高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)專題51 等差等比數(shù)列綜合問題 (含解析)

PAGE微專題51等差等比數(shù)列綜合問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)：等差數(shù)列SKIPIF1<0等比數(shù)列SKIPIF1<0遞推公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0通項(xiàng)公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0等差（比）中項(xiàng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0等間隔抽項(xiàng)仍構(gòu)成等差數(shù)列仍構(gòu)成等比數(shù)列相鄰SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0成等差數(shù)列SKIPIF1<0成等比數(shù)列2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的互化：（1）若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0成等比數(shù)列證明：設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為一個(gè)常數(shù)所以SKIPIF1<0成等比數(shù)列（2）若SKIPIF1<0為正項(xiàng)等比數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0成等差數(shù)列證明：設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為常數(shù)所以SKIPIF1<0成等差數(shù)列二、典型例題：例1：已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則公比SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由“SKIPIF1<0成等差數(shù)列”可得：SKIPIF1<0，再由等比數(shù)列定義可得：SKIPIF1<0，所以等式變?yōu)椋篠KIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)均符合條件答案：B例2：已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且公差SKIPIF1<0不為零，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：從“SKIPIF1<0成等比數(shù)列”入手可得：SKIPIF1<0，整理后可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合要求答案：B小煉有話說：在等差數(shù)列（或等比數(shù)列）中，如果只有關(guān)于項(xiàng)的一個(gè)條件，則可以考慮將涉及的項(xiàng)均用SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）進(jìn)行表示，從而得到SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的關(guān)系例3：已知等比數(shù)列SKIPIF1<0中的各項(xiàng)均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______________思路：由等比數(shù)列性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0為等差數(shù)列，求和可用等差數(shù)列求和公式：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為SKIPIF1<0，如果第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減SKIPIF1<0，則成等差數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)為___________思路：可設(shè)這三個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而第一個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)各減2，新的等差數(shù)列為SKIPIF1<0，所以有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，這三個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，這三個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小煉有話說：三個(gè)數(shù)成等比（或等差）數(shù)列時(shí)，可以中間的數(shù)為核心。設(shè)為SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），這種“對(duì)稱”的設(shè)法便于充分利用條件中的乘積與和的運(yùn)算。例5：設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0為等比數(shù)列，其公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則有（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0或SKIPIF1<0思路：抓住SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的序數(shù)和與SKIPIF1<0的關(guān)系，從而以此為入手點(diǎn)。由等差數(shù)列性質(zhì)出發(fā)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，而SKIPIF1<0為等比數(shù)列，聯(lián)想到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有關(guān)，所以利用均值不等式可得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，均值不等式等號(hào)不成立）所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0答案：B小煉有話說：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長(zhǎng)的運(yùn)算，等差數(shù)列擅長(zhǎng)加法，等比數(shù)列擅長(zhǎng)乘積。所以在選擇入手點(diǎn)時(shí)可根據(jù)表達(dá)式的運(yùn)算進(jìn)行選擇。例6：數(shù)列SKIPIF1<0是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，則有（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小不確定思路：比較大小的式子為和的形式，所以以SKIPIF1<0為入手點(diǎn)，可得SKIPIF1<0，從而作差比較SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為正項(xiàng)等比數(shù)列可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B小煉有話說：要熟悉等差數(shù)列與等比數(shù)列擅長(zhǎng)的運(yùn)算，等差數(shù)列擅長(zhǎng)加法，等比數(shù)列擅長(zhǎng)乘積。所以在選擇入手點(diǎn)時(shí)可根據(jù)表達(dá)式的運(yùn)算進(jìn)行選擇。例7：設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求和看通項(xiàng)，考慮SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：A例8：(2011,江蘇）設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0成公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0的最小值是___________思路：可知等比數(shù)列為SKIPIF1<0，等差數(shù)列為SKIPIF1<0，依題意可得SKIPIF1<0①，若要SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0要達(dá)到最小，所以在①中，每一項(xiàng)都要盡量取較小的數(shù)，即讓不等式中的等號(hào)成立。所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，驗(yàn)證當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，①式為SKIPIF1<0，滿足題意。答案：SKIPIF1<0例9：已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的正整數(shù)，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是正整數(shù)，則SKIPIF1<0等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解：本題SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式易于求解，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，而處理SKIPIF1<0通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是要解出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0可取的值為SKIPIF1<0，可得只有SKIPIF1<0才有符合條件的SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0答案：D例10：SKIPIF1<0個(gè)正數(shù)排成SKIPIF1<0行SKIPIF1<0列（如表），其中每行數(shù)都成等差數(shù)列，每列數(shù)都成等比數(shù)列，且所有的公比都相同，已知SKIPIF1