《實變函數(shù)》第三章 測度論

./第三章測度論〔總授課時數(shù)14學(xué)時教學(xué)目的引進(jìn)外測度定義,研究其性質(zhì),由此過渡到可測集本章要點要引導(dǎo)學(xué)生注意外測度與測度之間的重要差別,測度概念抽象,要與具體點集諸如面積體積等概念進(jìn)行比較.§1、外測度教學(xué)目的1、掌握外測度的定義及其基本性質(zhì).2、理解區(qū)間及有理點集的外測度及其證明方法.本節(jié)要點外測度的定義及其基本性質(zhì).本節(jié)難點外測度的定義.授課時數(shù)4學(xué)時——————————————————————————————一、引言<1>Riemann積分回顧〔分割定義域,,積分與分割、介點集的取法無關(guān)。幾何意義〔非負(fù)函數(shù)：函數(shù)圖象下方圖形的面積?！?新的積分〔Lebesgue積分,從分割值域入手記,,則問題：如何把長度,面積,體積概念推廣?達(dá)布上和與下和上積分〔外包〔達(dá)布上和的極限下積分〔填達(dá)布下和的極限二、Lebesgue外測度<外包>1．定義：設(shè),稱非負(fù)廣義實數(shù)為開區(qū)間}為的Lebesgue外測度。下確界：〔1是數(shù)集的下界,即,〔2是數(shù)集的最大下界,即使得為開區(qū)間}開區(qū)間列使得且即：用一開區(qū)間列"近似"替換集合例1設(shè)是中的全體有理數(shù),試證明的外測度為0.證明：由于為可數(shù)集,故不妨令作開區(qū)間則且,從而,再由的任意性知思考：１.設(shè)是平面上的有理點全體,則的外測度為0提示：找一列包含有理點集的開區(qū)間2.平面上的軸的外測度為0提示：找一列包含軸的開區(qū)間3.對Lebesgue外測度,我們用可數(shù)個開區(qū)間覆蓋中的有理數(shù)全體,是否這可數(shù)個開區(qū)間也覆蓋〔除可數(shù)個點外.注：對可數(shù)個開區(qū)間不一定有從左到右的一個排列〔如Cantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間2．Lebesgue外測度的性質(zhì)〔1非負(fù)性：,當(dāng)為空集時,〔2單調(diào)性：若則證明:能覆蓋的開區(qū)間列也一定能覆蓋,從而能覆蓋的開區(qū)間列比能覆蓋的開區(qū)間列要少,相應(yīng)的下確界反而大?！?次可數(shù)可加性證明：對任意的,由外測度的定義知,對每個都有一列開區(qū)間〔即用一開區(qū)間列近似替換使得且從而,且可見由的任意性,即得注：〔1一般證明都是從大的一邊開始,因為外測度的定義用的是下確界〔2外測度的次可數(shù)可加性的等號即使不交也可能不成立〔反例要用不可測集,但有:若則當(dāng)區(qū)間的直徑很小時候,區(qū)間不可能同時含有,中的點從而把區(qū)間列分成兩部分,一部分含有中的點,一部分含有中的點.例2對任意區(qū)間,有.思考：書本中的證明用有限開覆蓋定理的目的何在？此例說明Lebesgue外測度某種程度是區(qū)間長度概念的推廣例3Cantor集的外測度為0.證明：令第次等分后留下的閉區(qū)間為從而注：稱外測度為0的集合為零集；零集的子集,有限并,可數(shù)并仍為零集.——————————————————————————————作業(yè)：P751,2練習(xí)題1如果將外測度的定義改為"有界集的外測度是包含的閉集的測度的下確界."是否合理？2設(shè),問在什么條件下有3對于有界集,是否必有？4設(shè)是直線上的一有界集,,則對任意小于的正數(shù),恒有子集,使§2可測集合教學(xué)目的1、深刻理解可測集的定義,學(xué)會用Caratheodory條件驗證集合的可測性.2、掌握并能運(yùn)用可測集的性質(zhì).本節(jié)要點學(xué)會用Caratheodory條件驗證集合的可測性.本節(jié)難點用Caratheodory條件驗證集合的可測性.授課時數(shù)4學(xué)時——————————————————————————————Lebesgue外測度<外包>且為開區(qū)間}開區(qū)間列使得且即：用一開區(qū)間列"近似"替換集合次可數(shù)可加性<即使兩兩不交>一、可測集的定義若有〔Caratheodory條件,則稱為Lebesgue可測集,此時的外測度稱為的測度,記作.注：Lebesgue開始也是利用外測度與測度相等定義可測集,但此方法對處理問題很不方便,故我們采用上述方法.例1：零集必為可測集證明：,有從而即為可測集。二、Lebesgue可測集的性質(zhì)〔1集合可測〔即證明：<充分性,<必要性>令〔2若可測,則下述集合也可測即可測集類關(guān)于差,余,有限交和可數(shù)交,有限并和可數(shù)并,以及極限運(yùn)算封閉；若則,有注:上式由前面可測集的等價刻畫立刻可得若兩兩不交,則〔測度的可數(shù)可加性若可測,則有可減性證明：由可測集的定義：有易知可測若可測已證明,則易知,也可測。若當(dāng)為兩兩不交時,可測已證明,則通過令可把一般情形轉(zhuǎn)化為兩兩不交的情形,通過取余即可證明下面證明若可測,則可測證明：,有〔可測〔可測從而下面證明若兩兩不交,則證明：有從而〔*另外顯然有從而可測,并用代入〔*式,即得結(jié)論例2：設(shè)中可測集滿足條件,則必有正測度。證明：單調(diào)可測集列的性質(zhì)<1>若是遞增的可測集列,則<2>若是遞減的可測集列且,注：〔1左邊的極限是集列極限,而右邊的極限是數(shù)列極限,<2>中的條件不可少,如注：〔2若是遞減集列,若是遞增集列,若可測,,則——————————————————————————————作業(yè)：P755,6練習(xí)題1設(shè),能否斷定可測？能否斷定的任一子集可測？2設(shè)是可測集列,且,則3證明：任意點集的外測度等于包含它的開集的測度的下確界,即4設(shè)是的子集,可測,證明等式§3可測集類教學(xué)目的1、熟悉并掌握用開集、閉集、型集、型集刻畫可測集的幾個定理,弄清可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.2、了解一些集合可測的充要條件.本節(jié)要點可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.本節(jié)難點可測集類和Borel集類之間的關(guān)系.授課時數(shù)4學(xué)時——————————————————————————————一、可測集例1區(qū)間是可測集,且注：〔1零集、區(qū)間、開集、閉集、型集〔可數(shù)個開集的交、型集〔可數(shù)個閉集的并.Borel型集〔粗略說：從開集出發(fā)通過取余,取交或并〔有限個或可數(shù)個運(yùn)算得到都是可測集。〔2開集、閉集既是型集也是型集；有理數(shù)集是型集,但不是型集；無理數(shù)集是型集,但不是型集。有理數(shù)集可看成可數(shù)個單點集的并,而單點集是閉集；通過取余型集與型集相互轉(zhuǎn)化〔并與交,開集與閉集互換二、可測集與開集、閉集的關(guān)系〔1若可測,則,存在開集,使得且即：可測集與開集、閉集只相差一小測度集〔可測集"差不多"就是開集或閉集,從而可測集基本上是至多可數(shù)個開區(qū)間的并?！?若可測,則,存在閉集,使得且證明：〔1當(dāng)時,由外測度定義知存在開區(qū)間列,使得且令則為開集,且從而〔這里用到<2>當(dāng)時,這時將分解成可數(shù)個互不相交的可測集對每個應(yīng)用上述結(jié)果,存在開集,使得且令,則為開集,且若<1>已證明,由可測可知,存在開集,使得且.取,則為閉集例2設(shè)若開集,使得且,則是可測集.證明：對任意的,〔開集,使得且令,則是型集且故從而為可測集.例3：設(shè)為[0,1]中的有理數(shù)全體,試各寫出一個與只相差一小測度集的開集和閉集。開集：閉集：空集.例4：設(shè)為中的無理數(shù)全體,試各寫出一個與只相差一小測度集的開集和閉集。開集:閉集：三、可測集與集和集的關(guān)系<1>.若可測,則存在型集,使且可測集可由型集去掉一零集,或型集添上一零集得到。<2>.若可測,則存在型集,使證明：若<1>已證明,由可測可知型集,使得且取,則為型集,且<1>.若可測,則存在型集,使證明：對任意的,存在開集,使得且令,則為型集,且故例5：設(shè)為[0,1]中的有理數(shù)全體,試各寫出一個與只相差一零測度集的型集或型集。型集：型集：空集注：上面的交與并不可交換次序.例6：設(shè)為中的無理數(shù)全體,試各寫出一個與只相差一零測度集的型集或型集。類似可證：若則存在型集使得且〔稱為的等測包證明:由外測度定義知,使得且令則為開集,且令,則為型集,且——————————————————————————————作業(yè)：P758,9,11練習(xí)題1設(shè)是的子集,證明不等式2試證有界集可測的充要