初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓

初三數(shù)學(xué)正多邊形和圓、弧長(zhǎng)公式及有關(guān)計(jì)算知識(shí)一.本周教學(xué)容：正多邊形和圓、弧長(zhǎng)公式及有關(guān)計(jì)算［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.正多邊形的有關(guān)概念；正多邊形、正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角。正n邊形的半徑，邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。2.正多邊形和圓的關(guān)系定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓，因此可采用作輔助圓的方法，解決一些問(wèn)題。3.邊數(shù)一樣的正多邊形是相似多邊形，具有以下性質(zhì)：〔1〕半徑〔或邊心距〕的比等于相似比?！?〕面積的比等于邊心距〔或半徑〕的比的平方，即相似比的平方。4.由于正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)n等分它的外接圓，因此畫(huà)正n邊形實(shí)際就是等分圓周?！?〕畫(huà)正n邊形的步驟：將一個(gè)圓n等分，順次連接各分點(diǎn)?！?〕用量角器等分圓先用量角器畫(huà)一個(gè)等于的圓心角，這個(gè)角所對(duì)的弧就是圓的，然后在圓上依次截取這條弧的等弧，就得到圓的n等分點(diǎn)，連結(jié)各分點(diǎn)即得此圓的接正n邊形。5.對(duì)于一些特殊的正n邊形，如正四邊形、正八邊形、正六邊形、正三角形、正十二邊形還可以用尺規(guī)作圖。6.圓周長(zhǎng)公式：，其中C為圓周長(zhǎng)，R為圓的半徑，把圓周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。7.n°的圓心角所對(duì)的弧的弧長(zhǎng)：n表示1°的圓心角的度數(shù)，不帶單位。8.正n邊形的每個(gè)角都等于，每個(gè)外角為，等于中心角。二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正多邊形和圓關(guān)系，弧長(zhǎng)公式及應(yīng)用。正多邊形的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。只有正五邊形、正四邊形對(duì)角線相等。2.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：解決有關(guān)正多邊形和圓的計(jì)算，應(yīng)用弧長(zhǎng)公式。例1.正六邊形兩條對(duì)邊之間的距離是2，則它的邊長(zhǎng)是〔〕A.B.C.D.解：如下圖，BF＝2，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BF于G，則FG＝1又∵∠FAG＝60°應(yīng)選B點(diǎn)撥：正六邊形是正多邊形中最重要的多邊形，要注意正六邊形的一些特殊性質(zhì)。例2.正三角形的邊心距、半徑和高的比是〔〕A.1∶2∶3 B.C.D.解：如下圖，OD是正三角形的邊心距，OA是半徑，AD是高設(shè)，則AO＝2r，AD＝3r∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3應(yīng)選A點(diǎn)撥：正三角形的心也是重心，所以心到對(duì)邊的距離等于到頂點(diǎn)距離的。通過(guò)這個(gè)定理可以使問(wèn)題得到解決。例3.周長(zhǎng)相等的正三角形、正四邊形、正六邊形的面積之間的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.解析：設(shè)它們的周長(zhǎng)為，則正三角形的邊長(zhǎng)是，正四邊形的邊長(zhǎng)為，正六邊形的邊長(zhǎng)為應(yīng)選B點(diǎn)撥：一定要注意三個(gè)正多邊形的周長(zhǎng)相等這一重要條件，否則容易得出錯(cuò)誤結(jié)論。例4.如下圖，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M，求證：〔1〕；〔2〕點(diǎn)悟：假設(shè)作出外接圓可以輕易解決問(wèn)題。證明：〔1〕正五邊形必有外接圓，作出這個(gè)輔助圓，則∴∠BEA＝36°〔2〕又∵公共角∠ABM＝∠EBA∴△ABM∽△EBA例5.正六邊形ABCDEF的半徑為2cm，求這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)和面積。解：∵正六邊形的半徑等于邊長(zhǎng)∴正六邊形的邊長(zhǎng)正六邊形的周長(zhǎng)正六邊形的面積點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑。例6.正方形的邊長(zhǎng)為2cm，求它的外接圓的外切正三角形的邊長(zhǎng)和面積。解：∵正方形的邊長(zhǎng)為2cm∴正方形的外接圓半徑為cm∴外接圓的外切正三角形一邊上的高為cm∴正三角形的邊長(zhǎng)為∴正三角形的面積為點(diǎn)撥：此題的重點(diǎn)是正方形的邊長(zhǎng)、圓的半徑和正三角形的半徑之間的關(guān)系。例7.如下圖，⊙和⊙外切于點(diǎn)P，⊙和⊙的半徑分別為r和3r，AB為兩圓的外公切線，A、B為切點(diǎn)，求AB與兩弧所圍的陰影局部的面積。解：連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作在中，∴梯形的面積為：又∵∴扇形的面積為：扇形的面積為：∴陰影局部的面積為：點(diǎn)撥：求組合圖形的面積一般要構(gòu)造出易解決問(wèn)題的根本圖形，然后求出各圖形的面積，最后通過(guò)面積的加減得出結(jié)論。例8.如果弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)增加1°，設(shè)弧的半徑為單位1，則它的弧長(zhǎng)增加___________。解：由弧長(zhǎng)公式，得：當(dāng)弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)增加1°，則弧長(zhǎng)為∴弧長(zhǎng)增加，故填點(diǎn)撥：此題主要考察弧長(zhǎng)公式。例9.如圖，大的半圓的弧長(zhǎng)為a，n個(gè)小圓的半徑相等，且互相外切，其直徑和等于大半圓的直徑，假設(shè)n個(gè)小半圓的總弧長(zhǎng)為b，則a與b之間的關(guān)系是〔〕A.B.C.D.解：設(shè)大半圓的半徑為R，小半圓的半徑為r由題意，得：∴小圓的半徑∴每個(gè)小半圓的弧長(zhǎng)為∴n個(gè)小半圓的總弧長(zhǎng)即，應(yīng)選A。點(diǎn)撥：此題的關(guān)鍵是大半圓的半徑和小半圓的半徑之間的關(guān)系，然后通過(guò)弧長(zhǎng)和半徑之間的關(guān)系求解。例10.如下圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的的長(zhǎng)為，的長(zhǎng)為，假設(shè)，則圖中陰影局部的面積為〔〕A.B.C.D.解：設(shè)∠O＝α，由弧長(zhǎng)公式得：又∴陰影局部的面積為：應(yīng)選C點(diǎn)撥：此題主要考察弧長(zhǎng)、扇形面積的有關(guān)計(jì)算，要熟記公式，正確運(yùn)用。例11.如下圖，⊙O的半徑OA為R，弦AB將圓周分成弧長(zhǎng)之比為3∶7的兩段弧，求弦AB的長(zhǎng)，如果將3∶7改為m∶n，此時(shí)弦AB的長(zhǎng)度是多少？點(diǎn)悟：欲求弦長(zhǎng)AB，需用弦長(zhǎng)公式，需知圓心角的度數(shù)，∠AOB可通過(guò)兩弧長(zhǎng)之比3∶7求得，再利用求得AD，AB就可求。解：作OD⊥AB于D，連結(jié)OB∵這兩段弧之比為3∶7∴這兩段弧所對(duì)的圓心角之比也為3∶7設(shè)這兩個(gè)圓心角的度數(shù)為3*，7*，則即∴∠DOA＝54°，又∴AD＝Rsin54°∵AB＝2AD同理可得3∶7改為m∶n時(shí)，解得：點(diǎn)撥：有關(guān)正多邊形的計(jì)算，都要作出它的半徑和邊心距為輔助線，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。例12.正六邊形邊長(zhǎng)為a，求它的切圓的面積。點(diǎn)悟：欲求切圓的面積，根據(jù)圓面積公式，需求切圓的半徑OH，可依據(jù)正六邊形的性質(zhì)及邊長(zhǎng)a求得，代入面積公式，即可。解：如下圖，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)，切圓的圓心為O，連結(jié)OA、OB，作OH⊥AB于H，則∠AOH＝30°例13.正多邊形的周長(zhǎng)為12cm，面積為，則切圓的半徑為_(kāi)_________。解：設(shè)正多邊形是正n邊形，圓半徑為r∵正多邊形的周長(zhǎng)是12cm∴正多邊形的邊長(zhǎng)是又∵正多邊形的面積是故應(yīng)填2cm。點(diǎn)撥：要注意切圓半徑等于正多邊形的邊心距這一重要概念?！泊痤}時(shí)間：30分鐘〕一.判斷題。1.各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形?！病?.各邊相等的圓接多邊形是正多邊形?！病?.各角相等的圓接多邊形是正多邊形。〔〕4.各角相等的圓外切多邊形是正多邊形?！病?.一個(gè)四邊形不一定有外接圓或切圓?！病?.矩形一定有外接圓，菱形一定有切圓?！病?.三角形一定有外接圓和切圓，且兩圓是同心圓?！病?.依次連結(jié)正多邊形各邊中點(diǎn)所得的多邊形是正多邊形?！病扯?填空題。9.假設(shè)正多邊形角和是540°，則這個(gè)多邊形是_________邊形。10.兩個(gè)圓的半徑比為2∶1，大圓的接正六邊形與小圓的外切正六邊形的面積比為_(kāi)_________。11.有一修路大隊(duì)修一段圓弧形彎道，它的半徑R是36m，圓弧所對(duì)的圓心角為60°，則這段彎道長(zhǎng)約________m〔準(zhǔn)確到0.1m，〕。三.解答題。12.半徑為R的圓有一個(gè)外切正方形和接正方形，求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)比和面積比。13.如圖，△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，點(diǎn)C、D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，過(guò)點(diǎn)A、C、D的⊙O分別交AF、AG于點(diǎn)B、F。求證：五邊形ABCDE是正五邊形。14.如圖：三個(gè)半徑的圓兩兩外切，求由三條切點(diǎn)弧圍成的陰影圖形的周長(zhǎng)。[參考答案]一.判斷題。1.×2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.√二.填空題。9.正