第二章行列式習(xí)題解答

第二章行列式習(xí)題解答

1.決定以下9級(jí)排列的逆序數(shù)，從而決定它們的奇偶性：1）134782695；解：，偶排列；2）217986354；解：，偶排列；3）987654321；解：，偶排列.

2.選擇與使1）成偶排列；解：與一個(gè)為3，另一個(gè)為8，而是奇排列，由對(duì)換的性質(zhì)因此有；

2）成奇排列.解：與一個(gè)為3，另一個(gè)為6，而是奇排列，因此有.

3.寫出把排列變成排列的那些對(duì)換.

解：4.決定排列的逆序數(shù)，并討論它的奇偶性.解：1與其他數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序，2與其他數(shù)構(gòu)成個(gè)逆序,與其他數(shù)構(gòu)成2個(gè)逆序，與構(gòu)成1個(gè)逆序，故.當(dāng)或（為正整數(shù)）時(shí)，排列為偶排列；當(dāng)或（為正整數(shù)）時(shí)，排列為奇排列.

5.如果排列的逆序數(shù)為，排列的逆序數(shù)是多少？解：中任意兩個(gè)數(shù)碼與必在而且僅在兩個(gè)排列或中之一構(gòu)成逆序，個(gè)數(shù)碼中任取兩個(gè)的不同取法有個(gè)，因此兩個(gè)排列的逆序總數(shù)為，所以排列的逆序數(shù)為.6.在6級(jí)行列式中，這兩項(xiàng)應(yīng)帶有什么符號(hào)？解：，因此項(xiàng)帶正號(hào)；，因此項(xiàng)帶正號(hào).

7.寫出四級(jí)行列式中所有帶有負(fù)號(hào)并且包含因子的項(xiàng).解：因?yàn)?，因此所求的?xiàng)為.

8.按定義計(jì)算行列式：

1）

；

2）；

3）.解：1）該行列式含有的非零項(xiàng)只有，帶的符號(hào)為，值為，因此原行列式等于..

.

3）

4）.5）顯然當(dāng)或時(shí)均有兩行元素相同，因此行列式為0.當(dāng)時(shí)6）

.

14.證明：證明：

15.算出下列行列式的全部代數(shù)余子式：1)；

2）

.解：1）.2）

16.計(jì)算下面的行列式

1）

17.計(jì)算下列級(jí)行列式：1）

；

2）3）；4）；

5）.解1）按第一列展開得

也可以按定義計(jì)算，非零項(xiàng)只有兩項(xiàng)及值分別為和，符號(hào)分別為和，因此原行列式=2）解：當(dāng)時(shí)，行列式等于；當(dāng)時(shí)原行列式；當(dāng)時(shí)，從第二列起，每一列減去第一列得：原行列式=3）解：從第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得4）解：從第二行起每一行減去第一行，然后交換1,2兩行后化為三角形得：.也可以除第2行外，每一行都減去第2行，然后化為三角形計(jì)算.

5)

解：從第2列起每一列都加到第1列，然后按第一列展開得到：

.

18.證明：

1）

證明：從第2列起，每一列的倍加到第一列即可得：證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立，當(dāng)時(shí)，第一行的加到第二行，然后第二行的加到第三行，依次類推可得：證法二：按最后一列展開即可得.證法三：按第一行展開再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明.證法四：從最后一行起，每一行乘以加到上一行，然后按第一行展開可得：3）解:原行列式按第一行展開得:.因此有,即是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列.因此有.類似有.當(dāng)時(shí),解得.證法二：按第一行展開找到遞推關(guān)系，再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法加以證明.4）證明：對(duì)行列式的級(jí)數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，，因此結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)級(jí)數(shù)小于時(shí)結(jié)論成立，對(duì)級(jí)行列式按最后一行展開得：

由數(shù)學(xué)歸納法，結(jié)論成立.

注意：因?yàn)橹鲗?duì)角線上第一個(gè)元素為，其它主對(duì)角線上元素為，本行列式按第一行展開得到的低級(jí)數(shù)行列式與原行列式形式不同，無法得到與之間的遞推關(guān)系，而按最后一行可得到遞推關(guān)系.

5）

證明：從第二行起，每一行減去第一行先化為爪形行列式，再三角化

19.用克拉默法則解下列線性方程組：

1）

2）

3）

4）

解：1）系數(shù)行列式故方程組的解為：故方程組的解為：3）故方程組的解為：4）,20.設(shè)是數(shù)域中互不相同的數(shù)，是數(shù)域中任一組給定的數(shù)，用克拉默法則證明：存在唯一數(shù)域上的多項(xiàng)式使

證明：設(shè)，由得：把它看成關(guān)于的線性方程組，其系數(shù)行列式為一范德蒙德行列式，由互不相同可得系數(shù)行列式不為0，由克拉默法則，方程組解唯一，即滿足的多項(xiàng)式唯一.21.設(shè)水銀密度與溫度的關(guān)系式為

由實(shí)驗(yàn)測定得以下