，3臺(tái)機(jī)床加工的零件分別占總數(shù)的45%，25%，30%，則任取一個(gè)零件為次品的概率為.【答案】0.14【分析】利用全概率公式求解即可.【詳解】記零件為三個(gè)機(jī)床加工的事件分別為，零件為次品的事件為，則，，所以.故答案為：0.14.15．已知集合，，若，則m的取值范圍是．【答案】【分析】因式分解求二次不等式可得，再根據(jù)二次函數(shù)的值域可得，進(jìn)而根據(jù)求解即可.【詳解】，，又，則，即.故答案為：16．過(guò)點(diǎn)可以作函數(shù)兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】先把函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，由切線相互垂直轉(zhuǎn)化為斜率之積為，得到兩切點(diǎn)的范圍，，且，根據(jù)在兩切線上可用表示出，結(jié)合的范圍可求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，且，設(shè)兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，且，因切線相互垂直，故，故，故兩切點(diǎn)分別為，，切線方程分別為：，，即，，由題意為兩切線的交點(diǎn)，故，，所以，得由得，即，故因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再寫出切線方程，再解出切線方程的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)切線斜率乘積為得，化簡(jiǎn)得，再利用基本不等式即可得到的范圍.四、解答題17．近年來(lái)，各種類型的網(wǎng)約車服務(wù)在我國(guó)各城市迅速發(fā)展，為人們出行提供了便利，但也給城市交通管理帶來(lái)了一些困難．為掌握網(wǎng)約車在某地的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該地抽取了6個(gè)城市，分別收集和分析了網(wǎng)約車的A，B兩項(xiàng)指標(biāo)數(shù)x，y，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析，它們滿足最小二乘法，且y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．(1)預(yù)測(cè)當(dāng)A指標(biāo)數(shù)為52時(shí)，B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值．(2)試求y與x之間的相關(guān)系數(shù)r，并利用r說(shuō)明y與x是否具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度較強(qiáng)）．附：參考數(shù)據(jù)：．相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值為103(2)0.88，y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系【分析】（1）把代入求解即可；（2）由求得，再根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式即可求解，從而可以判斷y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)A指標(biāo)數(shù)為52時(shí)，B指標(biāo)數(shù)的估計(jì)值為103.（2）因?yàn)椋?，所以相關(guān)系數(shù)，因?yàn)閞＞0.75，所以y與x具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.18．已知函數(shù)在處有極值．(1)求的極值；(2)若在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)極大值為，極小值為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值；（2）利用函數(shù)的極值和函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】（1）由條件知，得所以隨x變化情況如下表：01＋0－0＋遞增極大值遞減極小值遞增所以函數(shù)的極大值為，極小值為.（2）因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，只需,所以.19．某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良，為了檢驗(yàn)甲、乙兩種療法的效果差異，采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名患者，部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：療法療效合計(jì)未治愈治愈甲4860乙18合計(jì)100(1)請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析療法與療效是否有關(guān)聯(lián)？附：，其中n＝a＋b＋c＋d.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(2)從100名患者中按照治愈、未治愈分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10名，從這10人中選取3人參加免費(fèi)體檢，設(shè)免費(fèi)體檢者中治愈的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)表格見解析，療法與療效有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算與臨界值比較得出結(jié)論；（2）分層抽樣可知治愈的人數(shù)為，未治愈的人數(shù)為，確定隨機(jī)變量的X的所以取值，再求出對(duì)應(yīng)的概率，即可寫出分布列，代入數(shù)學(xué)期望公式求解即可.【詳解】（1）列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下：療法療效合計(jì)未治愈治愈甲481260乙221840合計(jì)7030100零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法沒(méi)有差異；根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為療法與療效有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01；（2）按照治愈、未治愈分層抽樣的方法隨機(jī)抽取10名，其中治愈的人數(shù)為，未治愈的人數(shù)為，X的可能取值為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為：X0123P.20．已知函數(shù)．(1)若在上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)列出不等式，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分,,與討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋瑒t，注意到：，，若，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，在上不存在零點(diǎn)，若，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，在上不存在零點(diǎn)，若，顯然，在上不存在零點(diǎn)，若，顯然存在，使得，且在上單調(diào)遞增，注意到：，，所以在上小于零，在上大于零，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到：，，且，所以存在唯一使得，綜上，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于，，然后分的范圍進(jìn)行討論，即可得到結(jié)果.21．某種電子玩具啟動(dòng)后，屏幕上的顯示屏?xí)S機(jī)亮起紅燈或綠燈，在玩具啟動(dòng)前，用戶可對(duì)P（0＜P＜1）賦值，且在第一次亮燈時(shí)，亮起綠燈的概率為P，亮起紅燈的概率為1－P，隨后若第n次亮起的是綠燈，則第n＋1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為，若第n次亮起的是紅燈，則第n＋1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．(1)若輸入，該玩具啟動(dòng)后，記前3次亮燈中亮綠燈的次數(shù)為X，求X的分布列與期望；(2)在玩具啟動(dòng)后，若某次亮燈為綠燈，且亮綠燈的概率在區(qū)間內(nèi)，則玩具會(huì)自動(dòng)播放歌曲，否則不播放，現(xiàn)輸入，則在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？【答案】(1)分布列見解析，期望為(2)5次【分析】（1）根據(jù)題意直接列出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而求出期望；（2）設(shè)第n次亮燈時(shí)，亮綠燈的概率為，則，然后根據(jù)數(shù)列知識(shí)構(gòu)造等比數(shù)列求出，然后利用列出不等式并解出不等式，從而得解.【詳解】（1）由題意知X的可能取值為0，1，2，3，；；；；所以X的分布列為：X0123P所以，.（2）設(shè)第n次亮燈時(shí)，亮綠燈的概率為，則，所以，所以是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，即，由得n為奇數(shù)且n＞9，又因?yàn)閚≤20，所以n＝11，13，15，17，19，所以在前20次亮燈中，最多唱5次歌.22．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分，，和四種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）要證，只需證，而，所以換元后構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最大值小于等于即可.【詳解】（1）由，得①時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，所以增區(qū)間為，減區(qū)間為，②時(shí)，得，若，即時(shí)，恒成立，所以為R上的增函數(shù)若，