排列組合經(jīng)典例題總結(jié)

基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)圖：第一頁(yè)第二頁(yè)，共36頁(yè)。

名稱(chēng)內(nèi)容分類(lèi)原理分步原理定義相同點(diǎn)不同點(diǎn)兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項(xiàng)工作的方法數(shù)直接（分類(lèi)）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類(lèi)辦法，第i類(lèi)辦法中有mi種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn

種不同的方法做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，做第i步中有mi種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn

種不同的方法.第二頁(yè)第三頁(yè)，共36頁(yè)。排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱(chēng)排列組合定義種數(shù)符號(hào)計(jì)算公式關(guān)系性質(zhì)

，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按一定的順序排成一列從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，把它并成一組所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)第三頁(yè)第四頁(yè)，共36頁(yè)。一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排這兩個(gè)位置.先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計(jì)數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿(mǎn)足特殊位置的要求,再處理其它位置。第四頁(yè)第五頁(yè)，共36頁(yè)。7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？練習(xí)1解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位：第二步由其余元素占位：第五頁(yè)第六頁(yè)，共36頁(yè)。二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。

要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.第六頁(yè)第七頁(yè)，共36頁(yè)。

七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，共有多少種不同的排法？練習(xí)2第七頁(yè)第八頁(yè)，共36頁(yè)。三.不相鄰問(wèn)題插空策略例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的5個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種

不同的方法

由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨(dú)獨(dú)獨(dú)元素相離問(wèn)題,可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì),再把不相鄰元素插入中間和兩端.第八頁(yè)第九頁(yè)，共36頁(yè)。馬路上有編號(hào)為1、2、3…9的九盞路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中3盞燈關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種。練習(xí)3不同的關(guān)燈方法有：（種）第九頁(yè)第十頁(yè)，共36頁(yè)。四.定序問(wèn)題縮倍(空位.插入)策略例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定共有多多少種不同的排法.解:(縮倍法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法1思考:能否讓甲乙丙先坐?第十頁(yè)第十一頁(yè)，共36頁(yè)。（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問(wèn)題可以用縮倍法，還可轉(zhuǎn)化為插空模型處理練習(xí)題410人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種排法？第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共36頁(yè)。五.多排問(wèn)題直排策略例5.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問(wèn)題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共36頁(yè)。10名學(xué)生分坐兩行，要求面對(duì)面坐下，但其中甲乙兩位同學(xué)不可相鄰也不可面對(duì)面，有多少種坐法？練習(xí)題5共有(1)甲在兩端：(2)甲不在兩端：第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共36頁(yè)。六.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略例6.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問(wèn)題,先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)題6某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只均不同且可區(qū)分，今每次取出一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止，則最后一只次品恰好在第五次測(cè)試中被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種？第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共36頁(yè)。七.相同元素分配問(wèn)題隔板策略例7.有10個(gè)三好學(xué)生名額，分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)題7有編號(hào)為1、2、3的3個(gè)盒子和10個(gè)相同的小球，現(xiàn)把這10個(gè)小球全部裝入3個(gè)盒子中，使得每個(gè)盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，這種裝法共有多少種?第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共36頁(yè)。八.正難則反間接法例8.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，從中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有多少種？取出的4點(diǎn)不共面情形復(fù)雜，故采用間接法。取出的4點(diǎn)共面有三類(lèi)：（1）過(guò)四面體的一個(gè)面有種；（2）過(guò)四面體的一條棱上的三個(gè)點(diǎn)和對(duì)棱的中點(diǎn)的平面有6種；（3）過(guò)四面體的四條棱的中點(diǎn)且與另兩條棱平

行的平面有3種；故取4個(gè)不共面的點(diǎn)有第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共36頁(yè)。以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，能組成多少個(gè)不同的四面體？

練習(xí)8第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共36頁(yè)。解排列組合題的常用方法6.排列組合混合題先選后排法1.特殊元素優(yōu)先考慮2.不相鄰問(wèn)題插空法3.相鄰問(wèn)題捆綁法4.

定序問(wèn)題縮倍法5.多排問(wèn)題直排法7.相同元素分配問(wèn)題隔板法8.正難則反間接法第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)1.（1）6本不同的書(shū)分給5名同學(xué)每人一本，有多少種不同分法？（2）5本相同的書(shū)分給6名同學(xué)每人至多一本，有多少種不同的分法？（3）6本不同的書(shū)全部分給5名同學(xué)每人至少一本，有多少種不同的分法？1.分配問(wèn)題捆綁法第2課時(shí)排列組合綜合應(yīng)用第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)1（5）6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙3名同學(xué)每人兩本，有多少種不同分法？（4）6本不同的書(shū)分給3名同學(xué)，甲1本、乙2

本、丙3本，有多少種不同的分法？分配問(wèn)題捆綁法第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)1（6）8本不同的書(shū)分給3名同學(xué)，其中1名同學(xué)2本、另兩人3本，有多少種不同分法？分配問(wèn)題第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)1（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社會(huì)公益活動(dòng)，若每天安排3人，者有多少種不同的安排方法？分配問(wèn)題第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)1：（8）將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每個(gè)班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少？分配問(wèn)題第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)2：（1）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，共有多少種不同的方法？分配問(wèn)題解：相當(dāng)于將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份隔板法第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)2：（2）7個(gè)相同的小球，任意放入4個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有1個(gè)小球的不同放法有多少種？分配問(wèn)題解：將7個(gè)小球用3塊隔板分成4份但盒子又不能空隔板法第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)3：四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是A，從其它頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使他們和點(diǎn)A在同一個(gè)平面上，則共有多少種不同的取法？2.組圖形問(wèn)題第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)4：用正方體的8個(gè)頂點(diǎn)共可以組成多少個(gè)不同的四面體？2.組圖形問(wèn)題第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)5：10雙不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任取4只，試求符合下列各種情形的方法數(shù)？先成雙后成單（1）4只鞋子恰成兩雙；(2)4只鞋子沒(méi)有成雙；(3)4只鞋子恰有2只成雙；第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共36頁(yè)。練習(xí)6：8名外交工作者，其中3人只會(huì)英語(yǔ)，2人只會(huì)日語(yǔ)，3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，現(xiàn)從則8人中選3個(gè)會(huì)英語(yǔ)，3個(gè)會(huì)日語(yǔ)的人去完成一項(xiàng)任務(wù)，有多少種不同的選法？3.選人問(wèn)題第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共36頁(yè)。例10：給下面的5個(gè)行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，問(wèn)共有多少種不同的涂色方案？4.涂色問(wèn)題23154練習(xí)7：用