2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2019年上半年教師資格考試高中數(shù)學(xué)

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分,共40分)

1.下列選項中，運算結(jié)果一定是無理數(shù)的是()

A.有理數(shù)和無理數(shù)的和B.有理數(shù)與有理數(shù)的差

C.無理數(shù)和無理數(shù)的和D.無理數(shù)與無理數(shù)的差

2

Xacost,

.2

2.在空間直角坐標系中，由參數(shù)方程yasmt,(0Wt<2)所確定的曲線的

Zasin2t,

一般方程為()

222222

xya,Xy'a,Xya.Xya,

C.

A.2B.2D.2

z2xyz4xyZ22xyZ4xy

xcoscos,

3.已知空間直角坐標與球坐標的變換公式為ycossin,(0,

zsin,

,--)，則在球坐標系中，=一表示的圖形是()

223

A.柱面B.圓面C.半平面D.半錐面

4.設(shè)A為n階矩陣，B是經(jīng)A若干次初等行變換得到的矩陣，則下列結(jié)論正確

的是()

A.|A|=|B|B.|A|A|B|

C若|A|=0,則一定有|B|=0D.若|A|>0,則一定有|B|>0

n112n11,

5.已知fX1X，則f(1)=()

n12n1!

A.-1B.0C.1D.

111

6.若矩陣Ax4y有三個線性無關(guān)的特征向量,2是A的二重特征根,

335

則()

A.x=-2,y=2B.x=1,y=-1C.x=2,y=-2D,x=-1?y=1

7.下列表述屬于數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的是()

①利用圖形描述，分析數(shù)學(xué)問題;

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②借助空間形式認識事物的位置關(guān)系，形態(tài)變化和運動規(guī)律；

③建立形與數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題直觀模型，探索解決問題的思路；

④在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題建立模型。

A.①②⑤B.?2）@D.②??

8.下列描述為演繹推理的是（）

A.從一般到特殊的推理B.從特殊到一般的推理

C.通過實驗驗證結(jié)論的推理D.通過觀察猜想得到結(jié)論的推理

二、簡答題（本大題共5小題，每小題7分，共35分）

9.一次實踐活動中，某班甲、乙兩個小組各20名同學(xué)在綜合實踐基地脫玉米、完

成脫粒數(shù)量（千克）的數(shù)據(jù)如下：

甲組：57,59,63,63,64,71,71,71,72,7575,

78,79,82,83,83,85,86,86,89

乙組：50,53,57,62,62,63,65,65,67,68

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96

問題：

（D）分別計算甲、乙兩組同學(xué)脫粒數(shù)量（千克）的中位數(shù)；（2分）

0）比照甲，乙兩組數(shù)據(jù)，請你給出2種信息，并說明實際意義。（5分）

10.在空間直角坐標系下，試判定直線li：xy1。，與直線J：

x2yz20

2LJ」的位置關(guān)系，并求這兩條直線間的距離。

211

11.在平面直角坐標系下，

（1）三次多項式函數(shù)的圖象過四個點Pi（0,1）,Pi（1,3）,P3（-1,3）,

P4（2,15）,求該三次多項式函數(shù)的表達式；（4分）

（2）設(shè)Pi（X”yi）（i=1,2,,n）是平面上滿足條件Xi〈X2〈Xn的n個點，

則由這n個點所唯一確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)是多少？簡要說明理由。（3

分）

12.高中數(shù)學(xué)課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)性課程，簡述“基礎(chǔ)性”的含義，并

舉例說明。

13.評價學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習應(yīng)該采用多樣化的方式，請列舉四種不同類型的評價方

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式。

三、解答題(本大題1小題，10分)

14.設(shè)R2為二維歐式平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在一個實數(shù)，01,

使得對于任意的P，QeR2,有d(F(P),F(Q))Wd(P,Q),(其中d

(P,Q)表示P,Q兩點間的距離)，則稱F是壓縮映射。

設(shè)映射T：R2R2,

T((x,y))=Lx,ly>x,yR2<,

23

(1)證明：映射T是壓縮映射：(4分)

(2)設(shè)Po=Po(Xo,yo)為R2中任意一點，令Pn=T(Pn-1),n=1,2,3,,證明：

n8時，平面點列｛Pn｝收斂，并求limPn。(6分)

四、論述題(本大題1小題，15分)

15.函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，請結(jié)合實例談?wù)勅绾斡煤瘮?shù)的觀點來認識中學(xué)

數(shù)學(xué)課程中的方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。

五、案例分析題(本大題1小題，共20分)

16.案例：下面提供的案例是教師A和教師B在《方程的根與函數(shù)的零點》教學(xué)

中的“課堂提問”。

教學(xué)環(huán)節(jié)教師A教師B

概念的引入1.方程lnx+2x-6=0是否有1.觀察三組一元二次方程

實數(shù)根？及其相應(yīng)的二次函數(shù)，你

2.在初中你是如何判斷一能發(fā)現(xiàn)方程的根和函數(shù)

個方程是否有實數(shù)根圖象與X軸交點之間有何

的？關(guān)系嗎？

3.函數(shù)與方程之間有什么

關(guān)系？

概念的學(xué)習4.怎樣定義函數(shù)的零點？2.函數(shù)的零點如何定義？

5,函數(shù)的零點是零嗎？3.f(x)=-x2-2x+3的零點

是什么？

4.根據(jù)下列函數(shù)圖象，判

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斷函數(shù)有幾個零點？

概念的意義6.函數(shù)零點的幾何意義是5.函數(shù)零點的幾何意義

什么？是什么？

零點存在性定理的引入7.根據(jù)函數(shù)圖象判斷滿足6.觀察f(x)=-x2-2x+3的

什么條件時函數(shù)有零圖象，它在卜4,-2］上有零

點？點，計算f(-4)和f(-2)

的乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘

積有什么特點？在區(qū)間

［0,2］上是否也具有這種

特點？

零點存在性定理的學(xué)習(教師板書：如果函數(shù)(教師板書：如果函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間［a,b］上y=f(x)在區(qū)間［a,b］上

的圖象是連續(xù)不斷的一的圖象是一條連續(xù)不斷的

條曲線，并且有f(a)-f一條曲線，并且f(a)4

(b)<0,那么函數(shù)y=f6)<0,那么函數(shù)y=f

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

有零點，即存在CG(a,有零點，即存在ce(a,

b)使f(c)=0,這個cb)使得f(c)=0,這個c

也就是方程f(c)團的根)也就是方程f(x)=0的根)

8.滿足定理條件的函數(shù)零7.為何要求函數(shù)的圖象

點是唯一的嗎？連續(xù)？

9.滿足什么條件零點唯8.能否由“函數(shù)f(x)

一？依據(jù)是什么？在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點'

得到“f(a)?f(b)VO”？

9.如果函數(shù)圖象在［a,b］±

連續(xù)，能否由“f(a)?f

(b)VO”判斷函數(shù)在區(qū)

間(a,b)內(nèi)零點只有一

個？

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例題及練習、小結(jié)（略）（略）

問題：

?）請對兩位教師的課堂提問進行評價，并簡述理由；（15分）

0）請對兩位教師“概念引入”環(huán)節(jié)的課堂提問給出改進建議。（5分）

六、教學(xué)設(shè)計題（本大題1小題，30分）

17.“簡單隨機抽樣（第一課時）”的教學(xué)目標設(shè)計如下。

目標一：學(xué)會從現(xiàn)實生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題，理解隨機

抽樣的必要性；

目標二：結(jié)合具體的實際問題情境，體會簡單隨機抽樣的重要性；

目標三：以“問題鏈”的形式理解樣本是否具有代表性。

要求：

0）請針對上述教學(xué)目標，完成下列任務(wù)：

①根據(jù)教學(xué)目標一，設(shè)計兩個問題，并說明設(shè)計意圖；（8分）

②根據(jù)教學(xué)目標二，給出一個實例，并說明設(shè)計意圖；（4分）

③根據(jù)教學(xué)目標三，設(shè)計“問題鏈"（至少包含兩個問題），并說明設(shè)計意圖。

（6分）

0）請針對“簡單隨機抽樣”的內(nèi)容，回答下列問題：①這節(jié)課的教學(xué)重點

是什么？（4分）

②作為高中階段“統(tǒng)計”學(xué)習的起始課，其難點是什么？（4分）

③這節(jié)課對后續(xù)哪些內(nèi)容的學(xué)習有直接影響？（4分）

答案解析

一、單項選擇題

1A【解析】（1）有理數(shù)與有理數(shù)：和、差、積、商均為有理數(shù)（求商時分母不

為零）。（2）有理數(shù)與無理數(shù)：①一個有理數(shù)和一個無理數(shù)的和、差為無理數(shù)；

②一個非零有理數(shù)與一個無理數(shù)的積、商為無理數(shù)。（3）無理數(shù)與無理數(shù)：和、

差、積、商可能是有理數(shù)，也可能是無理數(shù)。故本題選Ao

2d

xacos,t,

2B【解析】由ya"t可得x+y=acos2222（2sintcost）2

sin,t+asint=a,z=a=4xy,

zasin2t

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所以將參數(shù)方程化為一般方程為④故選B。

z4xy。

X1

-

2

X

消

參得

得

y1到

3.D【解析】將=-代入到y(tǒng)-

32

z

ZVI2

Z收3y2,該方程是由yOz平面上的射線z氐（z>0）繞z軸旋轉(zhuǎn)得到

的，它表示以原點為頂點，以射線z抬y（z>0）為母線，以z軸為中心軸的半

錐面。故選Do

4.C【解析】矩陣的初等行（列）變換有：①交換矩陣的兩行（列）；②將一個

非零數(shù)k乘到矩陣的某一行（列）；③將矩陣的某一行（列）的k倍加到另一行

（列）上。若矩陣A經(jīng)過上面三種初等變換得到矩陣B,則對應(yīng)的行列式的關(guān)

系依次是|A|=-|B|,|A|=k|B|,|A|=|B|o即|A|=a|B|,aeR,所以|A|=0時必有舊|=0。

故選Co

5.B【解析】根據(jù)泰勒公式的展開式

352n12n1

XX[n1Xn1X

sinxw=x——1所以

3!5!2n1!n12n1!

2n1

n11

fX1xsinx>f(1)=sin=0。故選B。

n12n1!

6.C【解析】由題意可知矩陣A可以相似對角化，且2對應(yīng)兩個線性無關(guān)的

特征向量，所以2EAx。有兩個線性無關(guān)的解，即有3r2EA2

,所

111111

以r2EA=1。2EAx2yx2y要使r2EA=1,則

333000

有寸+

T,可得x=2,y=-2o故選Co

x2y

7.A【解析】直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利

用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式

認識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建

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立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。④中的描述

屬于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。故選Ao

8.A【解析】演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運用邏輯證明或數(shù)學(xué)運算，得出特殊

事物應(yīng)遵循的規(guī)律，即從一般到特殊的推理。歸納推理是由個別、特殊到一般的

推理，通過實驗結(jié)論和通過觀察猜想得到結(jié)論的推理都是歸納推理。故選A,

二、簡答題

9.【解析】(1)根據(jù)中位數(shù)的定義知，甲組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為三上75,

2

乙組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為為竺E68.5。

2

(2)①甲組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為

(57+59+63+63+64+71+71+71+72+75+75+78+79+82+83+83+85+86+86+89)4-

20=74.6,乙組同學(xué)脫粒數(shù)量的平均值為

(50+53+57+62+62+63+65+65+67+6869+73+76+77+78+85+85+88+94+96)4-

20=71.65。根據(jù)平均數(shù)的大小比較可知，甲組脫粒速度更快。

②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的波動情況，能夠看出甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，乙組數(shù)據(jù)波動很大。進

而可知，甲組同學(xué)的脫粒能力差不多，而乙組同學(xué)脫粒能力存在很大的個體差異性。

ijk

10?【解析】根據(jù)直線的方程可知，直線k的方向向量ni11Q1,1,1,

121

直線L的方向向量ri22,1,1。在li中令y=0,可得L過k

Mi=(-1,0,-1),

又I2過點M2(1,-1,0),M1M22,1,1。因為混合積

111

Qn2MlM221120,即向量n-鹿，M1M2不共面，所以直線

211

Il與直線l2異面。

ijk

直線I1與直線I2的公垂線的方向向量I%n21112,1,3,

211

M1M22,1,1,則兩直線之間的距離等于向量M1M2在向量?方向上的投影的

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長度，即d?M1M2|2|Vl4。

-fij-E7

11.【解析】(1)設(shè)三次多項式的表達式為f(x)=a3x3+a2x2+aix+a。，根據(jù)題意

a01,

得，@3a2aia03,解得a=1,a=2,a=?1,a=1,所以f(x)=x3+2x2-x+1。

3210

8.3S2SiSo3,

8a34a22ala。15,

(2)平面上n個橫坐標不同的點唯一確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)是n-1。設(shè)多

n-1n2

項式g(x)=an-ix+an-2x-++a2x2+a1x+ao的圖象經(jīng)過R(xnyD(i=1,2,

2

n1n2axax

Qn2X1a

an321110

2

n1n2axaxa

2X2y,,

n)，則有叫空221202這是一個關(guān)于ai(i=0,

2

n1n2axaxay，

22n1n0n

1,,n-1)的非齊次線性方程組，它的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式為n階范德蒙德

n2n1111

1X1XiXiXXX

n12n

1XX2n1

22x2

行列式Xj為0

n2n2n21ijn

n2XiX2Xn

1XXn1

nnXnn1n1n1

Xix2Xn

因為x1<X2<<Xn,所以此行列式不等于0o由克拉默法則得，該線性方程組有

唯一解，即存在唯一的一組數(shù)句(i=0,1,,n-1)o所以由這n個點所唯一確

定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)是n-1。

12.【參考答案】高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)性的具有以下幾點含義。

①高中數(shù)學(xué)課程在課程內(nèi)容上包含了數(shù)學(xué)中最基本的部分。在義務(wù)教育階段之后,

為滿足需求給學(xué)生提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，面向全體學(xué)生提供了學(xué)生現(xiàn)階段學(xué)

習及未來發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

②高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生進一步學(xué)習提供了選修內(nèi)容。例如，高中數(shù)學(xué)設(shè)有選修與

必修課程，必修課程是為了滿足所有學(xué)生的共同數(shù)學(xué)需求，選修系列課程是為了滿

足學(xué)生的不同數(shù)學(xué)需求，它仍然是學(xué)生發(fā)展所需要的基礎(chǔ)性數(shù)學(xué)課程。

③高中數(shù)學(xué)課程為學(xué)生適應(yīng)未來社會生活，高等教育和職業(yè)發(fā)展等提供必需的數(shù)

學(xué)基礎(chǔ)。例如，大學(xué)階段理工科類的學(xué)生需要更多的數(shù)學(xué)知識，而高中數(shù)學(xué)課程

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為大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習提供了必備的基礎(chǔ)知識。

④高中數(shù)學(xué)課程也為學(xué)生學(xué)習其他學(xué)科的課程，如高中物理、化學(xué)技術(shù)等，提供

了必要的知識準備。

13.【參考答案】數(shù)學(xué)學(xué)習評價的形式多樣，主要有口頭測驗、書面測驗、開放

式問題研究、活動報告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長記錄袋等。

下面列舉幾種不同的評價方式進行闡述。

①口頭測驗，是指在教學(xué)過程中教師通過與學(xué)生之間的言語互動，及時地了解學(xué)

生的數(shù)學(xué)學(xué)習情況，找出問題并及時糾正。

②書面評語評價，教師對學(xué)生的作業(yè)或者其他活動報告所做的書面性的評價。評

價形式不僅僅是分數(shù)或者等級，評語一般以鼓勵為主，用以幫助學(xué)生認識與解決

問題。

③課后訪談，是指教師通過課后與學(xué)生的溝通交流了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習情況的-種

評價方式。這種評價方式可以幫助老師更直接地了解到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習情況

④建立成長記錄袋，了解學(xué)生的成長經(jīng)歷，可以有效地幫助他們確立今后的學(xué)習

目標與方向。

三、解答題

14.【解析】(1)證明：設(shè)P(XP,yp),Q(XQ,yo)是R2上任意的兩點，則T

(P)=T((Xp,yp))=(1x1>),T(Q)=T((XQ,yQ))=(1x1y)。

-p?一P—Q，-Q

2323

d(T(P),T(Q))

11I?2

Xx11

J_p-Q-yp-yo

V2233

22

11/2

12

；

、二XpXQ-yPyQj-XpxQ-yPyQ

4

1_________2__________2_j41

1xxxxdP,Q，即存在滿足題意的所以映射T

—VPQPQ

2v22

是壓縮映射。

一D、/111

(2)由于Pn=T(Pn-1)=T(T(Pn-2)):==「(「。)=(—7Xo,-7y()),因為limrxo0，

23n2

1

m

J—y00,所以點列｛Pn｝收斂,且limFJ,0,0。

3n

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四、15.【參考答案】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主線，同時也對應(yīng)著重要的數(shù)學(xué)思

想方法，就是函數(shù)與方程的思想方法。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析

問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題；方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言

將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，包括方程、方程組和不等式、不等式組，然后

通過解方程或不等式來解決問題。

首先，函數(shù)與方程，中學(xué)數(shù)學(xué)課程中一元二次方程的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)

函數(shù)的零點問題。方程是利用算術(shù)來從數(shù)量關(guān)系入手解決問題，函數(shù)是集合間的

映射關(guān)系，當需要計算函數(shù)值時，可以利用方程的運算方法；在求解方程時也可

以利用函數(shù)的性質(zhì)和圖象。例如當y=0時，函數(shù)x的值表示函數(shù)圖象與x軸交點

的橫坐標，也就是方程的根，那么交點的數(shù)量就是方程的根的數(shù)量，也是方程的

根的判別式的判別目的。

其次，函數(shù)與不等式，用函數(shù)的觀點來看，不等式的解集就是使函數(shù)圖象y=f（x）

在x軸上方或下方的x的區(qū)域。在解不等式時可以借助函數(shù)的圖象來理解和運算，

也就是經(jīng)典的線性規(guī)劃問題。

最后，函數(shù)與數(shù)列，等差數(shù)列的通項公式可以看作是關(guān)于首項和公差（公比）的

一次函數(shù)的離散化，等差數(shù)列的前n項和公式是二次函數(shù)的離散化，等比數(shù)列的

通項公式以及前n項和公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化，因此可以將借助函數(shù)的性質(zhì)

來研究數(shù)列，可以通過函數(shù)圖象和解析式來求得數(shù)列的某些值。

五、案例分析題

16【參考答案】（1）課堂提問的原則主要有以下八種，分別為：有目的性原則、

啟發(fā)性原則、適度性原則、興趣性原則、循序漸進性原則、全面性原則、充分思考

性原則、及時評價性原則。

A教師的課堂提問中遵循了目的性、循序漸進、充分思考性等幾個原則。但是違

背了啟發(fā)性、適度性、全面性、興趣性以及時評性原則。

首先是啟發(fā)性、適度性和全面性原則。教師A提出的問題普遍特點是相對比較難

的，比較抽象，適合于中等及以上的同學(xué)，沒有考慮全體學(xué)生的水平，所以，違

背了適度性和全面性原則。其次是違背了興趣性原則。教師A在教學(xué)中，例

子相對比較少，更多的是直接提問知識層面上的問題，讓學(xué)生直接思考。沒有考

慮從學(xué)生的興趣出發(fā)，調(diào)動學(xué)生的積極性。最后是及時評價性原則。教師A在

整個教學(xué)中，沒有體現(xiàn)出對學(xué)生的回答及時做出評價。

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

B教師的課堂提問中遵循了目的性、啟發(fā)性、循序漸進性、充分思考性、興趣性、

適度性、全面性等幾個原則。但是沒有遵循及時評價性原則。教師B在整個的

教學(xué)過程中，能夠充分的利用例子，通過循序漸進的提問，幫助學(xué)生一步一步理

解函數(shù)的零點的概念以及方程的根與函數(shù)的零點之間的關(guān)系。

但在提問過程中，B教師沒有對學(xué)生的回答及時做出評價。在教學(xué)中，對學(xué)生的

表現(xiàn)進行及時的評價，這樣才能夠保證學(xué)生與教師的快速成長。

（2）A老師概念引入部分的提問沒有遵循循序漸進性的原則，問題的設(shè)置要考

慮學(xué)生的認知水平，問題的設(shè)置應(yīng)該由易到難、由簡到繁。對于教師A的建議：

應(yīng)該先提問：同學(xué)們，初中你是如何判斷一個方程有實數(shù)根的？（回顧之前學(xué)過

的方法）用初中的方法判斷l(xiāng)nx+2x-6=0是否有實數(shù)根嗎？（引導(dǎo)學(xué)生思考方程和

函數(shù)之間的關(guān)系）

B教師的概念引入雖然給出了三組實例，但還需在函數(shù)的類型上進行改進，不單

單只呈現(xiàn)一元二次方程及其對應(yīng)的二次函數(shù)，還可以增加一次方程及其對應(yīng)函數(shù)

讓學(xué)生進行觀察。

六、教學(xué)設(shè)計題

17.【參考答案】（1）①問題一：某校領(lǐng)導(dǎo)要了解全校學(xué)生的視力情況（近視和

不近視），隨機抽取50名學(xué)生，統(tǒng)計出這50名學(xué)生的視力情況，最后估計出全

校學(xué)生的視力情況。你會設(shè)計何種抽樣方法？你認為這種抽樣方法有什么優(yōu)缺

點？在隨機抽取的過程中應(yīng)該注意什么？

問題二：假設(shè)你是一名藥品安全監(jiān)測的工作人員，要對一批藥品進行安全監(jiān)測，

你準備怎樣做？需要對研究對象進行一一調(diào)查嗎？那么，應(yīng)該怎樣獲取樣本呢？

設(shè)計意圖：兩個問題的提出讓學(xué)生對于簡單隨機抽樣有一個初步了解，意識到簡

單隨機抽樣在實際生活中的廣泛應(yīng)用，與我們的生活息息相關(guān)。并將抽樣調(diào)查與

普查進行對比，引導(dǎo)學(xué)生提出抽樣的必要性。

②實例：經(jīng)消費者反映，某品牌牛奶存在細菌超標問題。針對該問題，食品衛(wèi)生

工作人員需要對該品牌牛奶進行衛(wèi)生達標檢驗。但是，若食品衛(wèi)生工作人員對該

品牌所有牛奶進行逐一檢測，將面臨巨大的工作壓力。因此，食品衛(wèi)生工作人員

只隨機抽取該品牌部分牛奶進行衛(wèi)生檢測。

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設(shè)計意圖：將實際生活問題作為實例進行教學(xué)，不僅可以使學(xué)生對簡單隨機抽樣

方法有更深的理解，還可以使其感受在面對總體數(shù)量較多時，簡單隨機抽樣方法

的重要性。

③師：在1936年美國總統(tǒng)選舉前，某雜志工作人員做了一次民意測驗，即調(diào)查蘭

頓和羅斯福誰將成為美國的下一屆總統(tǒng)。該調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上面

的名單（只有少數(shù)富人擁有）給一大批人發(fā)了調(diào)查表，通過分析調(diào)查表數(shù)據(jù)，從

而做出預(yù)測。

問題一：該雜志工作人員運用了什么抽樣方法？研究的總體和樣本分別是什么？

該抽樣方法具有什么特征？

設(shè)計意圖：結(jié)合生活實際描述問題情境并設(shè)置問題，加深學(xué)生對簡單隨機抽樣方

法的理解，使其進一步明確簡單隨機抽樣的特征，并巧妙地為后面問題做鋪墊。

師：該雜志工作人員做出的預(yù)測是蘭頓將在選舉中獲勝。但實際情況是，羅斯福

在選舉中獲勝。

問題二：你知道該雜志的工作人員的預(yù)測為什么是錯誤的嗎？分析該工作人員的

抽樣樣本可以發(fā)現(xiàn)什么？該樣本是否具有代表性？

設(shè)計意圖：顛覆性的結(jié)果，引出抽樣問題。使學(xué)生自主思考和探究問題，可以培

養(yǎng)學(xué)生獨立思考問題的習慣以及發(fā)現(xiàn)問題的能力。

師：該抽樣樣本中涉及的調(diào)查者是富人階層，只占所有選票中的少數(shù)。所以該工

作人員所抽取的樣本不具有代表性。

問題三：結(jié)合上述實例，在運用簡單隨機抽樣方法抽取樣本時，應(yīng)該注意什么？

除此之外，還應(yīng)該注意什么？

設(shè)計意圖：通過實例使學(xué)生理解樣本是否具有代表性的重要性。此外，該問題進

一步開拓學(xué)生的思維，從而達到總結(jié)出簡單隨機抽樣時需要注意的問題的目的。

（2）①教學(xué)重點：了解簡單隨機抽樣方法的意義；理解簡單隨機抽樣方法的定

義；掌握簡單隨機抽樣最常用的兩種方法一一抽簽法和隨機數(shù)法。靈活選用抽樣

方法。

②教學(xué)難點：理解一些統(tǒng)計名詞；抽簽法和隨機數(shù)法的實施步驟；面對統(tǒng)計數(shù)據(jù)

時，正確判斷所選取的抽樣方法是否合適。

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

③本節(jié)課是高中階段學(xué)習統(tǒng)計學(xué)的第一節(jié)課，統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、

分析數(shù)據(jù)的學(xué)科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。本節(jié)課對于后續(xù)學(xué)習用樣本

估計總體以及變量的相關(guān)關(guān)系有直接影響。

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

2019下半年高中數(shù)學(xué)教師資格證真題

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

ax八

1.若函數(shù)f(x)=e>xU,在x=o處可導(dǎo)，則a,b的值是()

bsin2x,x0,

A.a=2,b=1B.a=1,b=2

C.a=-2,b=1D.a=2,b=-1

n.1

2.若函數(shù)f(x)=XSin7,X°，的一階導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，則正整數(shù)n的取

0,x0

值范圍是()

A.n23B.n=2

C.n=1D.n=0

3?已知點Mi(1,2,-1),M2(1,3,0),若平面1過點Mi且垂直于MIM2,

則平面2：6x+y+18z-18=0與平面1之間的夾角是()

A.—B.—C.—D.一

6432

4.若向量a,b,c滿足a+b+c=0,那么axb=()

A.bXaB.cXb

C.bXcD.aXc

5.設(shè)n階方陣M的秩r(M)=r<n,則M的n個行向量中()

A.任意一個行向量均可由其他r個行向量線性表示

B.任意r個行向量均可組成極大線性無關(guān)組

C.任意r個行向量均線性無關(guān)

D.必有r個行向量線性性無關(guān)

6.下列變換中關(guān)于直線y=x的反射變換是()

10cossin

A.M,B.M2

01sincos

0110

C.MD.M4

31001

7.下列對向量學(xué)習意義的描述：

①有助于學(xué)生體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活和其他學(xué)科的聯(lián)系;

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

②有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)運算的意義及價值，發(fā)展運算能力；

③有助于學(xué)生掌握處理幾何問題的一種方法，體會數(shù)形結(jié)合思想

④有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)不同內(nèi)容之間存在廣泛的聯(lián)系。

其中正確的共有()

條B.2條C.3條D.4條

8.數(shù)學(xué)歸納法的推理方式屬于()

A.歸納推理B.演繹推理C.類比推理D.合情推理

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)

i03

9.已知線性變換Y=AX+B,其變換矩陣A，B。

015

3

?)寫出橢圓3zi1在該變換下的曲線方程；

49

。)舉例說明在該變換條件下，什么性質(zhì)不變，什么性質(zhì)發(fā)生變化(例如距離、

斜率、相交等)。

In5

10.f(x)=lnx(x>0),g(x)=x1。

4

0)求曲線y=f(x)與g(x)所圍成圖形的面積；

0)求平面圖形OWyWf(x),1WxW3,繞y軸旋轉(zhuǎn)所得體積。

11.一個袋子里8個黑球，8個白球，隨機不放回連續(xù)取球5個，每次取出1個球，

求最多取到3個白球的概率。

12.數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)

展，還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)

相關(guān)的人文活動。請你給出數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的兩個事例。

13.簡述數(shù)學(xué)建模的過程。

三、解答題(本大題共1小題，10分)

14.f(x)在［a,b］上連續(xù)，且f(a)?f(b)<0,請用二分法證明f(x)=0在

區(qū)間［a,b］上至少有一個根。

四、論述題(本大題共1小題，15分)

15.有人說，當前數(shù)學(xué)教學(xué)欠缺的是思維能力的培養(yǎng)，請談?wù)勀愕目捶?，并給出

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

具體的教學(xué)建議。

五、案例分析題（本大題共1小題，20分）

16.案例:

在學(xué)習了“直線與圓的位置關(guān)系”后，教師要求學(xué)生解決如下問題：

22

求過點P（2,3）且與圓O：（X-1）+y=1相切的直線I的方程。

一位學(xué)生給出的解法如下：

2

由圓。：（X-1）+y2=1知，圓心0（1,0）,半徑為1,設(shè)直線I的斜率為k,

22

則其方程為y-3=k（x-2）,即kx-y-2k+3=0?因為直線I與圓O：（x-1）+y=i

相切，所以圓心O到直線I的距離dJ解得k=f，所以，所求直

丙3

線I的方程為4x-3y+1=0o

問題：

。）指出上述解法的錯誤之處，分析錯誤原因，并給出兩種正確解法；（14

分）

。）針對該題的教學(xué)，談?wù)勅绾卧O(shè)置問題，幫助學(xué)生避免上述錯誤。（6分）

六、教學(xué)設(shè)計題（本大題共1小題，30分）

17.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》（2017年版）對“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”提出的學(xué)

習要求為：①通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了

解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)

涵與思想。

②體會極限思想。

③通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

請針對“導(dǎo)數(shù)的概念及其意義”，以達到學(xué)習要求①為目的，完成下列教學(xué)設(shè)計：

。）寫出教學(xué)重點；（6分）

0）寫出教學(xué)過程（只要求寫出新課導(dǎo)入，概念的形成與鞏固等過程）及設(shè)

計意圖。（24分）

2021高中數(shù)學(xué)歷年教資考試真題含解析

答案

一、單項選擇題

ax

1.A【解析】f(x)在x=0處可導(dǎo)，所以f(x)在x=0處必連續(xù)，b+sin2x=limeb1,

xo

由可導(dǎo)性質(zhì)可知limfxlimfx,所以limaeaxlim2cos2x，a=2。故選

x0x0x0x0

Ao

nx111sin110.

2.A【解析】fxxC°Sx，X由題意可知fx在x=0處連

0,x0,

續(xù)，所以limfx0,當且僅當n=3時成立。故選A。

xo

3.B【解析】MIM20,1,1>設(shè)平面1的一點到點Mi的向量為a=(x-1,y-2,

z+1),二者垂直，則(x-1)X0+(y-2)X1+(z+1)X1=0,整理得y+z-1=0,

平面2：6x+y+18z-18=0,法向量為n26,1,18,平面3：y+z-1=0,法向量為

n30,1,1,可得cos普普近，可知只有B項符合題意。

|n211n31<2，3612

4.C【解析】a+b+c=0,則a+c=-b,所以(a+c)Xb=-bxb=0,貝?。輆義b+c

Xb=0,所以axb=-cXb=bXc。故選C。

5.D【解析】由題意知r(m)=r<n,由矩陣性質(zhì)可知必然有r個行向量線性無關(guān)，

A錯；只有極大無關(guān)組中行向量才能由其它向量表示，B錯；線性無關(guān)才可以，

任意r個行向量不能保證線性無關(guān)，C錯。故選D。

6.C【解析】在平面任取一點P(x,y),點P關(guān)于y=x的對稱點Px.y，由

X望y

乙"Xf)*1V

點關(guān)于直線對稱點公式得2xu。故選C。

y2丫y1oy

7.D【解析】向量理論具有神奇的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，豐富的物理背景，向量既是代數(shù)研

究對象也是幾何研究對象，是溝通凡何和代數(shù)的橋梁。向量是描述直線、曲線、

平面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具，是進一步學(xué)習和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題

的基礎(chǔ)，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用。故選D。

8.B【解析】數(shù)學(xué)歸納法是一種證明方法，是一種演繹推理方法，它的基本思想