勾股定理知識(shí)總結(jié)

勾股定理知識(shí)總結(jié)一.基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1:勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a?+b2=C2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在AABC中，/C=90°，貝Uc=^a2+b2，b=、c2-a2，（2） 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3） 利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理請(qǐng)你根據(jù)圖形寫(xiě)出勾股定理的證明過(guò) 程:3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系霧+b2=。，那么這個(gè)三角形是直角三角形。證明：如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，滿足a?+b=c?，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：（1） 首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2） 驗(yàn)證c?與卻+加是否具有相等關(guān)系，若c?=卻+b?，則AABC是以4為直角的直角三角形(若C2R+S,則△ABC是以ZC為鈍角的鈍角三角形；若。<蹈+b2,則△ABC為銳角三角形)。(定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+c2=b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊)3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。規(guī)律方法指導(dǎo)勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b,c有下列關(guān)系：a^+b=c^，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解.6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代數(shù)式表示〃組勾股數(shù)：n2-1,2n,n2+1(n>2,n為正整數(shù))；2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n為正整數(shù))m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m，n為正整數(shù)結(jié)合三角形：已知△ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)2+(b-c)2=0，則△ABC為角形在△ABC中，若a2=(b+c)(b-c)，則△ABC是 三角形，且/90。在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為1.已知|x-12〔+|x+y-251與z2-10z+25互為相反數(shù)，試判斷以%、y、z為三邊的三角形的形狀。2.已知：在AABC中，三條邊長(zhǎng)分別為a、b、c，a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1)試說(shuō)明：/C=90。。

3.若AABC的三邊a、b、c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，試判斷AABC的形狀。（二）、實(shí)際應(yīng)用：梯子滑動(dòng)問(wèn)題：（1） 一架長(zhǎng)2.5m的梯子，斜立在一豎起的墻上，梯子底端距離墻底0.7m（如圖），如果梯子的頂端沿墻下滑0.4m，那么梯子底端將向左滑動(dòng)米（2） 如圖，梯子AB斜靠在墻面上，AC±BC,AC=BC,當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是（ ）A.X=y B.X>y C.x<y D.不能確定（3） 小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子吹到地面上還多1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)5米后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好觸到地面，試問(wèn)旗桿的高度為米直角邊與斜邊和斜邊上的高的關(guān)系：直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊上的高為h，則下列式子總能成立的是（ ）C.D.A.ab=b2B.a2+b2=2h2C.D.變：如圖，在RtAABC如圖，在RtAABC中，NACB=90。，CD±AB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）'+—=—a2b2h2（2） a+b<c+h（3） 以a+b，h，c+h為三邊的三角形是直角三角形爬行距離最短問(wèn)題：如圖，一塊磚寬AN=5血，長(zhǎng)ND=10血，CD上的點(diǎn)F距地面的高FD=8m，地面上A處的一只螞蟻到B處吃食，要爬行的最短路線是 cm如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只昆蟲(chóng)想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則昆蟲(chóng)沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是 分米？如圖，一只螞蟻沿邊長(zhǎng)為a的正方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，則它走過(guò)的路程最短為（ ）

（三）方向問(wèn)題:1.一輪船在大海中航行，它先向正北方向航行8km,接著，它又掉頭向正東方向航行15千米.⑴此時(shí)輪船離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)多少km?⑵若輪船每航行1km,需耗油0.4升，那么在此過(guò)程中輪船共耗油多少升？（四）旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：1.如圖，AABC為等腰直角三角形，/BAC=90。，將△ABH繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AACH'處，若AH=3m，試求出H、h'兩點(diǎn)之間的距離。2.如圖所示，已知在AABC中，AB=AC，/BAC=90。，D是BC上任一點(diǎn)，求證：BD2+CD2=2AD