有關(guān)角平分線的輔助線做法-含例題及分析

由角平分線想到的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形〔如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊〕。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和條件。與角有關(guān)的輔助線〔一〕、截取構(gòu)全等如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一局部使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與*條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與*條線段相等，進(jìn)而到達(dá)所證明的目的。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而到達(dá)證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明。：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？練習(xí)在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC?！捕?、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。如圖2-1，AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求證：∠ADC+∠B=180分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。如圖2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求證：BC=AB+AD分析：過(guò)D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。如圖2-3，△ABC的角平分線BM、相交于點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，則PD=〔〕A4B3C2D12．在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。3．：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=〔AB+AD〕.求證：∠D+∠B=180。4.：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過(guò)F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH?！踩常鹤鹘瞧椒志€的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)?！踩绻}目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交〕。：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=〔AB-AC〕分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3．：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)B作BN垂直AD,交AD的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是∠BAC外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=〔AB+AC〕分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=〔AB+AC〕，即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。BE、BF分別是△ABC的∠ABC的角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC〔四〕、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。或通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。12ACDB12ACDB例5如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。BBDCAABECD例6如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分ABECD練習(xí)：1.，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。CCAB2．：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥ACAABDC123．CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CDAAEBDC4．：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+ADAABCD〔五〕、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。〔六〕、借助角平分線造全等1：如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD2：〔06市中考題〕如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說(shuō)明BE=CF的理由；〔2〕如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用〔06中考〕如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖