大學(xué)物理上練習(xí)冊(cè)第2章《剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)》答案-2013

#第2章剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一、選擇題1(B)，2(B)，3(C)，4(C)，5(C)、填空題(1).62.5 1.67s(2).4.0rad/..0.25kg?m2—^mgl參考解：M=JdM=J1Qgm/1》dr=—^mgl2 02(5). 2E0三、計(jì)算題1.如圖所示，半徑為0=0.3m的A輪通過(guò)皮帶被半徑為r2=0.75m的B輪帶動(dòng)，B輪以勻角加速度汽rad/s2由靜止起動(dòng)，輪與皮帶間無(wú)滑動(dòng)發(fā)生.試求A輪達(dá)到轉(zhuǎn)速3000rev/min所需要的時(shí)間.解：設(shè)A、B輪的角加速度分別為。A和。B，由于兩輪邊緣的切向加速度相同則A輪角速度達(dá)到①所需時(shí)間為at=PAr1=PBr2PA=PBr2/ri33rt一歹一曠AB2(3000義2兀/60)x0.3 s=40s兀x0.752.一砂輪直徑為1m質(zhì)量為50kg,以900rev/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng).撤去動(dòng)力后，一工件以200N的正壓力作用在輪邊緣上，使砂輪在11.8s內(nèi)停止?求砂輪和工件間的摩擦系數(shù).(砂輪軸的摩擦可忽略不計(jì)，砂輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1mR2,其中m和R分別為砂輪的質(zhì)量和半徑).解：R=0.5m,3。=900rev/min=30汽rad/s,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 M=-JP這里 M="NRN為摩擦系數(shù)，N為正壓力，J=1mR2.設(shè)在時(shí)刻t砂輪開(kāi)始停轉(zhuǎn)，則有：3=3+Pt=0t0從而得 P=-30/t將②、③、④式代入①式，得—目NR=1mR2(-0/1)20①②③④日二mR30/(2Nt戶0.5.有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為口，若平板繞通過(guò)其中心且垂直板面的固定軸以角速度3。開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（已知圓形平板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1mR2，其中m為圓形平板的質(zhì)量）解：在廠處的寬度為”的環(huán)帶面積上摩擦力矩為?,,mg人 ,dM=U ?2兀r?rdr兀R2總摩擦力矩故平板角加速度設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n,由可得M=JRdM=—日mgRo總摩擦力矩故平板角加速度設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n,由可得貝慢角 0=2m32=2P0=4兀Mn/JoJ32c …n= o-=3R32/16n目g4兀M 0.一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤(pán)繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為30.設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速1度成正比，即M=-k3（k為正的常數(shù)），求圓盤(pán)的角速度從30變?yōu)?30時(shí)所需的時(shí)間.解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:兩邊積分:得Jd3/dr=-k3解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律:兩邊積分:得d3 k.——=--dt3JJ3o/2ld3=-Jtkdt3o 3 0Jln2=kt/Jt=(Jln2)/k5.一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示.軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r,整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上.當(dāng)物體從靜止釋放后，在時(shí)間t內(nèi)下降了一段距離S.試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（用m、r、t和S表示）.mg-T=mamg-T=ma①Tr=JP②由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系有：a=rP③由①、②、③式解得：J=m(g—a)r2/a④解：設(shè)繩子對(duì)物體（或繩子對(duì)輪軸）的拉力為T(mén)，則根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律得:又根據(jù)已知條件v0=01??S=—at2, a=2S/12 ⑤將⑤式代入④式得：J=mr2（會(huì)-1）2S3.如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和m2,且m1>m2,定滑輪的半徑為r,對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輕繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，滑輪軸上摩擦不計(jì).設(shè)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求看時(shí)刻滑輪的角速度.解：作示力圖.兩重物加速度大小。相同，方向如圖.m1g-T1=m1aT2-m2g=m2a設(shè)滑輪的角加速度為。，則(T1—T2)r=JP且有 a=rP由以上四式消去T1,T3.如圖所示，設(shè)兩重物的質(zhì)量分別為m1和m2,且m1>m2,定滑輪的半徑為r,對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輕繩與滑輪間無(wú)滑動(dòng)，滑輪軸上摩擦不計(jì).設(shè)開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，試求看時(shí)刻滑輪的角速度.解：作示力圖.兩重物加速度大小。相同，方向如圖.m1g-T1=m1aT2-m2g=m2a設(shè)滑輪的角加速度為。，則(T1—T2)r=JP且有 a=rP由以上四式消去T1,T2得：m-m)grP=t-1―)——rm+mr2+J12開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止，故t時(shí)刻滑輪的角速度.TTFam2gm-m)grt3二Pt= 1 ^2 m+m)r2+J127.一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒,可繞通過(guò)其一端的豎直固定光滑軸O轉(zhuǎn)動(dòng).棒的質(zhì)量為m=1.5kg,長(zhǎng)度為l=1.0m,對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=3ml2.初始時(shí)棒靜止.今有一水平運(yùn)動(dòng)的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如圖所示.子彈的質(zhì)量為m，=0.020kg,速率為v=400m?s-1.試問(wèn):m,l(1)(2)棒開(kāi)始和子彈一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度3有多大？若棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到大小為Mr=4.0N?m的恒定阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度0?解：(1)角動(dòng)量守恒：m'vl=「1, ”)—ml2+m12313

m'v

「1 A—m+m1=15.4rad?s-1(2)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律,得：1—Mr=(3ml2+ml2)p0—32=2p0-m+m'12320=13 L2Mr=15.4rad(1)兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速n;(2)兩輪各自所受的沖量矩．解：(1)選擇A、B兩輪為系統(tǒng)，嚙合過(guò)程中只有內(nèi)力矩作用，JA°A+JB①B=(JA+JB)°，又％=0得： 0-JA°A/(JA+JB)=20.9rad/s轉(zhuǎn)速 n~200rev/min⑵A輪受的沖量矩「JMAdt=JA(JA+JB)=-4.19X102N?m?s負(fù)號(hào)表示與可方向相反.B輪受的沖量矩.JMBdt=JB(°-0)=4.19X102N?m?s、，，B 方向與°相同．A4.一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為2乙質(zhì)量為m，以與棒長(zhǎng)方向相垂直的速度v0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)，與前方一固定的光滑支點(diǎn)0發(fā)生完全非彈性碰1撞.碰撞點(diǎn)位于棒中心的一側(cè)2L處，如圖所示.求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度°．(細(xì)棒繞通過(guò)其端點(diǎn)且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為3ml2，式中的m和l分別為棒的質(zhì)量和長(zhǎng)度.)故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒1212J3L/2p故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒1212J3L/2pvxdx-J00L/2pvxdx=pvL2=00-mvL2 0式中P為桿的線密度.碰撞后瞬時(shí)，桿對(duì)0點(diǎn)的角動(dòng)量為221(1、

+—m—L7°二一mL2°12因碰撞前后角動(dòng)量守恒，所以7mL2°/12=mmvL2 0°=6v0/(7L)10.空心圓環(huán)可繞光滑的豎直固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0,環(huán)的半徑為R,初始時(shí)環(huán)的角速度為°0.質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾，小球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問(wèn)小球滑到與環(huán)心0在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處的C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多大?(設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的,小球可視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑r<<R.)解：選小球和環(huán)為系統(tǒng)．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受合外力矩為零,角動(dòng)量守恒．對(duì)地球、小球和環(huán)系統(tǒng)機(jī)械能守恒．取過(guò)環(huán)心的水平面為勢(shì)能零點(diǎn)．小球到B點(diǎn)時(shí)： J0°0=(J0+mR2)° ①

—J32+mgR=200TOC\o"1-5"\h\z式中vB表示小球在B點(diǎn)時(shí)相對(duì)于地面的豎直分速度，也等于它相對(duì)于環(huán)的速度.由式①得:3=J030/（J0+mR2） 1分.J32R2 ,代入式②得 v=2gR+-0- 當(dāng)小球滑b mR2+J0 0即：到。點(diǎn)時(shí)，由角動(dòng)量守恒定律，系統(tǒng)的角速度又回復(fù)至30，又由機(jī)械能守恒定律知，小球在C的動(dòng)能完全由重力勢(shì)能轉(zhuǎn)換而來(lái).即：mmv2=mg（2R）v2c 'c四研討題.計(jì)算一個(gè)剛體對(duì)某轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，一般能不能認(rèn)為它的質(zhì)量集中于其質(zhì)心，成為質(zhì)點(diǎn)，然后計(jì)算這個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量？為什么？舉例說(shuō)明你的結(jié)論。參考解答：不能? v因?yàn)閯傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量入r2Am與各質(zhì)量元和它們對(duì)轉(zhuǎn)軸的距離有關(guān).如一勻質(zhì)圓盤(pán)對(duì)ii過(guò)其中心且垂直盤(pán)面軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1mR2，若按質(zhì)量全部集中于質(zhì)心計(jì)算，則對(duì)同一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為零..剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的動(dòng)能的增量只決定于外力對(duì)它做的功而與內(nèi)力的作用無(wú)關(guān)。對(duì)于非剛體也是這樣嗎？為什么？參考解答：根據(jù)動(dòng)能定理可知，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量不僅決定于外力做的功，還決定于內(nèi)力做的功。由于剛體內(nèi)任意兩質(zhì)量元間的距離固定，或說(shuō)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩質(zhì)量元的相對(duì)位移為零，所以每一對(duì)內(nèi)力做功之和都為零。故剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)能的增量就只決定于外力的功而與內(nèi)力的作用無(wú)關(guān)了。非剛體的各質(zhì)量元間一般都會(huì)有相對(duì)位移，所以不能保證每一對(duì)內(nèi)力做功之和都為零，故動(dòng)能的增量不僅決定于外力做的功還決定于內(nèi)力做的功。.乒乓球運(yùn)動(dòng)員在臺(tái)面上搓動(dòng)乒乓球，為什么乒乓球能自動(dòng)返回？參考解答：分析：乒乓球（設(shè)乒乓球?yàn)榫|(zhì)球殼）的運(yùn)動(dòng)可分解為球隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng).乒乓球在臺(tái)面上滾動(dòng)時(shí)，受到的水平方向的力只有摩擦力.若乒乓球平動(dòng)的初始速度v的方向如圖，則摩擦力F的方向一定向后.摩擦力的作用有二，對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，它使質(zhì)心平動(dòng)的速度v逐漸減小；對(duì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，它將使轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度3逐漸變小. \v當(dāng)質(zhì)心平動(dòng)的速度v=0而角速度3W0時(shí)，乒乓「認(rèn)匚一尸球?qū)⒎祷?因此，要使乒乓球能自動(dòng)返回，初始速度v c和初始角速度3。的大小應(yīng)滿足一定的關(guān)系.解題：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理:-F=mdvcr dt

TOC\o"1-5"